파시모니언스 환원

계산 복잡성 이론과 게임의 복잡성에서, 패러시미닉 감소는 한 문제에서 다른 문제로의 변화(감소)로, 해결책의 수를 보존하는 것이다.비공식적으로, 그것은 두 문제에 대한 각각의 해결책들 사이의 편향이다.문제 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에서 $문제$ B ${\displaystyle$ B$}(으$)로 일반적인 축소는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $솔루션{\displaystyle }$ B ${\displaysty B}$을(를) 가질$$ 때마다 솔루션이 하나 이상 있고 그 반대의 경우도 있다는 것을 보장하는 변환이다$$.Parsimonous 감소를 통해 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$의 모든 솔루션에 $대해{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$의 고유한 솔루션이 존재하며 그 반대의 경우도 마찬가지다.

parsimonous 감소는 #P와 같은 복잡성 등급을 계산하기 위해 계산 복잡성에 일반적으로 사용된다.게다가, 그것들은 많은 종류의 퍼즐이 필요로 하는 것처럼, 독특한 해결책을 가진 하드 퍼즐을 설계하는 방법으로, 게임 복잡성에 사용된다.

형식 정의

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$을$($를) 문제 X ${\displaystyle X}$의 인스턴스로$$ 두십시오. 문제 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 문제 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}($으)로$$ 가는 Parsimonous $감소{\displaystyle }$ R ${\displaystyty$ R$}$은 $문제$에 대한 해결책의 수와 같을(으)이다$$$$.R()){R())\displaystyle}.[1]만약에 그러한 감소, 저희가 R()){R())\displaystyle}에 Y{Y\displaystyle}의 인스턴스인 해결책의 수를 센다 신탁을 가지고 있다면, 우리는 x{\displaystyle)},의 해당 인스턴스에 대한 솔루션의를 계산하는 알고리즘을 디자인할 수 있기 존재한다.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X$ 따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 인스턴스에 대한 솔루션 수를 세는 것이 어려운$$ 경우 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 대한 솔루션 수를 세는 것도 어려운 작업이어야$$ 한다.

적용들

NP완전성 입증에 많은 1회 감소가 중요한 것처럼, ♯P와 같은 복잡성 등급 계산에 대한 완전성 증명에 대해서는 parsimonous 감소가 중요하다.^[1]패러시밀리언 감산은 독특한 해결책을 갖는 속성을 보존하기 때문에, 해결책의 고유성이 퍼즐 정의의 중요한 부분인 스도쿠와 같은 퍼즐의 경도를 보여주기 위해 게임 복잡성에도 사용된다.^[2]

특정 유형의 패러시밀리 감소는 변환 알고리즘의 계산 복잡성 또는 기타 속성으로 정의될 수 있다.예를 들어, 다항 시간 구문 분석적 감소는 변환 알고리즘에 다항 시간이 걸리는 것이다.이것들은 ♯P-완전성을 증명하는 데 사용되는 감소의 유형이다.^[1]매개변수화된 복잡성에서는 FPT 가소모성 감소가 사용된다. 이는 변환이 고정 매개변수 추적 가능한 알고리즘이며, 계산 가능한 함수에 의해 경계 매개변수 값에 경계 매개변수 값을 매핑하는 파소모성 감소가 사용된다.^[3]

다항식 시간 편차 감소는 다항식 시간 계산 감소, 즉 다항식 시간 계산 감소를 위한 더 일반적인 감소 등급의 특별한 경우다.^[4]

$감소{\displaystyle }$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) parsimonous임을 증명하는 데 사용되는 하나의 일반적인 기법은 x ${\displaystyle x}$에 대한 솔루션 세트와$$ $R{\displaystyle }$(x${\displaystyle }$) ${\displaysty R(x)$에 대한 솔루션 세트 사이에 편차가 있음을 보여주는 것이다. 이$$ 기법은 두 문제에 대한 해결책의 수가 동일함을 보장한다.

#P-완전성 입증의 parsimonous 감소 예

클래스 #P는 NP 의사결정 문제의 카운트 버전을 포함한다.NP 의사결정 $문제{\displaystyle }$ X ,${\displaystyle X,}$의 인스턴스$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 주어진 경우 # ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \#x}$은(는) 문제 $x$에 대한 해결책의 수를 요구한다${\displaystyle .}${\$displaystystyle$ x$.}$$$ 아래의 #P-완전성의 예는 #SAT가 #P-완전하다는 사실에 의존한다.

3위 SAT

이것은 3SAT의 카운팅 버전이다.어떤 부울 공식이든 3-CNF 형식의 공식으로 다시 쓰일 수 있다는 것을 보여줄 수 있다.부울 공식의 유효한 할당은 해당 3-CNF 공식의 유효한 할당이며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.따라서, 이 감소는 만족스러운 임무의 수를 보존하며, 단순하게 감소시킨다.그 다음, #SAT와 #3SAT는 등가물을 세고, #3SAT 역시 #P-완전하다.

플라나르 #3SAT

이것은 Planar 3SAT의 계산 버전이다.리히텐슈타인이^[5] 부여한 3SAT에서 Planar 3SAT로의 경도 감소는 3SAT 인스턴스의 모든 유효한 할당에 대해 Planar 3SAT의 고유한 유효한 할당이 있다는 추가 특성을 가지고 있으며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.따라서 감소량은 parsimonous이고, 결과적으로 Planar #3SAT는 #P-완전하다.

해밀턴 사이클

이 문제의 카운트 버전은 주어진 지시된 그래프에서 해밀턴 사이클의 수를 요구한다.세타 다카히로는 평면 방향 최대 도-3 그래프로 제한했을 때 3SAT에서 이 문제로 감소를^[6] 제공했다.이 감소는 3SAT 인스턴스에 대한 솔루션과 평면방향 최대도-3 그래프의 해밀턴 사이클 인스턴스에 대한 솔루션 사이의 편차를 제공한다.따라서 감소는 parsimonous이고 평면 방향 최대 도-3 그래프의 해밀턴 사이클은 #P-완전하다.따라서 해밀턴 사이클 문제의 일반 버전도 #P-완전해야 한다.

샤카사카

샤카사카는 논리 퍼즐의 경도를 보여주는 데 얼마나 패러디한 감소가 이용될 수 있는지를 보여주는 사례다.이 문제의 결정판은 주어진 퍼즐의 예에 대한 해결책이 있는지 묻는다.개표는 그러한 문제에 대한 뚜렷한 해결책의 수를 요구한다.데메인, 오카모토, 우에하라, 우노가^[7] 제공한 Planar 3SAT로부터의 축소는 Planar 3SAT의 한 인스턴스에 대한 솔루션 세트와 해당 샤카사카의 해당 인스턴스에 대한 솔루션 세트 사이의 편견을 제공하기도 한다.따라서 감소는 파렴치한 것이며, 샤카사카의 카운트 버전은 #P-완전이다.

참조