P-재귀 방정식

수학에서 P-재귀 방정식은 계수 시퀀스를 다항식으로 나타낼 수 있는 시퀀스의 선형 방정식이다.P-재귀 방정식은 다항식 계수를 갖는 선형 재발 방정식(또는 선형 재발 관계 또는 선형 차이 방정식)이다.이러한 방정식은 수학의 다른 영역, 특히 결합학에서 중요한 역할을 한다.이러한 방정식의 해법인 시퀀스를 홀노믹, P-재귀 또는 D-핀라이트라고 한다.

1980년대 후반부터 첫 번째 알고리즘은 이러한 방정식에 대한 해결책을 찾기 위해 개발되었다.세르게이 A.아브라모프, 마르코 페트코브셰크, 마크 반 호이즈는 다항식, 이성적, 초기하학, 달렘베르트 해결책을 찾기 위한 알고리즘을 설명했다.

정의

Let ${\textstyle \mathbb {K} }$ be a field of characteristic zero (for example ${\textstyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} }$ ), ${\textstyle p_{k}(n)\in \mathbb {K} [n]}$ polynomials for ${\textstyle k=0,\dots ,r}$ , ${\textstyle f\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N$ $}}}$ 시퀀스 ${\textstyle f\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ 및 ${\textstyle y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\textstyle y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\textstyle y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\textstyle y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\$ 알 ${\textstyle y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ 수 없는 시퀀스.방정식

\sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)

다항 계수를 갖는 선형 반복 방정식이라고 한다(이 글의 모든 반복 방정식은 이 형식이다).

{\textstyle r}

{\textstyle p_{0}}

{\

과

{\textstyle p_{0}}

(

{\textstyle p_{r}}

)

{\textstyle p_{r}}

p r {\

textstyle

p_

{r}

이 모두 0이 아닌 경우

{\textstyle p_{r}}

r

{\textstyle

r}

을(를) 방정식의 순서라고 한다

{\textstyle r}

.

{\textstyle f}

{\textstyle f}

이

{\textstyle f}

(가) 0이면 이 방정식을 동종이라고 하고, 그렇지 않으면 비균형이라고 한다.

이것은 ${\textstyle Ly=f}$ L ${\textstyle Ly=f}$ = ${\textstyle Ly=f}$ ${\textstyle Ly=f}$ 로 ${\textstyle Ly=f}$ 기록될 수 있다 ${\textstyle L=\sum _{k=0}^{r}p_{k}N^{k}}$ ${\textstyle L=\sum _{k=0}^{r}p_{k}N^{k}}$ 서 ${\textstyle L=\sum _{k=0}^{r}p_{k}N^{k}}$ = ${\textstyle L=\sum _{k=0}^{r}p_{k}N^{k}}$ ${\textstyle L=\sum _{k=0}^{r}p_{k}N^{k}}$ = ${\textstyle L=\sum _{k=0}^{r}p_{k}N^{k}}$ 0 r ${\textstyle L=\sum _{k=0}^{r}p_{k}N^{k}}$ ${\textstyle L=\sum _{k=0}^{r}p_{k}N^{k}}$ ${\textstyle L=\sum _{k=0}^{r}p_{k}N^{k}}$ ${\$ } $N^{$ $k}}}}{$ k}}}}}}}}}는 다항 계수를 가진 선형 재발 연산자 ${\textstyle L=\sum _{k=0}^{r}p_{k}N^{k}}$ , ${\textstyle N}$ , N ${\textyp$ 연산자다 ${\textstyle N}$ . ${\textstyle N\,y(n)=y(n+1)}$ ${\textstyle N\,y(n)=y(n+1)}$ ( ${\textstyle N\,y(n)=y(n+1)}$ ) ${\textstyle N\,y(n)=y(n+1)}$ = ${\textstyle N\,y(n)=y(n+1)}$ ( n ${\textstyle N\,y(n)=y(n+1)}$ + ${\textstyle N\,y(n)=y(n+1)}$ ) ${\textstyle$ N $\,y(n)=y(n+1$

