리미트 카디널

수학에서 한정된 추기경은 확실한 추기경 숫자다.추기경 숫자 λ은 후임 추기경도 아니고 0도 아니라면 약한 한계 추기경이다.거듭된 후계작전으로 λ을 다른 추기경으로부터 '다시'할 수 없다는 뜻이다.이런 추기경들은 문맥이 분명할 때 단순히 "한계 추기경"이라고 부르기도 한다.

거듭되는 파워셋 수술로 λ에 도달할 수 없다면 추기경 λ은 강력한 한계 추기경이다.이것은 λ이 0이 아니라는 것을 의미하며, 모든 < < λ, 2^κ <. 모든 강한 한계 추기경은 또한 약한 한계 추기경이다. 왜냐하면 κ은⁺^κ⁺ κ의 후임 추기경을 의미하기 때문이다.

$\aleph _{0}$ 의 무한 추기경인 , ${\$ 알레프-nat)은 강한 한계 추기경이며, 따라서 약한 한계 추기경이기도 하다.

시공

한계 추기경을 구성하는 한 가지 방법은 다음과 같다: $\aleph _{\omega }$ ${\$ 은 $\aleph _{{\omega }}$ (는) 약한 한계 추기경으로, 그 이전의 모든 알레프들의 결합으로 정의되며, 일반적으로 한계 서수 inal에 대한 $\aleph _{\lambda }$ $\aleph _{\lambda }$ ${\$ 은 약한 한계 추기경이다.

ב 작전은 강력한 한계 추기경 획득에 사용할 수 있다.이 작전은 서수에서 추기경까지로 정의한 지도다.

\beth _{0}=\aleph _{0}

\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},

+

\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},

=

\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},

α

\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},

, {\

displaystyle

\beth

_

{\property

\beth _{\beth },}(

파워셋과 같은 가장 작은 순서)

만일

\beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.

이 한계 서수라면,

\beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.

=

\beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.

{

\beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.

:

\beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.

<

\beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.

} } }

\beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.

{\displaystyle \beth _{\lambda }=\bigcup \{\alpha }:\alpha <\lambda \}.

}

추기경

\beth _{\omega }=\bigcup \{0},\beth _{1},\beth _{2},\ldots \}=\bigcup _{n<\omega}\beth _{n}}}}}}}}}}}

공완성 Ω의 강한 한계 추기경이다.보다 일반적으로, 어떤 서수 α를 주어, 추기경

\beth _{\beth _{\beth +n}=\bigcup _{n<\omega }\beth _{\beth +n}}}

강한 한계 추기경이지따라서 임의로 큰 강제한 추기경들이 있다.

순서형 첨자와 관계

선택 공리가 유지되면 모든 기수에는 초기 서수가 있다.초기 서수가 $\omega _{\lambda }\,,$ , $\omega _{\lambda }\$ 인 경우, 동일한 $\omega _{\lambda }\,,$ 서수 첨자에 대한 $\aleph _{\lambda }$ 추기경 번호는 $\aleph _{\lambda }$ {\ $displaystyle \aleph _{\lambda }}$ 형식이다.서수 λ은 ${\$ 가 약한 $\aleph _{\lambda }$ 한계 추기경인지 여부를 결정한다.왜냐하면 $\aleph _{\alpha ^{+}}=(\aleph _{\alpha })^{+}\,,$ α $\aleph _{\alpha ^{+}}=(\aleph _{\alpha })^{+}\,,$ = ( $\aleph _{\alpha ^{+}}=(\aleph _{\alpha })^{+}\,,$ $\aleph _{\alpha ^{+}}=(\aleph _{\alpha })^{+}\,,$ {\ $displaystyle \alph _{\alpha ^{+}=(\aleph$ $\aleph _{\lambda }$ _ ${\alpha }}}^{+}\}}}}}}}$ 이(가) 후계 서수라면 $\aleph _{\alpha ^{+}}=(\aleph _{\alpha })^{+}\,,$ ${\$ \ $aleph _$ {\lamba $}}}}}}$ 은 약한 한계가 아니다 $\aleph _{\lambda }$ .Conversely, if a cardinal κ is a successor cardinal, say $\kappa =(\aleph _{\alpha })^{+}\,,$ then $\kappa =\aleph _{\alpha ^{+}}\,.$ Thus, in general, $\aleph _{\lambda }$ is a weak limit cardinal if and only if λ is zero or a l서수를 모방하다

