부분순서링

추상 대수학에서 부분 순서 링은 호환 가능한 부분 순서인 :{\displaystyle $\,\leq \,}$와 함께 링(A, +, ·)이며, 다음과 같은 의미에서 링 작동과 호환되는 기본 세트 A의 부분 순서 $≤{\$ \,\leq \}이다.

그리고모든 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,y,z\in A}$에 대해$.$^[1] 이 정의의 다양한 확장은 링, 부분 순서 또는 둘 다를 구속하는 것이 존재한다.예를 들어 Archimedeans 부분 주문 링은 부분 주문 링$({\displaystyle A}$ ,${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (A,\leq )}$이며, $여기$서 A ${\displaystyle A}$의$$부분 주문 첨가 그룹은 Archimedeans이다.^[2]

완전 주문형 링이라고도 하는 주문형 링은 부분 주문형 링$({\displaystyle A}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (A,\leq )}$이며, 여기서$$ ${\displaystyle \le }$ ${\$은 추가적으로 총 주문형이다.^[1][2]

l-링 또는 격자 정렬 링은 부분적으로 주문된 링$({\displaystyle A}$ ,${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle (A,\leq$)이며$$, 여기서 ${\displaystyle \le }${\$displaystyle$\,\$leq$\}은(는) 격자 주문이다.

특성.

부분적으로 주문된 링의 첨가물 그룹은 항상 부분적으로 주문된 그룹이다.

부분 순서 링의 비음극 $요소{\displaystyle }$ 집합(반지의$$ 양의 원뿔이라고도 하는$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0\leq$ x$})$은 ${\displaystyle \mathrm{덧셈}}$과 곱셈으로 닫힌다. 즉, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이$$ 부분 순서 리의 비음극 요소 집합인 경우ng, $그{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{다음}}$ P${\displaystyle }$+ P ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle$ P$+P\subseteq P}$ $및{\displaystyle }$ P$$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle P}$. ${\displaystyle P\cdot$ P$\subseteq$ P$.}$${\displaystyle \mathrm{게다가<img\; alt="P\backslash cdot\; P\backslash subseteq\; P.\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/85d1d7091587d1b9b15946f3dfb1a9b5f868901e"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:10.661ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="39">}}$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle P}$)${\displaystyle }$= {${\displaystyle }$0${\displaystyle .}$ ${\displaystyp\cap(-P)=\{0\$0\.$}$

링 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 호환 가능한 부분 순서를 비-음극 요소 집합에$$ 매핑하는 것은 일대일이다.^[1] 즉, 호환 가능한 부분 순서가 비-음극 요소 집합을 고유하게 결정하며, 요소 집합이 존재할 경우 호환되는 부분 순서를 고유하게 결정한다.

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S\subseteq A}$이(가) 링 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ A$,}$의 하위 집합인 경우:

1. $0\displaystyle 0\in S}$
2. ${\displaystyle S\cap(-S)=\{0\}}$
3. $S+S\subseteq S}$
4. $S\cdot S\subseteq S}$

그런 다음 $관계{\displaystyle }$ ▼${\$ 여기서$$ $y{\displaystyle }$ - ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle x}$$\leq$ y$}(y$${\displaystyle }$- x$$ {\$displaystyle y-x\in S})$에서 호환 가능한 부분 순서만 A$$ ${\displaystystyle$ $A}($$A$ )를$$ 부분적으로 순서).^[2]

모든 l-링에서 $요소{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$의 ${\displaystyle 절대값}$ x $displaystyle$ x $}$을(를$)$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \vee }$(${\displaystyle }$- x${\displaystyle )}$ , {\$displaysty x\$$vee$(-$x)$로 $정의$할 수 있으며$$, 여기서$$ x ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaysty x\$ve $y}$은 최대 요소를 나타낸다.모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ $y{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ y$,}$에 대해

쥐다^[3]

f-링

An f-ring, or Pierce–Birkhoff ring, is a lattice-ordered ring ${\displaystyle (A,\leq )}$ in which ${\displaystyle x\wedge y=0}$^[4] and ${\displaystyle 0\leq z}$ imply that ${\displaystyle zx\wedge y=xz\wedge y=0}$ for all ${\displaystyle x,y,z\in A.}$$$ 그것들은 개럿 비르코프와 리차드 S에 의해 처음 소개되었다. 1956년 Pierce는 "Lattice-Ordered Ring"이라는 제목의 논문에서 많은 병리학적 예를 없애기 위해 l-링의 등급을 제한하려는 시도를 했다.예를 들어 비르코프와 피어스는 1이 정사각형임에도 양성이 아닌 1을 가진 l-링을 시연했다.^[2]f-링에 필요한 추가적인 가설은 이러한 가능성을 없앤다.