폐쇄형 폼 솔루션

${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$ = ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$ k ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$ ( ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$ + k ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$ ) y ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$ ) = f ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$ ) {\ $textstyle \sum _{k=0}^{rp_{k}(n)\,y(n+k)=f(n$ )} ${\textstyle Ly=f}$ ${\textstyle Ly=f}$ 하게 ${\textstyle Ly=f}$ y ${\textstyle Ly=f}$ = f {\ $textstyle$ Ly $=f}$ 이 다항 계수를 갖는 반복 방정식이 되도록 ${\textstyle Ly=f}$ 한다.이 방정식의 솔루션을 계산하는 몇 가지 알고리즘이 있다.이러한 알고리즘은 다항식, 합리적, 초기하학 및 달렘베르트 솔루션을 계산할 수 있다.동질 방정식의 해법은 선형 재발 연산자의 커널에 의해 주어진다:^[1] ${\textstyle \ker L=\{y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,Ly=0\}}$ L = ${\textstyle \ker L=\{y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,Ly=0\}}$ { ${\textstyle \ker L=\{y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,Ly=0\}}$ ${\textstyle \ker L=\{y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,Ly=0\}}$ K ${\textstyle \ker L=\{y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,Ly=0\}}$ : ${\textstyle \ker L=\{y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,Ly=0\}}$ ${\textstyle \ker L=\{y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,Ly=0\}}$ = ${\textstyle \ker L=\{y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,Ly=0\}}$ ${\textstyle \ker L=\{y\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,Ly=0\}}$ ${\textstyle \cker$ L $=\{$ y\ $in \mathb$ { $K}^{\mathb {N}\,:\,Ly=0$ 이 커널 공간의 하위 공간으로서.Let ${\textstyle \{y^{(1)},y^{(2)},\dots ,y^{(m)}\}}$ be a basis of ${\textstyle \ker L}$ , then the formal sum ${\textstyle c_{1}y^{(1)}+\dots +c_{m}y^{(m)}}$ for arbitrary constants ${\textstyle$ $c_{1},\dots ,c_{m}\in \mathb {K}}$ 에서 동종 ${\textstyle c_{1},\dots ,c_{m}\in \mathbb {K} }$ 문제 ${\textstyle Ly=0}$ ${\textstyle Ly=0}$ = ${\textstyle Ly=0}$ ${\textstyle Ly=0}$ 의 일반 솔루션이라고 한다 ${\textstyle Ly=0}$ If ${\textstyle {\tilde {y}}}$ is a particular solution of ${\textstyle Ly=f}$ , i.e. ${\textstyle L{\tilde {y}}=f}$ , then ${\textstyle c_{1}y^{(1)}+\dots +c_{m}y^{(m)}+{\tilde {y}}}$ is also a solution of the inhomogeneous problem and 그것은 이질적인 문제의 일반적인 해결책이라고 불린다.

다항식 용액

1980년대 후반에 세르게이 A.Abramov described an algorithm which finds the general polynomial solution of a recurrence equation, i.e. ${\textstyle y(n)\in \mathbb {K} [n]}$ , with a polynomial right-hand side ${\textstyle f(n)\in \mathbb {K} [n]}$ . He (and a few years later Marko Petkovšek) gave a degree bound for polynomial해결책이렇게 하면 선형 방정식의 체계를 고려하는 것으로 문제를 간단히 해결할 수 있다.^[2]^[3]^[4]1995년 아브라모프, 브론슈타인, 페트코브셰크 등은 다항식 사례를 특정 전력기준(즉, ${\textstyle (x^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (x^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (x^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ N ${\$ ^[5]에서 재발방정식의 파워시리즈 솔루션을 고려함으로써 보다 효율적으로 해결할 수 있다는 것을 보여주었다.

보다 일반적인 솔루션(예: 이성적 또는 초기하학적 솔루션)을 찾기 위한 다른 알고리즘도 다항식 솔루션을 계산하는 알고리즘에 의존한다.

