병렬 태스크 스케줄링

병렬 작업 스케줄링(병렬 작업 스케줄링^[1]^[2] 또는 병렬 처리 스케줄링이라고도^[3] 함)은 컴퓨터 과학 및 운영 연구의 최적화 문제입니다.이것은 최적의 작업 스케줄링의 변형입니다.일반적인 작업 스케줄링 문제에서는 m대의 머신에서 스케줄 할 필요가₂ 있는 다양한 처리 시간의 작업_n J, J, ..., J가₁ n개 주어집니다.이것은, 스케줄의 합계 길이(즉, 모든 작업이 처리가 끝난 시점)를 최소한으로 억제하기 위해서 필요합니다.병렬 태스크 스케줄링이라고 하는 특정 변형에서는 모든 기계가 동일합니다.각 작업 j는 길이 파라미터_j p와 크기 파라미터_j q를 가지며, 정확히_j q 머신 상에서 p개의_j 타임스텝을 병렬로 실행해야 합니다.

Veltman ^[4]^[5]등 및 Drozdowski는^[3] Graham 등이 도입한 3필드 표기법에서 이 문제를 $P|size_{j}|C_{\max }$ $P|size_{j}|C_{\max }$ z $P|size_{j}|C_{\max }$ $P|size_{j}|C_{\max }$ $P|size_{j}|C_{\max }$ max $(\style$ P $size_{j} C_$ {\max $P|size_{j}|C_{\max }$ })로 $P|size_{j}|C_{\max }$ 나타낸다.P는 여러 대의 동일한 머신이 병렬로 실행 중임을 나타냅니다_j.size는 각 작업에 크기 파라미터가 있음을 나타냅니다_max.C는 최대 완료 시간을 최소화하는 것을 목적으로 합니다.일부 작성자는 대신 ^[1] $P|m_{j}|C_{\max }$ $P|m_{j}|C_{\max }$ $P|m_{j}|C_{\max }$ $P|m_{j}|C_{\max }$ max(\ $displaystyle$ P $m_{j} C_{\max$ })를 $P|m_{j}|C_{\max }$ 사용합니다.

이 문제 공식의 기원은 ^[6]1960년으로 거슬러 올라갈 수 있다. $P=NP$ 문제의 경우 P $P=NP$ $P=NP$ P \ displaystyle P $= NP$ ^{[citation needed]}\ $displaystyle$ 3 $/ 2$ $3/2$ 비율의 다항식 시간 근사 알고리즘은 존재하지 않습니다.

정의.

$($ $Displaystyle$ { $J})$ $n$ 세트에는 $m$ 의 작업및m개의 $m$ $동일한 기계$ 가 있습니다.각 $j\in {\mathcal {J}}$ $j\in {\mathcal {J}}$ {\ $displaystyle$ j $\in$ { $mathcal {J}}$ 은 $j\in {\mathcal {J}}$ (는) 처리 $p_{j}\in \mathbb {N}$ $p_{j}\in \mathbb {N}$ N {\ $displaystyle p_{j}\in \mathbb$ ${N$ $}($ j의 길이라고도 함)을 가지며, 실행 중 $q_{j}\in \mathbb {N}$ j $q_{j}\in \mathbb {N}$ N {\ $displaystyle q_{j}\in \mathbbn}$ 을 $q_{j}\in \mathbb {N}$ $q_{j}\in \mathbb {N}$ 에 사용해야 합니다 $.$