예

Let ${\displaystyle X}$ be a Hausdorff space, and ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ be the space of all continuous, real-valued functions on ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ is an Archimedean f-ring with 1 under the following pointwise operations:

^[2]

${\displaystyle \mathrm{대수학적}}$ 관점에서 볼 때 링 $C{\displaystyle \mathcal{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal{C}(X)}$은 상당히 경직되어 있다$$.예를 들어 $C{\displaystyle \mathcal{}(X}$) ${\displaystyle {\mathcal{C}(X)}$ 형식의 위치, 잔류 링 또는 링의 한계는 일반적으로$$ 이 형식이 아니다.연속적인 기능의 모든 링을 포함하고 있고 이러한 링의 많은 특성을 닮은 훨씬 더 유연한 등급의 f-링이 진짜 폐쇄 링의 등급이다.

특성.

• f-링의 직접 생산물은 f-링이고, f-링의 l-subring은 f-링이며, f-링의 l-호모픽 이미지는 f-링이다.^[3]

• ${\displaystyle \mathrm{f-링}}$의 ${\displaystyle x}$y${\displaystyle }$= x y {\$displaystyle xy$ = x$$ y $}.$^[3]

• 범주 Arf는 1을 가진 아르키메데스 f링과 정체성을 보존하는 l-호모피즘으로 구성된다.^[5]

• 모든 주문형 링은 F-링이기 때문에 주문형 링의 모든 하위 직접 결합도 F-링이다.선택의 공리를 가정하면, 비르코프의 정리는 그 반전을 나타내고, i-링이 순서 고리의 하위 직접 결합에 l-이소모르픽인 경우에만 f-링이라고 한다.^[2]일부 수학자들은 이것을 f-링의 정의로 여긴다.^[3]

정류순서가 지정된 링에 대해 공식적으로 확인된 결과

IsarMathLib은 이자벨 정리 프로베라 도서관으로서, 교화 순서 링에 대한 몇 가지 기본적인 결과들에 대한 공식적인 검증을 가지고 있다.그 결과는 다음에서 증명된다.ring1문맥의^[6]

$({\displaystyle A}$ ,${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (A,\leq )}$이(가) 정류자 주문 링이고, $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, z ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle x,y,z\in$ A$.}$이라고 가정해 보십시오.

	에 의해
$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 가법 그룹이 순서 그룹임$$	OrdRing_ZF_1_L4
${\displaystyle x\leq y{\text{}({x-y\leq 0}인 경우에만 해당)$	OrdRing_ZF_1_L7
${\displaystyle }$$x{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ 및$$ 0 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0\leq z}$을(를) 암시함 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle xz\leq yz}$ 및 $z$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle zx\leq zy}$	OrdRing_ZF_1_L9
$0\displaystyle 0\leq 1}$	ordring_one_is_nonneg
${\displaystyle xy = x y }$	OrdRing_ZF_2_L5
$\displaystyle x+y \leq x + y }$	ord_ring_triangle_ineq
${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$이(가) 양수 집합에 있거나 양수 집합에서 빼기입니다.	OrdRing_ZF_3_L2
$({\displaystyle A}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (A,\leq )}$의 양의 요소 집합은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 0이 있는 경우에만 곱셈으로 닫힌다$$.	OrdRing_ZF_3_L3
$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(${\displaystyle \mathrm{}}$) 비경쟁(0 ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\neq$ 1$})$이면 무한하다.	ord_ring_infinite

참고 항목

• 선형 순서 그룹 – 번역 불변 총 순서가 있는 그룹, 즉 if b인 경우 ca ≤ cb
• 순서필드
• 순서군
• 순서 위상 벡터 공간
• 순서가 지정된 벡터 공간 – 부분 순서의 벡터 공간
• 부분적으로 정렬된 공간 – 부분적으로 정렬된 위상학적 공간
• 리에즈 공간 – 부분적으로 정렬된 벡터 공간, 격자로 정렬된 공간

참조

추가 읽기

• Birkhoff, G.; R. Pierce (1956). "Lattice-ordered rings". Anais da Academia Brasileira de Ciências. 28: 41–69.
• 길먼, 레너드, 제리슨, 마이어 링스 연속 기능.1960년판 재인쇄.수학 석사과목 43번.스프링거-베를라크, 뉴욕-하이델베르크, 1976.xii+300 pp

외부 링크

• "Ordered ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• PlanetMath에서 부분적으로 주문한 링.