합리적 해결책

1989년 세르게이 A.Abramov showed that a general rational solution, i.e. ${\textstyle y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ , with polynomial right-hand side ${\textstyle f(n)\in \mathbb {K} [n]}$ , can be found by using the notion of a universal denominator.유니버설 분모는 모든 합리적인 해결책의 분모가 ${\textstyle u}$ ${\textstyle u}$ 을(를) 나누는 다항식 ${\textstyle u}$ ${\textstyle$ u}이다 ${\textstyle u}$ ${\textstyle u}$ 아브라모프는 이 보편적인 분모가 어떻게 첫 번째와 마지막 계수인 다항식 ${\textstyle p_{0}}$ 0 ${\$ 와 ${\textstyle p_{0}}$ ${\textstyle p_{r}}$ ${\textstyle p_{r}}$ ${\$ 만을 사용하여 계산될 수 있는지를 보여주었다 ${\textstyle p_{r}}$ 이 보편적 분모를 $y$ $y$ 의 알려지지 않은 분모로 대체하면 모든 합리적인 $y$ 해결책은 변환 방정식의 모든 다항식 솔루션을 계산함으로써 찾을 수 있다.^[6]

초기하 용액

sequence ${\textstyle y(n)}$ ( ${\textstyle y(n)}$ ) ${\textstyle y(n)}$ 의 ${\textstyle y(n+1)/y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ 된 항 비율이 $n$ ${\displaystyle n$ 즉 y ${\textstyle y(n+1)/y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ ( ${\textstyle y(n+1)/y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ ${\textstyle y(n+1)/y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ 1 ${\textstyle y(n+1)/y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ ) / ${\textstyle y(n+1)/y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ ( ${\textstyle y(n+1)/y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ ) ${\textstyle y(n+1)/y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ K ${\textstyle y(n+1)/y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ ( ${\textstyle y(n+1)/y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ ) ${\textstyle y(n+1)/y(n)\in \mathbb {K} (n)}$ {\ $textstyle$ y $(n+1)/y(n)\in \mathb$ {K $}(n$ 에서 합리적인 함수인 경우 ${\textstyle y(n)}$ hygeomethymethymetriculaturemeterc.다항 계수를 갖는 1차 반복 방정식의 해법인 경우에만 그러하다.초기하 시퀀스 세트는 추가 시 닫히지 않기 때문에 시퀀스 공간의 하위 공간이 아니다.

1992년 Marko Petkovseck는 우측 $f$ {\ $displaystyle$ f $}$ 이(가 $)$ 초기하 시퀀스의 합인 $f$ 재발 방정식의 일반적인 초기하 솔루션을 얻기 위한 알고리즘을 제공했다.이 알고리즘은 합리적인 함수의 Gosper-Petkovseck 정상 형태를 사용한다.이 구체적인 표현을 사용하면 변환 방정식의 다항식 솔루션을 다시 고려해도 충분하다.^[3]

좀 더 다른 효율적 접근은 마크 반 호이즈 덕분이다.첫 번째 및 마지막 계수 다항식 ${\textstyle p_{0}}$ ${\textstyle p_{0}}$ ${\$ 및 ${\textstyle p_{0}}$ ${\textstyle p_{r}}$ ${\textstyle p_{r}}$ ${\$ 의 ${\textstyle p_{r}}$ 뿌리를 고려할 때, 모든 ${\textstyle y(n)}$ y ${\textstyle y(n)}$ ( ${\textstyle y(n)}$ ) ${\textstyle y(n)}$ 가 폼의 표현을 가지고 있다는 사실을 이용하여 ${\textstyle y(n)}$ 단계별로 솔루션을 구축할 수 있다.

y(n)=c\,r(n)\,z^{n}\,\gamma(n-\xi _{1}^{1}:{1}}\Gamma(n-\xi _{2}^{2}}})\cdots \감마(n-\xi _{s})^{e_{s}}

for some

{\textstyle c\in \mathbb {K} ,z\in {\overline {\mathbb {K} }},s\in \mathbb {N} ,r(n)\in {\overline {\mathbb {K} }}(n),\xi _{1},\dots ,\xi _{s}\in {\overline {\mathbb {K} }}}

with

{\textstyle \xi _{i}-\xi _

{j}\notin \mathbb {Z} }

for

{\textstyle i\neq j}

and

{\textstyle e_{1},\dots ,e_{s}\in \mathbb {Z} }

. Here

{\textstyle \Gamma (n)}

denotes the Gamma function and

{\textstyle {\overline {\mathbb {K} }}}

the algebraic closure of the field

{\textstyle \math

bb {K}

그러면

{\textstyle \xi _{1},\dots ,\xi _{s}}

{\textstyle \xi _{1},\dots ,\xi _{s}}

,

{\textstyle \xi _{1},\dots ,\xi _{s}}

…,

{\textstyle \xi _{1},\dots ,\xi _{s}}

s

{\

은 방정식의 특이점이어야 한다

{\textstyle \xi _{1},\dots ,\xi _{s}}

(

{\textstyle p_{0}}

, p

{\textstyle p_{0}}

{\

textstyle

p_

{0

} 또는

{\textstyle p_{0}}

{\textstyle p_{r}}

{\

textstyle p_{

r}).

