페이노 커널 정리

수치 분석에서, Peano 커널 정리는 선형 함수 측면에서 정의된 광범위한 종류의 수치 근사치(예: 숫자 4각형)에 대한 오차범위에 대한 일반적인 결과물이다.주세페 페아노 덕분이라고 한다.^[1]

성명서

Let ${\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]}$ be the space of all differentiable functions ${\displaystyle f}$ defined for ${\displaystyle x\in (a,b)}$ that are of bounded variation on ${\displaystyle [a,b]}$, and let ${\displaystyle L}$ be a linear functional on ${\displaystyle \mathcal{V}[a,}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}[$$\mathrm{a}$$,b$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) ${\displaystyle \nu }$$$+ 1 ${\textstyle \nu +$1$}$연속적으로 다를 수 있고$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$}$이($가$$){\displaystyle }$ degree ${\displayq \nu$ 즉 모든 다항목을 소멸한다고 가정한다.

Suppose further that for any bivariate function${\displaystyle g(x,\theta )}$ with ${\displaystyle g(x,\cdot ),\,g(\cdot ,\theta )\in C^{\nu +1}[a,b]}$, the following is valid:$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 Peano 커널을 다음으로$$ 정의하십시오.도입 표기법그러자 피아노 커널 정리에는 다음과 같이 기술되어 있다.제공된 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V\mathcal{}}$ ${\displaystyle [,b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle k\in {\mathcal {V}[a,b$^[1][2]

경계

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Lf}$ 값에 대한 몇 가지 경계는 이 결과에서 비롯된다$$.

여기서 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$$‖ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle \cdot \cdot \{1$}, ${\displaystyle \Vert }$ ${\$는 각각 택시카브, 유클리드, 최대규범이다.^[2]

적용

실제로 Peano 커널 정리의 주요 적용은 모든 $f{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$에 대해 정확한 근사치의 오류를 바인딩하는 것이다$.$$위$의 정리는 f ${\displaystyle f}$에 대한 Taylor 다항식으로부터 따르며, 나머지는$$ 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(a)+{}&(x-a)f'(a)+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}f''(a)+\cdots \\[6pt]&\cdots +{\frac {(x-a)^{\nu }}{\nu !}}f^{\nu }(a)+{\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{x}(x-a)^{\nu }f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,\end{aligned}}}$

defining ${\displaystyle L(f)}$ as the error of the approximation, using the linearity of ${\displaystyle L}$ together with exactness for ${\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }}$ to annihilate all but the final term on the right-hand side, and using the ${\displaystyle (\cdot )_{+}}$ not$적분{\displaystyle }$한계에서 x {\displaystyle $x}$ -display를$$ 제거하기 위한 단계.^[3]

참고 항목

• 구분차이

참조