파도바 다항식

수학에서 Padovan 다항식은 Padovan 시퀀스 번호의 일반화다.이러한 다항식들은 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle P_{n}(x)={\begin{case}1,&{\mbox{{{n=1\0,&\mbox{{n=2\x,&\mbox{{}}{}n=3\xP_{n-2}(x)+P_{n-3}(x),&{\mbox{if{}n\geq 4.\end{case}}}$

처음 몇 개의 Padovan 다항식:

${\displaystyle P_{1}(x)=1\,}$

${\displaystyle P_{2}(x)=0\,}$

${\displaystyle P_{3}(x)=x\,}$

${\displaystyle P_{4}(x)=1\,}$

${\displaystyle P_{5}(x)=x^{2}\,}$

${\displaystyle P_{6}(x)=2x\,}$

${\displaystyle P_{7}(x)=x^{3}+1\,}$

${\displaystyle P_{8}(x)=3x^{2}\,}$

${\displaystyle P_{9}(x)=x^{4}+3x\,}$

${\displaystyle P_{10}(x)=4x^{3}+1\,}$

${\displaystyle P_{11}(x)=x^{5}+6x^{2}.\,}$

Padovan 번호는 다항식 P(x)를_n−3 x = 1에서 평가하여 복구한다.

x = 2에서 P_n−3(x)를 평가하면 n번째 피보나치 번호 +(-1).ⁿ (OEIS에서 순서 A008346)

시퀀스에 대한 일반적인 생성 함수는

${\displaystyle \sum \{n=1}^{\p_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt^{2}-t^{3}}}}.}$

참고 항목

• 다항식 시퀀스