서수 첨자는 추기경이 약한 한계인지를 알려 주지만 추기경이 강한 한계인지 아닌지는 알려주지 않는다.예를 들어 ZFC는 $\aleph _{\omega }$ ${\$ 이 $\aleph _{\omega }$ (가) 약한 한계 추기경임을 증명하지만, $\aleph _{\omega }$ ${\$ _ ${\omega}}$ 이 강한 한계 추기경(Hrbacek and Jech 1999:168)임을 증명하지도 $\aleph _{\omega }$ 반증하지도 않는다.일반화된 연속체 가설은 모든 무한 추기경들에 대해 $\kappa ^{+}=2^{\kappa }\,$ $\kappa ^{+}=2^{\kappa }\,$ + $\kappa ^{+}=2^{\kappa }\,$ = $\kappa ^{+}=2^{\kappa }\,$ $\kappa ^{+}=2^{\kappa }\,$ $displaystyle \kappa ^{+}=2^{\cappa }\,}$ 라고 명시한다.이 가설에서는 약하고 강한 한계 추기경의 관념이 일치한다.

접근 불가능과 큰 추기경의 개념

앞의 내용에서는 "접근 불가능" 개념을 정의하고 있다. 우리는 더 이상 후계자와 파워셋의 작업을 정밀하게 반복할 만큼 충분하지 않은 경우를 다루고 있다. 따라서 위의 두 가지 직관적 정의에서 모두 "접근할 수 없다"라는 문구는 "접근할 수 없다"는 것이다.그러나 "조합 운영"은 항상 이러한 추기경들에게 "접근"하는 또 다른 방법을 제공한다(실제로도 제한 서수의 경우).접근 불가능에 대한 더 강한 개념은 공동 완결성을 사용하여 정의할 수 있다.약한(존중하게 강한) 한계 추기경의 경우 the은 작은 추기경보다 작은 총(조합)으로 표현될 수 없도록 cf()) = (( regular) = ((즉, regular)을 정규화해야 한다.그런 추기경을 약하게(존중하게 강하게) 접근하기 어려운 추기경이라고 한다.앞의 예들은 모두 공완성 Ω의 단수 추기경들이므로 접근할 수 없다.

$\aleph _{0}$ ${\$ 은(는) 접근 불가의 정의가 두 "불가침"을 모두 사용할 수 없는 추기경일 것이다 $\aleph _{0}$ . $\aleph _{0}$ 0{\ $displaystyle \aleph _{0$ 이상의 어느 종류의 접근 불가능한 추기경의 존재의 일관성을 괴델의 불완전성 정리 때문에 증명할 수조차 없는 선택 공리(ZFC)를 가진 표준 제르멜로-프렌켈 집합 이론이다 $.$ 좀 더 구체적으로 말하면, 만약 $\kappa$ ${\displaystyle \kappa$ }이(가) 약하게 접근할 수 없다면 $\kappa$ , $L_{\kappa }\models ZFC$ Z $L_{\kappa }\models ZFC$ $L_{\kappa }\models ZFC$ {\ $displaystyle L_{\kappa$ }\ $models ZFC$ 이것들은 대형 추기경 서열에서 첫 번째를 형성한다.

참고 항목

기수

참조

Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999), Introduction to Set Theory (3 ed.), ISBN 0-8247-7915-0
Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (third millennium ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/3-540-44761-X, ISBN 978-3-540-44085-7
Kunen, Kenneth (1980), Set theory: An introduction to independence proofs, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8

외부 링크

http://www.ii.com/math/cardinals/ 추기경들에게 무한 잉크

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