{\textstyle p_{r}}

Furthermore one can compute bounds for the exponents

{\textstyle e_{i}}

. For fixed values

{\textstyle \xi _{1},\dots ,\xi _{s},e_{1},\dots ,e_{s}}

it is possible to make an ansatz which gives candidates for

{\textstyle z}

. For a specific

{\textstyle z}

one can은 다시 Abramov의 알고리즘에 의해

{\textstyle r(n)}

합리적인 함수 r (

{\textstyle r(n)}

)

{\textstyle r(n)}

을 얻기 위해 ansatz를 만든다.모든 가능성을 고려해 볼 때, 반복 방정식의 일반적인 해결책을 얻는다.^[7]^[8]

달렘베르트 해법

A sequence $y$ is called d'Alembertian if ${\textstyle y=h_{1}\sum h_{2}\sum \cdots \sum h_{k}}$ for some hypergeometric sequences ${\textstyle h_{1},\dots ,h_{k}}$ and ${\textstyle y=\sum x}$ means that ${\textstyle \Delta y=x}$ ${\textstyle \Delta y=x}$ 여기서 ${\textstyle \Delta }$ ${\textstyle \Delta }$ 은(는) 차이 연산자를 가리킨다 ${\textstyle \Delta }$ . 즉, ${\textstyle \Delta y=Ny-y=y(n+1)-y(n)}$ y = ${\textstyle \Delta y=Ny-y=y(n+1)-y(n)}$ - y = ${\textstyle \Delta y=Ny-y=y(n+1)-y(n)}$ + 1 ${\textstyle \Delta y=Ny-y=y(n+1)-y(n)}$ ) ${\textstyle \Delta y=Ny-y=y(n+1)-y(n)}$ - ${\textstyle \Delta y=Ny-y=y(n+1)-y(n)}$ ) ${\textstyle \Delta y=ny-y(n+1)-y(n$ ${\textstyle L_{k}\cdots L_{1}y=0}$ 는 ${\textstyle L_{k}\cdots L_{1}y=0}$ k ${\textstyle L_{k}\cdots L_{1}y=0}$ ${\textstyle L_{k}\cdots L_{1}y=0}$ ${\textstyle L_{k}\cdots L_{1}y=0}$ y = ${\textstyle L_{k}\cdots L_{1}y=0}$ {\ $textstyle L_$ ${1},\dots,L_{$ $k}}$ 과 같은 합리적 계수를 가진 ${\textstyle L_{1},\dots ,L_{k}}$ 1차 선형 재발 ${\textstyle L_{1},\dots ,L_{k}}$ L 1, ${\textstyle L_{1},\dots ,L_{k}}$ ${\textstyle L_{1},\dots ,L_{k}}$ ${\textstyle L_{1},\dots ,L_{k}}$ ${\$ $L_{1}y=0}$ 이 있는 경우에만 해당된다 ${\textstyle L_{k}\cdots L_{1}y=0}$ ^[4]

1994년 아브라모프와 페트코브셰크는 재발 방정식의 일반적인 달렘베르트 해답을 계산하는 알고리즘을 설명했다.이 알고리즘은 초기하학적 솔루션을 계산하고 반복적으로 반복 방정식의 순서를 감소시킨다.^[9]