스케줄에 따라 각 $j\in {\mathcal {J}}$ j $(\$ { $mathcal$ {J $})$ 가 $j\in {\mathcal {J}}$ $s_{j}\in \mathbb {N} _{0}$ $s_{j}\in \mathbb {N} _{0}$ (\ $displaystyle s_{j}\in$ \ $mathbb {N}$ $m_{j}\subseteq \{1,\dots ,m\}$ ${$ 0 $s_{j}\in \mathbb {N} _{0}$ }) 및 $displaystyle m_{j}\displayeq\displaycal$ { $m_{j}\subseteq \{1,\dots ,m\}$ ,{ $j})$ 의 $m_{j}\subseteq \{1,\dots ,m\}$ 시작 시간에 $할당$ 됩니다 $|m_{j}|=q_{j}$ 각 프로세서가 한 번에 최대 1개의 작업을 실행하는 경우 스케줄이 가능합니다. $P|size_{j}|C_{\max }$ $P|size_{j}|C_{\max }$ $iz$ e $P|size_{j}|C_{\max }$ max { $displaystyle$ P $size$ _ { $j$ } $C$ _ { \ $C_{\max }=\max _{j\in {\mathcal {J}}}(s_{j}+p_{j})$ $P|size_{j}|C_{\max }$ $C_{\max }=\max _{j\in {\mathcal {J}}}(s_{j}+p_{j})$ $is$ $C_{\max }=\max _{j\in {\mathcal {J}}}(s_{j}+p_{j})$ c c c c c c c c the the the the the the c the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the c c c c c c $C_{\max }=\max _{j\in {\mathcal {J}}}(s_{j}+p_{j})$ c c c c c C_ ${ displaystyle C_{$ s $j$ + $p_$ $C_{\max }=\max _{j\in {\mathcal {J}}}(s_{j}+p_{j})$ $）{ displaystyle$ C_{ $C_{\max }=\max _{j\in {\mathcal {J}}}(s_{j}+p_{j})$ s j_{\ $max }{$ displaystyle cyledisplayst일정의 실현 가능성을 위한 충분한 조건은 다음과 같습니다.

$\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ 、 s $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ j $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ < $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ j + $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ q $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ m $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ t $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ { $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ 1 $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ , ... , $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ $n$ } { $displaystyle$ \ $sum$ _ { j $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ \ $in$ \ $mathcal$ { J } , $s$ _ { $j$ } + p $_$ { j $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ } \ $leq t$ < s _ { j } \ $leq$ \ $in$ t $\sum _{j\in {\mathcal {J}},s_{j}\leq t<s_{j}+p_{j}}q_{j}\leq m\,\forall t\in \{s_{1},\dots ,s_{n}\}$ { 1 \ $in$ \ $in$ \ in \ s _ { s _ { s _ { s _ { s _ $1$ } } } } } \ $leq \$ \ in \ in \ in \ in

만약 이 속성은 모든 시작 시간이 만족되는, 실현 가능한 일정 업무에 각 시간에서 시간 t를 시작으로)게다가 자유 기계 0{\displaystyle t=0}.[1][2]을 부여함으로써 생성될 수 있는, 기계의 간격으로 일자리와 유휴 시간을 두고 각 시간 스텝에서 사용되고 있는 수를 J+1{\displays을 경계로 할 수 있다.tyle {\ $mathcal {J}}$ + $1$ ^[1]} 。여기서 머신 인터벌은 최대 카디널리티의 연속된 머신 세트이며, 이 세트 내의 모든 머신이 동일한 작업을 처리합니다.시스템 간격은 첫 번째 및 마지막 시스템의 인덱스로 완전히 지정됩니다.따라서 출력을 다항식 크기로 인코딩하는 콤팩트한 방법을 얻을 수 있습니다.

계산 경도

이 문제는 기계가 2대뿐이고 모든 작업의 크기가 $q_{j}=1$ j $=$ { $style q_{j$ }= $1}$ 인 경우에도 NP-hard입니다(즉, 각 작업은 단일 기계에서만 실행되어야 합니다). $이$ 특수한 케이스 $($ P $P2||C_{\max }$ $P2||C_{\max }$ max\ $displaystyle$ P2 $C_$ {\ $P2||C_{\max }$ $P2||C_{\max }$ 는 NP-hard로 알려진 파티션 문제의 변형입니다.

머신수 m이 최대 3인 경우(즉, $P2|size_{j}|C_{\max }$ $P2|size_{j}|C_{\max }$ $P2|size_{j}|C_{\max }$ e $P2|size_{j}|C_{\max }$ $P2|size_{j}|C_{\max }$ ${$ $display$ $style P2$ size_ ${j} C_{\$ max $}}$ $P3|size_{j}|C_{\max }$ $P3|size_{j}|C_{\max }$ $P3|size_{j}|C_{\max }$ $P3|size_{j}|C_{\max }$ $P3|size_{j}|C_{\max }$ { $display style$ P3 $size_{j} C_{\$ max $P3|size_{j}|C_{\max }$ 에는 알고리즘의 문제가 정확하게 ^[7]해결됩니다.

