수치해석에 사용된 수학적 정리
수치 분석에서, Peano 커널 정리는 선형 함수 측면에서 정의된 광범위한 종류의 수치 근사치(예: 숫자 4각형)에 대한 오차범위에 대한 일반적인 결과물이다.주세페 페아노 덕분이라고 한다.[1]
성명서
Let
be the space of all differentiable functions
defined for
that are of bounded variation on
, and let
be a linear functional on
이(가) + 1 1연속적으로
다를 수 있고
L이( degree
즉 모든 다항목을 소멸한다고
가정한다.
![{\displaystyle Lp=0,\qquad \forall p\in \mathbb {P} _{\nu }[x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1088ed1492b09db29a571202ae5a889c0aa1f66)
Suppose further that for any bivariate function
with
, the following is valid:
의 Peano 커널을 다음으로
정의하십시오.![{\displaystyle k(\theta )=L[(x-\theta )_{+}^{\nu }],\qquad \theta \in [a,b],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608a1f43f7369fd3ad50ab9a72466a517e1c040e)
도입 표기법
그러자 피아노 커널 정리에는 다음과 같이 기술되어 있다.
제공된
[1][2] 경계
값에 대한 몇 가지 경계는 이 결과에서 비롯된다
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{1}\|f^{(\nu +1)}\|_{\infty }\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{\infty }\|f^{(\nu +1)}\|_{1}\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{2}\|f^{(\nu +1)}\|_{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2764ece246dfc561f08d3443aa1a664a80db8e57)
여기서
‖ {\}, 는
각각 택시카브, 유클리드, 최대규범이다.[2]
적용
실제로 Peano 커널 정리의 주요 적용은 모든 ∈ 에 대해 정확한 근사치의 오류를 바인딩하는 것이다
의 정리는 f 에 대한 Taylor 다항식으로부터 따르며, 나머지는
다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(a)+{}&(x-a)f'(a)+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}f''(a)+\cdots \\[6pt]&\cdots +{\frac {(x-a)^{\nu }}{\nu !}}f^{\nu }(a)+{\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{x}(x-a)^{\nu }f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd5171f23168a23b4ca528d885fcad6e538b4a4)
defining
as the error of the approximation, using the linearity of
together with exactness for
to annihilate all but the final term on the right-hand side, and using the
not한계에서 x {\displaystyle -display를
제거하기 위한 단계.[3]
참고 항목
참조