예

서명 순열 매트릭스

$n\times n$ n $n\times n$ $n\times n$ ${\displaystyle n\times$ n $}$ 의 서명 순열 행렬 수는 ${\textstyle y(n)\in \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }}$ ( ${\textstyle y(n)\in \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }}$ ) ${\textstyle y(n)\in \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }}$ ${\textstyle y(n)\in \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }}$ ${\textstyle y(n)\in \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }}$ ${\$ y $(n)\in \mathb {Q} ^{\mathb {N}}}}}}}}$ 의 시퀀스로 설명할 수 있다 $n\times n$ ${\textstyle y(n)\in \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }}$ 서명 순열 매트릭스는 모든 행과 열에 0이 정확히 1개씩 있는 정사각형 행렬이다.0이 아닌 항목은 ${\textstyle \pm 1}$ ± ${\textstyle \pm 1}$ ${\textstyle \pm 1}$ 이(가) 될 수 있다 ${\textstyle \pm 1}$ 순서는 다항 계수를 갖는 선형 반복 방정식에 의해 결정된다.

y(n)=4(n-1)^{2}\,y(n-2)+2\,y(n-1)

초기값

{\textstyle y(0)=1,y(1)=2}

(

{\textstyle y(0)=1,y(1)=2}

)

{\textstyle y(0)=1,y(1)=2}

=

{\textstyle y(0)=1,y(1)=2}

,

{\textstyle y(0)=1,y(1)=2}

(

{\textstyle y(0)=1,y(1)=2}

)

{\textstyle y(0)=1,y(1)=2}

=

{\textstyle y(0)=1,y(1)=2}

{\textstyle y (0)=1,

y

(1)=2

알고리즘을 적용하여 초기하 용액을 찾으면 일반적인 초기하 용액을 찾을 수 있다.

y(n)=c\,2^{n}n!

일부 상수

{\textstyle c}

{\textstyle c}

에 대해

{\textstyle c}

또한 초기 값을 고려할 때

{\textstyle y(n)=2^{n}n!}

) =

{\textstyle y(n)=2^{n}n!}

!

{\textstyle y(n)=2^{n}n!}

시퀀스 y는 서명된 순열 매트릭스의 수를 설명한다

{\textstyle y(n)=2^{n}n!}

.^[10]

비자발적

${\textstyle n}$ ${\textstyle n}$ 요소를 ${\textstyle n}$ 가진 집합의 ${\textstyle y(n)}$ 비자발 ${\textstyle y(n)}$ ( ${\textstyle y(n)}$ ) ${\textstyle y(n)}$ 의 수는 반복 방정식에 의해 주어진다.

[\displaystyle y(n)=(n-1)\,y(n-2)+y(n-1)]}

페트코브셰크의 알고리즘을 적용하면 이 재발 방정식에 대한 다항식, 이성적 또는 초지하학적 솔루션이 없음을 알 수 있다.^[4]

적용들

A function ${\textstyle F(n,k)}$ is called hypergeometric if ${\textstyle F(n,k+1)/F(n,k),F(n+1,k)/F(n,k)\in \mathbb {K} (n,k)}$ where ${\textstyle \mathbb {K} (n,k)}$ denotes the rational functions in ${\textstyle n}$ ${\textstyle n}$ 및 ${\textstyle k}$ ${\$ $textstyle$ k ${\textstyle k}$ 초계량 합은 ${\textstyle f(n)=\sum _{k}F(n,k)}$ ) = ${\textstyle f(n)=\sum _{k}F(n,k)}$ F( ${\textstyle f(n)=\sum _{k}F(n,k)}$ $,$ ${\textstyle f(n)=\sum _{k}F(n,k)}$ ) ${\textstyle$ f( $n$ $)=\sum_{k(n,k)}}$ 형식의 유한 합이며 ${\textstyle F(n,k)}$ 서 ${\textstyle f(n)=\sum _{k}F(n,k)}$ F $)는$ 초계량이다.제일버거의 창의적인 망원경 알고리즘은 그러한 초계수 합을 다항식 계수를 가진 반복 방정식으로 변형시킬 수 있다.그런 다음 이 ${\textstyle f}$ 을 풀어서 ${\textstyle f}$ f {\ $textstyle$ f}의 폐쇄형 폼 솔루션이라고 하는 초기하학적 용액의 선형 조합을 얻을 수 있다 ${\textstyle f}$ ^[4]