기계의 숫자는 적어도 4비교하자면,:변형 Pms나는 ej C맥스 어떤 m≥ 4{\displaystyle m\geq 4}에{\displaystyle 그럼 size_{j}C_{\max}}, 문제는 또 NP-hard[8](이 결과를 향상시켰다 이전 result[7]m에 대한 강한 NP-hardness을 보여 주≥ 5{\displaystyl z 있다.em\ge $q$ 5 $m\geq 5$ } 。

$기계$ 수가 상수에 의해 제한되지 않으면 $P=NP$ $P=NP$ P $= NP$ $= NP$ 가 $P=NP$ 근사 비율이 3 $/2$ 보다 $3/2$ 근사 알고리즘은 존재할 수 없습니다.이는 모든 작업의 처리 시간이 $pj$ $1인$ $p_{j}=1$ 한 경우에도 유효합니다.이 $특별$ 한 경우는 빈 패킹 문제와 같기 때문입니다 $.$ 각 타임 스텝은 빈에 대응하고, m은 빈 사이즈에 대응하며, 각 작업은 q 크기의_j 항목에 대응하며, 메이크 스팬을 최소화함으로써 최소화할 수 있습니다.빈의 수.

변종

이 문제의 몇 가지 변형이 ^[3]연구되어 왔다.다음 변형도 서로 조합하여 검토되었습니다.

연속 작업:이 바리안트에서는 머신의 $(M_{1},\dots ,M_{m})$ 순서는 고정되어 있습니다( $(M_{1},\dots ,M_{m})$ 1, $(M_{1},\dots ,M_{m})$ $(M_{1},\dots ,M_{m})$ M $)(M_{1},\dots, M_{m$ 작업은 임의의 $m_{j}\subseteq \{M_{1},\dots ,M_{m}\}$ j $m_{j}\subseteq \{M_{1},\dots ,M_{m}\}$ { $m_{j}\subseteq \{M_{1},\dots ,M_{m}\}$ $}({displaystyle m_{j}\subseteq$ \{ $M},$ {MOTs}, { $DOTs$ }).이 문제는 스트립 패킹 문제의 공식화에 해당합니다.

여러 플랫폼:이 변형에서는 기계 세트가 독립된 플랫폼으로 분할됩니다.스케줄링된 작업은 한 플랫폼의 머신만 사용할 수 있으며 처리 시 여러 플랫폼에 걸쳐 사용할 수 없습니다.

성형 가능한 작업:이 바리안트에서는 각 $j\in {\mathcal {J}}$ $(\$ j $\in\mathcal {J})$ 에는 $j\in {\mathcal {J}}$ 실현 가능한 기계 $D_{j}\subseteq \{1,\dots m\}$ $D_{j}\subseteq \{1,\dots m\}$ j $D_{j}\subseteq \{1,\dots m\}$ { $D_{j}\subseteq \{1,\dots m\}$ , $D_{j}\subseteq \{1,\dots m\}$ }(\ $displaystyle D_$ ${$ j $}\subseteq$ \ {1,\ $dots$ $m$ $D_{j}\subseteq \{1,\dots m\}$ $세트$ 가 있습니다 $d\in D_{j}$ $d\in D_{j}$ dJ $(\$ d)에 대해 $처리$ 할 수 $있습니다.$ $p_{j,d}$ p $p_{j,d}$ j , $p_{j,d}$ \ $displaystyle$ $p$ _ { $j$ $j\in {\mathcal {J}}$ , d $p_{j,d}$ $}$ 。 $j\in {\mathcal {J}}$ j $j\in {\mathcal {J}}$ 를 스케줄 하려면 , 알고리즘은 머신 $d\in D_{j}$ d $d\in D_{j}$ D $d\in D_{j}$ 를 선택해, 기동 $s_{j}$ $s_{j}$ j 를 할당해, 인터벤션 타임의 머신에 j 를 할당하고, displaystyle $s_{j}$ 와 $d\in D_{j}$ $s_{j}$ $displaystyle$ display $style$ in $D_j$ $}$ 를 $d$ 할 필요가 있습니다.l $[s_{j},s_{j}+p_{j,d}).$ $[s_{j},s_{j}+p_{j,d}).$ $[s_{j},s_{j}+p_{j,d}).$ 、 $[s_{j},s_{j}+p_{j,d}).$ j + $[s_{j},s_{j}+p_{j,d}).$ $[s_{j},s_{j}+p_{j,d}).$ , d $。{ displaystyle$ [ $s _$ { j ; $s$ _ { j } + $p _$ { j , d $}$ ）。} 이러한 $[s_{j},s_{j}+p_{j,d}).$ 종류의 문제에 대한 일반적인 가정은 $d\cdot p_{j,d}$ d of p $d\cdot p_{j,d}$ , $d$ \ $displaystyle d\cdot p_{j,$ d $d\cdot p_{j,d}$ 로 $d\cdot p_{j,d}$ 되는 작업의 총 워크로드가 증가하는 머신에 대해 증가하지 않는다는 것입니다 $.$

