PCF 이론

PCF 이론은 사하론 셀라(1978년)가 도입한 수학 이론의 명칭으로, 주문된 세트의 초급속도의 공완성을 다룬다. 그것은 단수 추기경들의 권력 집합의 추기경들에 강한 상한을 주고, 또한 더 많은 응용을 가지고 있다. 약칭 "PCF"는 "가능성 있는 공동 결승"을 의미한다.

주요 정의

A에게 정기적인 추기경들의 만약 A는 무한 집합, D는 ultrafilter다면, 우리는 cf(A/D∏){\displaystyle \operatorname{비교하라}(A/D \prod)⁡}의미 기능의 주문한 세트의 cofinality이 순서 다음과 같이 정의된 있는{\displaystyle \prod}∏:f<>g{\displaystyle f<, g}만약{x ∈ A:f(.x=<> $\{x\in A:f(x)<g(x)\}\in D$ ( $\{x\in A:f(x)<g(x)\}\in D$ ) $\{x\in A:f(x)<g(x)\}\in D$ } $\{x\in A:f(x)<g(x)\}\in D$ $\{x\in A:f(x)<g(x)\}\in D$ ${\displaystyle \{x\in A:f(x)<g(x)\}\in D$ pcf(A)는 A의 모든 초여름을 고려할 때 발생하는 공동결정의 집합이다.

\operatorname {pcf}(A)=\{\operatorname {cf}(\prod A/D):D\,\,{\mbox{d}}}은(는)},\,\,\,A\}의 초고밀도 필터임.

주요 결과

분명히 pcf(A)는 일반 추기경들로 구성되어 있다. ultrafilters A의 요소에 집중했다 생각하면, 우리가(A){\displaystyle A\subseteq \operatorname{pcf}(A)⁡ ⊆ pcf}. 셀라와 A<>분(A){\displaystyle \min(A)}, pcf(A)가장 큰 요소가 있고,{Bθ:θ ∈ pcf ⁡(A)}{)\displaystyle{B_{\thet이 하위 집합을 증명했다.는}:) $theta \in \operatorname {pcf} (A)\}}$ of A such that for each ultrafilter D on A, $\operatorname {cf} (\prod A/D)$ is the least element θ of pcf(A) such that $B_{\theta }\in D$ . Consequently, ${\displaystyle \left \operatorname {pc$ $f}(A)\right \leq$ 2 $^{$ A $\left|\operatorname {pcf} (A)\right|\leq 2^{|A|}$ 또한 셀라는 A가 정규 추기경의 간격(즉, A는 두 추기경 사이의 모든 정규 추기경의 집합)이라면 pcf(A)도 정규 추기경과 pcf(A) < A. 이것은 유명한 불평등을 암시하는 것이다.

2^{\aleph _{\omega _{4}}

ℵ이_ω 강한 한계라고 가정하여

만일 λ이 무한 추기경이라면, A에 대해서 J는_<λ 다음과 같은 이상이다. b∈J_<λ 만약 $\operatorname {cf} (\prod A/D)<\lambda$ $\operatorname {cf} (\prod A/D)<\lambda$ ( $\operatorname {cf} (\prod A/D)<\lambda$ $\operatorname {cf} (\prod A/D)<\lambda$ / D $\operatorname {cf} (\prod A/D)<\lambda$ ) $\operatorname {cf} (\prod A/D)<\lambda$ < $\operatorname {cf} (\prod A/D)<\lambda$ $\operatorname {cf} (\prod A/D)<\lambda }$ 이(가) BdD가 있는 모든 초박막 D에 대해 유지된다면 $\operatorname {cf} (\prod A/D)<\lambda$ . 그리고 J<, λ은 이상적인 무대{Bθ:θ ∈pcf ⁡(A),θ<>λ}{\displaystyle\와 같이{B_{\theta}:\theta \in\operatorname{pcf}(A),\theta<>\lambda\와 같이}}에 의해 생성된. 비늘, 즉, 모든 λ∈pcf(A)를 위한 길이 λ의 ∏ B({\displaystyle\prod B_{\lambda}}은 모두 증가의 요소들의 시퀀스다.왕과 co최종 모델 J_<λ. $\prod A$ 는 포인트 우위에 있는 $\prod A$ $\prod A$ A $\prod A$ 의 공완성이 최대(pcf(A)임을 의미한다. 또 다른 결과는 만약 λ이 단수이고 λ보다 작은 정규 추기경이 욘손도 아니라면, λ⁺ 역시 욘손이 아니다. 특히 ℵ에는_ω+1 ℵ에 욘손 대수학(Jonsson 대수학)이 있어 옛 추측을 정리한다.

미해결 문제

pcf 이론에서 가장 악명 높은 추측에 따르면 pcf(A) = A는 A <min(A)>으로 일반 추기경들의 모든 세트 A를 보유한다. 이것은 만약 ℵ이_ω 강한 한계라면, 그 다음으로는 날카로운 경계선을 의미할 것이다.

2^{\aleph _{\omega _{1}

홀드(holds). 유추적

2^{\aleph _{\omega_{1}}<\aleph _{\omega_{2}}:

장문휴의 추측(매지도르)이나 쿠레파 나무(셀라)의 무반성(nonxistence)에서도 그 뒤를 잇는다.

더 약하고 여전히 풀리지 않는 추측에 의하면 만약 A <민(A)>이라면 pcf(A)는 접근하기 어려운 한계점이 없다고 한다. pcf(pcf(A)=pcf(A)=pcf(A)라는 문구와 맞먹는다.

적용들

그 이론은 기초 산수 외에도 많은 응용을 찾아냈다. 회의론자들을 위한 추기경인 셀라의 원래 조사는 거의 자유 아벨리아 집단, 칸막이 문제, 제품 하의 부울 알헤브라의 연쇄 조건 보존 실패, 존손 알헤브라의 존재, 얽힌 선형 질서의 존재, 동등하게 좁은 부울 알헤브라의 존재, 그리고 존재에 관한 주제들을 포함한다. 비이등형 모델의 경우 특정 비이중형 로직에서 동등하다.

그 동안 세트 이론, 모델 이론, 대수학, 위상 등에서 더 많은 응용이 발견되었다.

참조

사하론 셀라, 옥스포드 논리 가이드, 제29권. 옥스퍼드 대학 출판부, 1994.

외부 링크

메나힘 코즈만: PCF 이론
Shelah, Saharon (1978), "Jonsson algebras in successor cardinals", Israel Journal of Mathematics, 30 (1): 57–64, doi:10.1007/BF02760829, MR 0505434
Shelah, Saharon (1992), "Cardinal arithmetic for skeptics", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 26 (2): 197–210, arXiv:math/9201251, doi:10.1090/s0273-0979-1992-00261-6, MR 1112424

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