참조

^ 만약 시퀀스가 거의 모든 면에서 동일하다면, 이 기본은 유한하다.이에 관한 자세한 내용은 페트코프셰크, 윌프, 제일베르거의 A=B라는 책에서 찾아볼 수 있다.
^ Abramov, Sergei A. (1989). "Problems in computer algebra that are connected with a search for polynomial solutions of linear differential and difference equations". Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 3.
^ ^a ^b Petkovšek, Marko (1992). "Hypergeometric solutions of linear recurrences with polynomial coefficients". Journal of Symbolic Computation. 14 (2–3): 243–264. doi:10.1016/0747-7171(92)90038-6. ISSN 0747-7171.
^ ^a ^b ^c ^d Petkovšek, Marko; Wilf, Herbert S.; Zeilberger, Doron (1996). A=B. A K Peters. ISBN 978-1568810638. OCLC 33898705.
^ Abramov, Sergei A.; Bronstein, Manuel; Petkovšek, Marko (1995). On polynomial solutions of linear operator equations. ISSAC '95 Proceedings of the 1995 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. ACM. pp. 290–296. CiteSeerX 10.1.1.46.9373. doi:10.1145/220346.220384. ISBN 978-0897916998.
^ Abramov, Sergei A. (1989). "Rational solutions of linear differential and difference equations with polynomial coefficients". USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 29 (6): 7–12. doi:10.1016/s0041-5553(89)80002-3. ISSN 0041-5553.
^ van Hoeij, Mark (1999). "Finite singularities and hypergeometric solutions of linear recurrence equations". Journal of Pure and Applied Algebra. 139 (1–3): 109–131. doi:10.1016/s0022-4049(99)00008-0. ISSN 0022-4049.
^ Cluzeau, Thomas; van Hoeij, Mark (2006). "Computing Hypergeometric Solutions of Linear Recurrence Equations". Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 17 (2): 83–115. doi:10.1007/s00200-005-0192-x. ISSN 0938-1279.
^ Abramov, Sergei A.; Petkovšek, Marko (1994). D'Alembertian solutions of linear differential and difference equations. ISSAC '94 Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. ACM. pp. 169–174. doi:10.1145/190347.190412. ISBN 978-0897916387.
^ "A000165 - OEIS". oeis.org. Retrieved 2018-07-02.

[1] 만약 시퀀스가 거의 모든 면에서 동일하다면, 이 기본은 유한하다.이에 관한 자세한 내용은 페트코프셰크, 윌프, 제일베르거의 A=B라는 책에서 찾아볼 수 있다.

[2] Abramov, Sergei A. (1989). "Problems in computer algebra that are connected with a search for polynomial solutions of linear differential and difference equations". Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 3.

[Petkovšek_1992-3] Petkovšek, Marko (1992). "Hypergeometric solutions of linear recurrences with polynomial coefficients". Journal of Symbolic Computation. 14 (2–3): 243–264. doi:10.1016/0747-7171(92)90038-6. ISSN 0747-7171.

[Petkovšek_1996-4] Petkovšek, Marko; Wilf, Herbert S.; Zeilberger, Doron (1996). A=B. A K Peters. ISBN 978-1568810638. OCLC 33898705.

[5] Abramov, Sergei A.; Bronstein, Manuel; Petkovšek, Marko (1995). On polynomial solutions of linear operator equations. ISSAC '95 Proceedings of the 1995 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. ACM. pp. 290–296. CiteSeerX 10.1.1.46.9373. doi:10.1145/220346.220384. ISBN 978-0897916998.

[6] Abramov, Sergei A. (1989). "Rational solutions of linear differential and difference equations with polynomial coefficients". USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 29 (6): 7–12. doi:10.1016/s0041-5553(89)80002-3. ISSN 0041-5553.

[7] van Hoeij, Mark (1999). "Finite singularities and hypergeometric solutions of linear recurrence equations". Journal of Pure and Applied Algebra. 139 (1–3): 109–131. doi:10.1016/s0022-4049(99)00008-0. ISSN 0022-4049.

[8] Cluzeau, Thomas; van Hoeij, Mark (2006). "Computing Hypergeometric Solutions of Linear Recurrence Equations". Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 17 (2): 83–115. doi:10.1007/s00200-005-0192-x. ISSN 0938-1279.

[9] Abramov, Sergei A.; Petkovšek, Marko (1994). D'Alembertian solutions of linear differential and difference equations. ISSAC '94 Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. ACM. pp. 169–174. doi:10.1145/190347.190412. ISBN 978-0897916387.

[10] "A000165 - OEIS". oeis.org. Retrieved 2018-07-02.

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