발매일: $P|size_{j},r_{j}|C_{\max }$ s i z $P|size_{j},r_{j}|C_{\max }$ j , $P|size_{j},r_{j}|C_{\max }$ $P|size_{j},r_{j}|C_{\max }$ $P|size_{j},r_{j}|C_{\max }$ max { $P|size_{j},r_{j}|C_{\max }$ P $size$ _ { j , $r _$ { $j$ } C _ { \ $max }$ p p p p 、 jobs jobs are are are;;;;; 。모든 작업을0 으로 사용할 수 있는 것은 아닙니다.각 작업 j는 고정된 기존 시간r에_j 사용할 수 있게 됩니다.그 이후로 스케줄이 잡혀 있어야 합니다.

프리엠프션: $P|size_{j},r_{j},{\text{pmtn}}|C_{\max }$ s $P|size_{j},r_{j},{\text{pmtn}}|C_{\max }$ $P|size_{j},r_{j},{\text{pmtn}}|C_{\max }$ $P|size_{j},r_{j},{\text{pmtn}}|C_{\max }$ j , $P|size_{j},r_{j},{\text{pmtn}}|C_{\max }$ , $P|size_{j},r_{j},{\text{pmtn}}|C_{\max }$ C $P|size_{j},r_{j},{\text{pmtn}}|C_{\max }$ { $displaystyle$ P $size$ _ { $j$ } , $r _$ { $j$ } , { \ $text$ { pmtn } $C$ _ { \ max $}$ p p p p p 、 이미 실행 중인 작업을 중단하고 그 시점에서 사용 가능한 다른 작업을 스케줄링할 수 있습니다.

알고리즘

Garey와^[9] Graham의 리스트 스케줄링 알고리즘은 Turek 등 ^[10]및 Ludwig와 ^[11]Tiwari가 지적한 바와 같이 절대 $비율$ 2 $displaystyle$ 2)를 가진다.Feldmann, Sgall 및 Teng은^[12] 리스트 스케줄링 알고리즘에 의해 생성된 비선제 스케줄의 길이가 실제로는 최적 선제적 메이크스팬의 최대 $(2-1/m)$ ( $2$ / $)배$ 라고 $(2-1/m)$ 관찰했다.프로세서의 $수$ m {\ $displaystyle$ m $}$ 이 $m$ $Pm|size_{j}|C_{\max }$ 한 경우의 다항식 시간 근사 체계 $(PTAS$ 는 $Pm|size_{j}|C_{\max }$ 등 ^[13]및 $Pm|size_{j}|C_{\max }$ ^[14]등에 의해 제시되었습니다.나중에 Jansen과 Thöle은 프로세서 수가 작업 수로 다항식으로 제한되는 경우에 대한 PTAS를 발견했습니다.이 알고리즘에서 기계 수는 알고리즘의 시간 복잡도에서 다항식으로 나타납니다.일반적으로 머신의 수는 인스턴스의 크기에서 로그로만 나타나기 때문에 이 알고리즘은 의사 다항 시간 근사 방식이기도 합니다. $(3/2+\varepsilon )$ ( 3 $(3/2+\varepsilon )$ / $(3/2+\varepsilon )$ + $(3/2+\varepsilon )$ ) $(3/2+\varepsilon )$ { $displaystyle ( 3$ / $2$ + \ $varepsilon$ ) } - ^[15]Jansen이 준 근사치입니다 $(3/2+\varepsilon )$ . 이 값은 임의의 $\varepsilon$ ${\$ { $displaystyle$ $\$ $varepsilon$ $\varepsilon$ 을 제외하고 3 $3/2$ / $2$ 의 $3/2$ 하한을 좁힙니다.

