핀레베 추측

제프 샤아의 5-체 구성은 5점 질량으로 구성되는데, 편심 타원 궤도를 두 쌍이 서로 둘러싸고 있고, 하나의 질량이 대칭선을 따라 움직인다.시아는 특정 초기 조건에서 최종 질량이 유한한 시간 내에 무한 속도로 가속될 것이라는 것을 증명했다.이것은 다섯 개 이상의 몸에 대한 Pinlevé 추측을 증명한다.

물리학에서, Pinlevé 추측은 n-body 문제에 대한 해결책들 중 특이점에 대한 정리다: n ≥ 4에 대한 비 충돌 특이점이 있다.^[1][2]

이 정리는 1988년 제프 시아에^[3][4] 의해 n ≥ 5에 대해, 2014년 징크신 슈에 의해 n=4에 대해 증명되었다.^[5][6]

배경 및 진술

Solutions ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ of the n-body problem ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )}$ (where M are the masses and U denotes the gravitational potential) are said to havea singularity if there is a sequence of times ${\displaystyle t_{n}}$ converging to a finite ${\displaystyle t^{*}}$ where ${\displaystyle \nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty }$. That is, the forces and accelerations become infinite at some finite때맞춰

은 t→ t$<$ , t , < ∗ {\$displaystyle$t$\mathbf {q}(t)}$이(가) 확실한 한계에 도달하는 경향이$$ 있는 경우 발생하며, t < t ${\displaystyty t^{*}}, t<t$ 한계가 존재하지 않으면 유사점 또는 비충돌 특이점이라고 한다.

Paul Pinlevé는 n = 3에 대해 유한한 시간 특이점을 가진 용액은 충돌 특이성을 경험한다는 것을 보여주었다.그러나 그는 이 결과를 3체 이상으로 연장하는 데 실패했다.그의 1895년 스톡홀름 강의는 라는 추측으로 끝난다.

n ≥ 4에 대해 n-body 문제는 충돌하지 않는 특이점을 인정한다.^[7][8]

개발

Edvard Hugo von Zeipel proved in 1908 that if there is a collision singularity, then ${\displaystyle J(\mathbf {q} (t))}$ tends to a definite limit as ${\displaystyle t\rightarrow t^{*}}$, where ${\displaystyle J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i} \mathbf {q}$$_{i} ^{2}}:$ 관성의 순간이다.^[9]이는 충돌하지 않는 특이성에 필요한 조건이 적어도 하나의 입자의 속도가 제한되지 않는 것임을 의미한다(위치 $q{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 이 지점까지 유한하게 유지되기$$ 때문이다).^[1]

매더와 맥게희는 1975년 공동선형 4체 문제(즉, 모든 신체가 한 줄로 서 있는 상태)에서 비 충돌 특이성이 발생할 수 있다는 것을 겨우 증명했지만, 무한히 많은 (정규화된) 이항 충돌 후에야 비로소 가능하다.^[10]

1977년 도널드 G. Saari는 거의 모든 (레베그 측정에 있어서) 2, 3, 4-신체 문제에 대한 평면이나 공간의 초기 조건에는 특이점이 없는 해결책이 있다는 것을 증명했다.^[11]

1984년, 조 게버는 충돌 없이 평면 5체 문제에서 충돌하지 않는 특이점을 주장하였다.^[12]그는 나중에 3n 시신의 증거물을 발견했다.^[13]

마침내 1988년 박사학위 논문에서 제프 시아는 충돌하지 않는 특이점을 경험하는 5체질의 구성을 보여주었다.^[3][4]

Joe Gerver는 4-body 특이점의 존재에 대해 휴리스틱 모델을 제시하였다.^[14]

징크신 슈는 메릴랜드 대학에서 2013년 박사학위 논문에서 페인레 추측의 평면 4체 문제 사례의 단순화된 모델을 고려했다.게버의 모델에 기초하여, 그는 이전의 모든 충돌을 피하여 유한한 시간 내에 속도가 무한대로 가속되는 해밀턴 시스템의 해결책으로 이어지는 캔터 초기 조건들이 있음을 증명했다.2014년, Xue는 이전 작품을 확장했고 n=4에 대한 추측을 증명했다.^[15][5][6]

참조