파스칼의 심플렉스

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수학에서 파스칼의 심플렉스(simplex)는 다항 정리에 기초하여 파스칼의 삼각형을 임의의 치수 수로 일반화한 것이다.

제네릭 파스칼의 m-심플렉스

m(m > 0)을 다항식의 여러 항으로 하고 n(n 0 0)을 다항식이 상승하는 검정력으로 한다.

$\wedge {\displaystyle {}^m}$ ${\$은(는) 파스칼의 m-심플렉스(m-simplex)를 나타낸다$$. 각 파스칼의 m-심플렉스(m-simplex)는 반무한 물체로, 그 구성요소의 무한 계열로 구성되어 있다.

$\wedge {\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은^th(는) 그 자체로 가장자리 길이 n을 가진 유한(m - 1)-단순함을 나타내도록$$ ${\displaystyle {\mathrm{한다}.}_{}^{}}$ n - 1 ${\$

n^th 성분

${\displaystyle {\wedge }_n^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{\mathrm{n}}^{}}$ m -${\displaystyle {}_{}^{}}$1 ${\$는 다항식의 다항 팽창 계수로 구성되며, m 항은 n:의 힘으로 상승한다.

${\displaystyle x ^{n}=\sum _{k =n}{{n}}{k}}x^{k}};\ x\in \in \mathb {R}^{m},\in \mathb _{0}^{n},\in \mathb {N}$

where ${\displaystyle \textstyle x =\sum _{i=1}^{m}{x_{i}},\ k =\sum _{i=1}^{m}{k_{i}},\ x^{k}=\prod _{i=1}^{m}{x_{i}^{k_{i}}}}$.

$\wedge {\displaystyle {}^{}}$ 4 ${\$의 예

파스칼의 4-심플렉스(시퀀스 A189225 in OEIS)는 k를₄ 따라 얇게 썰었다. 같은 색상의 모든 점은 적색(n = 0)에서 청색(n = 3)까지 동일한 n번째 성분에 속한다.

특정 파스칼의 단순화

파스칼의 1심플렉스

${\displaystyle {\wedge }^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$}은$($는) 특별한 이름으로 알려져 있지$$ 않다.

n^th 성분

${\displaystyle {\wedge }_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 0 ${\$점)은 다항식의 다항 확장 계수로서, 1항은 n:의 힘으로 상승한다.

${\displaystyle(x_{1})^{n}=\sum _{k_{1}=n}{n \선택 k_{1}x_{1}^{1}:{1};\ k_{1}n\in \mathb {N}_{0}}}}}$

배열 :${\displaystyle {}_n^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$

${\displaystyle \textstyle {n \선택 n}$

모든 n에 대해 1이다.

파스칼의 2심플렉스

${\displaystyle {\wedge }^{}}$ ${\$은 파스칼의 삼각형(시퀀스 A007318 in OEIS)으로 알려져$$ 있다.

n^th 성분

${\displaystyle {\wedge }_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle {}_{}^{}}$△ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$줄)은 다항식의 이항 팽창 계수로 구성되며, 2항은 n:의 힘으로 상승한다.

${\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}}=n}{n \n 선택 k_{1}, k_{2}}x_{1}^{k_{1}x_{2}}:\ k_{1}^{2}};\ k_{1},k_{2},n\in \mathb {N}_{0}}}}}}$

배열 :${\displaystyle {}_n^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$

${\displaystyle \textstyle {n,0},{n \선택 n-1,1},\cdots,{n \선택 1,n-1},{n \선택 0,n}}}$

파스칼의 3심플렉스

${\displaystyle {\wedge }^{}}$ ${\$는 파스칼의 사면체(sequence A046816 in OEIS)로 알려져 있다.

n^th 성분

${\displaystyle {\wedge }_n^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_n^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$3}=\$vartriangle _{n}^{2$}}($$삼각형)은 다항식의 삼항 확장 계수로 구성되며, 3항은 n:의 힘으로 상승한다.

${\displaystyle(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}}}=n}{n \n 선택 \cHB {1}k_{2},k_{3}x_{1}^{k_{1}:{1}^{k_{2}}x_{3}^{3}^;\ k_{1},k_{2},k_{3},n\in \mathb {N}_{N}_{0}}}}}}}}}}}}}}}}}$

배열 :${\displaystyle {}_n^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$

${\displaystyle{\begin{정렬}\textstyle{n\choose n,0,0}&,,\textstyle{n\choose n-1,1,0},\cdots \cdots ,{n1,n-1,0 \choose},{n0,n,0 \choose}\\\textstyle{n\choose n-1,0,1}&, \cdots ,{n0,n-1,1 \choose}\\&,\textstyle{n\choose n-2,1,1},\cdots, \vdots\\\textstyle{n1,0,n-1 \choose}&,,\textstyle{n0,1,n-1 \choose}\\\textstyle{nx.}\en 0,0,n을 선택하d{정렬}}}$

특성.