연속 작업과 비연속 작업의 차이점

병렬 작업 스케줄링 문제가 있는 경우 최적의 제작 시간은 기계의 인접성에 대한 제약 조건에 따라 달라질 수 있습니다.인접하지 않은 시스템에서 작업을 예약할 수 있는 경우, 인접한 시스템에서 작업을 예약해야 하는 경우보다 최적의 작업 소요 시간을 줄일 수 있습니다.그리고non-contiguous 인접해 스케줄의 차이는 먼저 1992[16]에서 n과 인스턴스에서). Błądek e. 8{\displaystyle n=8}작업 치고=23{\displaystyle m=23}프로세서, C최대 nc)17{\displaystyle C_{\max}^{nc}=17}, C(c=18{\displaystyle C_{\max}^{c}=18}증명되었습니다옆은l.^[17] 이러한 소위 c/nc-차이를 연구하여 다음 사항을 입증했다.

c/nc 차이가 발생하려면 q $q_{j}>1.$ > $q_{j}>1.$ .\ $displaystyle q_{j}$ > $q_{j}>1.$ $q_{j}>1.$ 이 적어도3개 필요합니다 $.$ $}$
c $p_{j}>1.$ nc-difference가 $p_{j}>1.$ 하려면 $p_{j}>1.$ > 1.\ $displaystyle$ p_ ${$ 작업이 적어도3개 필요해요 $}$
c/nc 차이가 발생하려면 최소 $m=4$ $m=4$ ({ $displaystyle$ m $=4})$ 의 $m=4$ 프로세서가 필요합니다(또한 m $m=4$ ({ $displaystyle$ m $=4})$ 의 c/nc 차이가 있는 인스턴스가 있습니다).
c/nc 차이가 발생하려면 비연속 스케줄 길이가 $C_{\max }^{nc}=4.$ $C_{\max }^{nc}=4.$ $C_{\max }^{nc}=4.$ c $=$ . $C_{\max }^{nc}=4.$ {\ $displaystyle C_{\max$ }^{ $nc}=$ $C_{\max }^{nc}=4.$ 이어야 합니다. $}$
최대 $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ c/ $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ c ( $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ ) / $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ c ( $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ ) { $display style$ \ $sup _$ { $I }^{ c$ } ( $I$ ) / $5/4$ $_$ { \ $max$ $}^nc$ $\sup _{I}C_{\max }^{c}(I)/C_{\max }^{nc}(I)$ （ $I$ $）$ {\ {\ {\ $5/4$ 、 $2$ 。
특정 인스턴스에 c/nc-difference가 있는지 여부를 결정하는 것은 NP-complete입니다.

더욱이, 그들은 입증되지 않은 다음 두 가지 추측을 제안하였다.

c/nc 차이가 발생하려면 최소 $n=7$ $n=7$ {\ $displaystyle$ n $=7}$ 개의 $n=7$ 작업이 필요합니다.
${\displaystyle_{I}C_{\max}^{c}(I)/C_{\max}^{nc}(I)=5/4}$

