너무 범주화

수학에서, 특히 범주 이론에서, 과범주(및 언더카테고리)는 덮는 공간(에스페이스 에탈레)과 같이, 다중 맥락에서 사용되는 범주의 구별된 등급이다.그것들은 일부 $범주{\displaystyle \mathcal{}}$ C ${\$에 있는$$ 고정 $객체{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$를 둘러싼 데이터를 추적하기 위한 메커니즘으로 도입되었다$.$ 이와 비슷하게 정의되는 언더카테고리라는 이중 개념이 있다.

정의

C{\displaystyle{{C\mathcal}}}가 된 범주 및 X}C{\displaystyle{{C\mathcal}고정된 개체{X\displaystyle}}59[1]pg자.그 개체 쌍(π, A){(\pi ,A)\displaystyle 그overcategory(또한 한조각 범주라고 불렀다)C/X{\displaystyle{{C\mathcal}}/X}은 연합된 카테고리입니다.$}$ 여기서$$ $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ X ${\displaystyle \pi$:$A\to X}$ is a morphism in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Then, a morphism between objects ${\displaystyle f:(\pi ,A)\to (\pi ',A')}$ is given by a morphism ${\displaystyle f:$$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 범주에서$$ $A\to A'}($다음$$ 다이어그램이 통근됨)

${\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &A'\\\\pi \downarrow {\text{}}}{{{\text{}}}}}}}\downarrow \pi '\X&=&X\end{matrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

There is a dual notion called the undercategory (also called a coslice category) ${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$ whose objects are pairs ${\displaystyle (\psi ,B)}$ where ${\displaystyle \psi :X\to B}$ is a morphism in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Then, morphisms in ${\displaystyle X/\mathcal{C}}$${\displaystyle X/{\mathcal {C}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{형태론}}$ $g{\displaystyle }$ :${\displaystyle }$B${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 $B\to B'}$에 다음 다이어그램이 통근되도록 하십시오$$.

${\displaystyle {\begin}X&=&X\\\psi \downarrow {\text{}}}{{\text{}}}}}\downarrow \psi '\B&\xrigharrow {g} &B'\end{matrix}}}}}}}}$

이 두 가지 개념은 2-범주^[2] 이론과 상위 범주^{[3]pg 43} 이론에 일반화를 가지고 있으며, 정의는 유사하거나 본질적으로 동일하다.

특성.

$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 많은 범주형 속성은 개체 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 관련 오버/언더 범주에 의해 상속된다$.$ 예를 들어 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 유한한 제품과 코프로덕트를 가지고 있는$$ 경우 바로 $범주{\displaystyle \mathcal{}}$ C${\displaystyle }$/ X ${\mathstyle$ {$C}$이다.$}/X}$과(와)${\displaystyle X\mathcal{}}${\$displaystyle X/{\mathcal{C}}$은(는) 제품과$$ 복사물을 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 구성할 수 있고$,$ 범용 특성을 통해 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaysty X}$ 또는$$ X$\}$에 대한 고유한 형태론이 존재하며, 이 애플리케이션도 추가된다.s 제한과 콜리미트도 마찬가지 입니다.

예

사이트의 너무 많은 범주화

사이트 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) Grotendieck가 처음 도입한 위상학적 공간의 범주형 일반화임을$$ 상기하십시오.표준적인 예 중 하나는 토폴로지에서 직접 발생하는데, 이 토폴로지는 ${\displaystyle \text{일부}}$ 토폴로지 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 $오픈{\displaystyle }$ 하위 집합 U ${\displaystyle U}$인 범주$$ Open${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$) ${\displaystyle$ {\$text}(X)$이 있으며$,$ 형태는 포함 맵에 의해 주어진다.Then, for a fixed open subset ${\displaystyle U}$, the overcategory ${\displaystyle {\text{Open}}(X)/U}$ is canonically equivalent to the category ${\displaystyle {\text{Open}}(U)}$ for the induced topology on ${\displaystyle U\subseteq X}$. This is because every object in ${\displaystyle \text{Open}}$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\text{Open}(X)/U}$은(는) $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에 포함된$$ 열린 하위 $집합{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$입니다$.$

언더카테고리로서의 알헤브라의 범주

정류 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ -algebras$$ 범주는 언더카테고리 $A{\displaystyle }$ /${\displaystyle \text{CRing}}$ ${\$ A$/{\text{$$CRING}}($커뮤니케이션 링 범주$$)This is because the structure of an ${\displaystyle A}$-algebra on a commutative ring ${\displaystyle B}$ is directly encoded by a ring morphism ${\displaystyle A\to B}$. If we consider the opposite category, it is an overcategory of affine schemes, ${\displaystyle {\text{Aff}}/{\text{Spec}}($$A$ 또는 ${\displaystyle {}_{}}$ A ${\$$A}$만 .

공간의 너무 큰 범주화

문헌에서 고려된 또 다른 일반적인 과분류로는 계획, 매끄러운 다지관 또는 위상학적 공간과 같은 공간의 과분류들이다.$이러한{\displaystyle }$ 범주는 S ${\displaystyle S$ ${\displaystyle Sch}$/ S ${\displaystyle {\text{Sch}/S}$에 대한 체계 범주처럼 고정 객체에 상대적인 객체를 인코딩한다$.$ 객체가 고정 객체의 하위 객체인 경우, 이러한 범주의 섬유 제품은 교차점으로 간주할 수 있다.

참고 항목

• 쉼표 범주

참조