구성 요소 상속

${\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}}$ is numerically equal to each (m − 1)-face (there is m + 1 of them) of ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}}$, or:

${\displaystyle \property_{n}^{m}=\vartriangle _{n}-1}\bartriangle \{n}^{m}=\n}^{m+1}}}}$

이로부터 전체${\displaystyle {}^{mm}}$ m$${\$displaystyle \wedge$^{$m}$이(가$){\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {mm}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$^{$m+1}$또는:

${\displaystyle \cHB}\cHB \cHB \cHB ^{m+1}}$

예

 ${\displaystyle {\wedge }^{}}$ ${\$ $\wedge^{$$1}{$1$\}\{$${\displaystyle {}^{}}$1}{1}{$1}{$1}{{1}:{$2}}:$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ 3$$${\$$displaystyle$$$\ ^$$$\{3$$}}}{$$4$$\}\}\}\}\wedge$${\displaystyle {}_{}^{}}$ $∧$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ∧ $\$ \$displaystystyle \{1$}{1$}^1m$ 1 \?        1$$$$ 1 1 1 $2$ $\displaystyle \m$\1 $\1$ 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}^{}}$ { ${\displaystyle {}_{}^{}}$ m$\displaystyle \m$ \pair $\1$ 3$1$ 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3 3  1                            3 6 3      3 6 3    6 6    3                             3 3        3 3      3                              1          1 

위의 배열에서 더 많은 용어는 (OEIS의 순서 A191358)을 참조하십시오.

하위 영역의 동일성

${\displaystyle {반대}_{}^{}}$로 $\wedge {\displaystyle {}_n^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{m}}_{}^{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$=$\wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{$n}}{$n}^{$n}}}}}는${\displaystyle {}_{}^{}}$(m$$ + 1)회${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$가 n -${\displaystyle 1_{}^{}}$ = $\$}={n$^{n$}{n^{n$}:{m$}:{m}}}:}}}}}}}}, 또는}}}}:{m$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

${\displaystyle \property_{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}\supset \vartriangle _{n}^{n1}=\m}}}}}}$

이에 따라, 주어진 n에 대해 모든 i-faces는 모든 Pascal (m > i)-단순의 n 성분에서^th 수적으로 동일하거나, 또는:

${\displaystyle \property_{n}^{i+1}=\vartriangle _{n}^{i}\bartriangle _{n}^{m}=\ft_{n}^{m}i+1}}}}$

예

파스칼의 3-심플렉스 중 3번째 성분(2-심플렉스)은 3개의 동일한 1-패스(라인)로 경계를 이룬다. 각 1면(선)은 2개의 동일한 0-Faces(수직):

2-162x 1-162 1-162 1-13 1 1 . . 1 1 3 3 1 . . 1 3 6 3 . 3 . 3 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 1 . 1 . 1 . 

또한 모든 m과 모든 n에 대해:

${\displaystyle 1=\n1}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}\bartriangle _{n}^{n1}=\n}^{n}}}}}$

계수 수

Pascal m-simplex의 n^th 성분(m - 1)-simplex)에 대해 구성되는 다항 팽창 계수의 수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {(n-1)+(m-1)+{n+(m-2) \선택(m-2)}={n+(m-1) \선택(m-1)=\왼쪽-binom {n}{n}\오른쪽)$

(여기서 후자는 다중구스 표기법이다.) 우리는 이것을 파스칼 m-심플렉스(m - 1)-^th심플렉스(m - 1)-심플렉스)의 계수^th 수와 파스칼 m-심플렉스(m - 1)-심플렉스(m - 2)의 계수 수를 합한 것으로 볼 수 있다. 또는 m 지수 중 n의^th 가능한 모든 분할을 합한 것으로 볼 수 있다.

예

Pascal m-simplex의 n^th 성분(m - 1)-simplex 계수 수

m-제곱스	nth 성분	n = 0	n = 1	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5
1-630x	0-5xx	1	1	1	1	1	1
2입방형	1-630x	1	2	3	4	5	6
3입곱스	2입방형	1	3	6	10	15	21
사오백스	3입곱스	1	4	10	20	35	56
5와섹스	사오백스	1	5	15	35	70	126
6-630x	5와섹스	1	6	21	56	126	252

이 표의 항은 대칭 Pascal 행렬 형식의 Pascal 삼각형으로 구성된다.

대칭

파스칼 m-simplex의 n 성분^th(m - 1)-simplex)은 (m!)-폴드 공간 대칭을 가진다.

기하학

직교 축 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ${\displaystyle k_{}}$ m ${\$$k_{m}$의 m-차원 공간$,$ 각 도끼의 n에 있는 성분 정점, $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$에 대한 팁 [0$,...,0].$

숫자 구성

빅 넘버의 감싼 n번째 파워는 파스칼의 심플렉스 n번째 성분을 즉시 제공한다.

${\displaystyle \left b^{dp}\right ^{n}=\sum _{ k =n}{{\binom {n}{k}}b^{dp\cdot k}};\ \ b,d\in \mathbb {N} ,\ n\in \mathbb {N} _{0},\ k,p\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ p:\ p_{1}=0,p_{i}=(n+1)^{i-2}}$

where ${\displaystyle \textstyle b^{dp}=(b^{dp_{1}},\cdots ,b^{dp_{m}})\in \mathbb {N} ^{m},\ p\cdot k={\sum _{i=1}^{m}{p_{i}k_{i}}}\in \mathbb {N} _{0}}$.