레퍼런스

^ ^a ^b ^c ^d Johannes, Berit (2006-10-01). "Scheduling parallel jobs to minimize the makespan". Journal of Scheduling. 9 (5): 433–452. doi:10.1007/s10951-006-8497-6. hdl:20.500.11850/36804. ISSN 1099-1425. S2CID 18819458.
^ ^a ^b ^c Jansen, Klaus.; Thöle, Ralf. (2010-01-01). "Approximation Algorithms for Scheduling Parallel Jobs". SIAM Journal on Computing. 39 (8): 3571–3615. doi:10.1137/080736491. ISSN 0097-5397.
^ ^a ^b ^c Drozdowski, Maciej (2009). "Scheduling for Parallel Processing". Computer Communications and Networks. doi:10.1007/978-1-84882-310-5. ISBN 978-1-84882-309-9. ISSN 1617-7975.
^ Veltman, B; Lageweg, B. J; Lenstra, J. K (1990-12-01). "Multiprocessor scheduling with communication delays". Parallel Computing. 16 (2): 173–182. doi:10.1016/0167-8191(90)90056-F. ISSN 0167-8191.
^ Graham, R. L.; Lawler, E. L.; Lenstra, J.K.; Rinnooy Kan, A.H.G. (1979). "Optimization and Approximation in Deterministic Sequencing and Scheduling: a Survey" (PDF). Proceedings of the Advanced Research Institute on Discrete Optimization and Systems Applications of the Systems Science Panel of NATO and of the Discrete Optimization Symposium. Elsevier. pp. (5) 287–326.
^ Codd, E. F. (1960-06-01). "Multiprogram scheduling". Communications of the ACM. 3 (6): 347–350. doi:10.1145/367297.367317. S2CID 14701351.
^ ^a ^b Du, Jianzhong.; Leung, Joseph Y.-T. (1 November 1989). "Complexity of Scheduling Parallel Task Systems". SIAM Journal on Discrete Mathematics. 2 (4): 473–487. doi:10.1137/0402042. ISSN 0895-4801.
^ Henning, Sören; Jansen, Klaus; Rau, Malin; Schmarje, Lars (1 January 2020). "Complexity and Inapproximability Results for Parallel Task Scheduling and Strip Packing". Theory of Computing Systems. 64 (1): 120–140. arXiv:1705.04587. doi:10.1007/s00224-019-09910-6. ISSN 1433-0490. S2CID 67168004.
^ Garey, M. R.; Graham, R. L. (1 June 1975). "Bounds for Multiprocessor Scheduling with Resource Constraints". SIAM Journal on Computing. 4 (2): 187–200. doi:10.1137/0204015. ISSN 0097-5397.
^ Turek, John; Wolf, Joel L.; Yu, Philip S. "Approximate algorithms scheduling parallelizable tasks Proceedings of the fourth annual ACM symposium on Parallel algorithms and architectures". dl.acm.org. doi:10.1145/140901.141909. S2CID 15607549.
^ Ludwig, Walter; Tiwari, Prasoon (1994). "Scheduling malleable and nonmalleable parallel tasks Proceedings of the fifth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms". Fifth Annual {ACM-SIAM} Symposium on Discrete Algorithms (SODA): 167–176.
^ Feldmann, Anja; Sgall, Jiří; Teng, Shang-Hua (1 August 1994). "Dynamic scheduling on parallel machines". Theoretical Computer Science. 130 (1): 49–72. doi:10.1016/0304-3975(94)90152-X. ISSN 0304-3975.
^ Amoura, Abdel Krim; Bampis, Evripidis; Kenyon, Claire; Manoussakis, Yannis (1 February 2002). "Scheduling Independent Multiprocessor Tasks". Algorithmica. 32 (2): 247–261. doi:10.1007/s00453-001-0076-9. ISSN 1432-0541. S2CID 17256951.
^ Jansen, Klaus; Porkolab, Lorant (1 March 2002). "Linear-Time Approximation Schemes for Scheduling Malleable Parallel Tasks". Algorithmica. 32 (3): 507–520. doi:10.1007/s00453-001-0085-8. hdl:11858/00-001M-0000-0014-7B6C-D. ISSN 1432-0541. S2CID 2019475.
^ Jansen, Klaus (2012). "A(3/2+ε) approximation algorithm for scheduling moldable and non-moldable parallel tasks Proceedings of the twenty-fourth annual ACM symposium on Parallelism in algorithms and architectures". 24th {ACM} Symposium on Parallelism in Algorithms and Architectures,{SPAA}. doi:10.1145/2312005.2312048. S2CID 6586439.
^ "Approximate algorithms scheduling parallelizable tasks Proceedings of the fourth annual ACM symposium on Parallel algorithms and architectures". doi:10.1145/140901.141909. S2CID 15607549. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
^ Błądek, Iwo; Drozdowski, Maciej; Guinand, Frédéric; Schepler, Xavier (1 October 2015). "On contiguous and non-contiguous parallel task scheduling". Journal of Scheduling. 18 (5): 487–495. doi:10.1007/s10951-015-0427-z. ISSN 1099-1425.

[Johannes-1] Johannes, Berit (2006-10-01). "Scheduling parallel jobs to minimize the makespan". Journal of Scheduling. 9 (5): 433–452. doi:10.1007/s10951-006-8497-6. hdl:20.500.11850/36804. ISSN 1099-1425. S2CID 18819458.

[PPTAS-2] Jansen, Klaus.; Thöle, Ralf. (2010-01-01). "Approximation Algorithms for Scheduling Parallel Jobs". SIAM Journal on Computing. 39 (8): 3571–3615. doi:10.1137/080736491. ISSN 0097-5397.

[:0-3] Drozdowski, Maciej (2009). "Scheduling for Parallel Processing". Computer Communications and Networks. doi:10.1007/978-1-84882-310-5. ISBN 978-1-84882-309-9. ISSN 1617-7975.

[4] Veltman, B; Lageweg, B. J; Lenstra, J. K (1990-12-01). "Multiprocessor scheduling with communication delays". Parallel Computing. 16 (2): 173–182. doi:10.1016/0167-8191(90)90056-F. ISSN 0167-8191.

[initial_specification-5] Graham, R. L.; Lawler, E. L.; Lenstra, J.K.; Rinnooy Kan, A.H.G. (1979). "Optimization and Approximation in Deterministic Sequencing and Scheduling: a Survey" (PDF). Proceedings of the Advanced Research Institute on Discrete Optimization and Systems Applications of the Systems Science Panel of NATO and of the Discrete Optimization Symposium. Elsevier. pp. (5) 287–326.

[6] Codd, E. F. (1960-06-01). "Multiprogram scheduling". Communications of the ACM. 3 (6): 347–350. doi:10.1145/367297.367317. S2CID 14701351.

[strongHardness-7] Du, Jianzhong.; Leung, Joseph Y.-T. (1 November 1989). "Complexity of Scheduling Parallel Task Systems". SIAM Journal on Discrete Mathematics. 2 (4): 473–487. doi:10.1137/0402042. ISSN 0895-4801.

[4machines-8] Henning, Sören; Jansen, Klaus; Rau, Malin; Schmarje, Lars (1 January 2020). "Complexity and Inapproximability Results for Parallel Task Scheduling and Strip Packing". Theory of Computing Systems. 64 (1): 120–140. arXiv:1705.04587. doi:10.1007/s00224-019-09910-6. ISSN 1433-0490. S2CID 67168004.

[9] Garey, M. R.; Graham, R. L. (1 June 1975). "Bounds for Multiprocessor Scheduling with Resource Constraints". SIAM Journal on Computing. 4 (2): 187–200. doi:10.1137/0204015. ISSN 0097-5397.

[10] Turek, John; Wolf, Joel L.; Yu, Philip S. "Approximate algorithms scheduling parallelizable tasks Proceedings of the fourth annual ACM symposium on Parallel algorithms and architectures". dl.acm.org. doi:10.1145/140901.141909. S2CID 15607549.

[11] Ludwig, Walter; Tiwari, Prasoon (1994). "Scheduling malleable and nonmalleable parallel tasks Proceedings of the fifth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms". Fifth Annual {ACM-SIAM} Symposium on Discrete Algorithms (SODA): 167–176.

[12] Feldmann, Anja; Sgall, Jiří; Teng, Shang-Hua (1 August 1994). "Dynamic scheduling on parallel machines". Theoretical Computer Science. 130 (1): 49–72. doi:10.1016/0304-3975(94)90152-X. ISSN 0304-3975.

[13] Amoura, Abdel Krim; Bampis, Evripidis; Kenyon, Claire; Manoussakis, Yannis (1 February 2002). "Scheduling Independent Multiprocessor Tasks". Algorithmica. 32 (2): 247–261. doi:10.1007/s00453-001-0076-9. ISSN 1432-0541. S2CID 17256951.

[14] Jansen, Klaus; Porkolab, Lorant (1 March 2002). "Linear-Time Approximation Schemes for Scheduling Malleable Parallel Tasks". Algorithmica. 32 (3): 507–520. doi:10.1007/s00453-001-0085-8. hdl:11858/00-001M-0000-0014-7B6C-D. ISSN 1432-0541. S2CID 2019475.

[15] Jansen, Klaus (2012). "A(3/2+ε) approximation algorithm for scheduling moldable and non-moldable parallel tasks Proceedings of the twenty-fourth annual ACM symposium on Parallelism in algorithms and architectures". 24th {ACM} Symposium on Parallelism in Algorithms and Architectures,{SPAA}. doi:10.1145/2312005.2312048. S2CID 6586439.

[16] "Approximate algorithms scheduling parallelizable tasks Proceedings of the fourth annual ACM symposium on Parallel algorithms and architectures". doi:10.1145/140901.141909. S2CID 15607549. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

[contiguousVSnoncontiguous-17] Błądek, Iwo; Drozdowski, Maciej; Guinand, Frédéric; Schepler, Xavier (1 October 2015). "On contiguous and non-contiguous parallel task scheduling". Journal of Scheduling. 18 (5): 487–495. doi:10.1007/s10951-015-0427-z. ISSN 1099-1425.

[1]

[2]

[3]

[4]

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v t 최적의 작업 스케줄링 문제
1단계 작업	싱글 머신 동일 기계 균일한 기계 관련 없는 기계
다단계 작업	병렬 태스크 오픈 숍 플로우 숍 잡샵
최적화 목표	메이크스판 귀기울림 지각 지각 스루풋
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