구분차이

수학에서, 분열된 차이는 알고리즘으로, 역사적으로 로그와 삼각함수의 표를 계산하는데 사용된다.^{[citation needed]}초기 기계식 계산기인 찰스 배비지의 차이 엔진은 이 알고리즘을 작동에 사용하도록 설계되었다.^[1]null

분열된 차이는 반복적인 분열 과정이다.이 방법을 사용하여 뉴턴 형식의 보간 다항식 계수를 계산할 수 있다.null

정의

k + 1 데이터 점 지정

${\displaystyle(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k}}}}$

전방으로 나누어진 차이는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \{0,\ldots,k\}}$

${\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j}]:={\frac {[y_{\nu +1},\ldots ,y_{\nu +j}]-[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$

역분할된 차이는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \{0,\ldots,k\}}$

${\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j}]:={\frac {[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j+1}]-[y_{\nu -1},\ldots ,y_{\nu -j}]}{x_{\nu }-x_{\nu -j}}},\qquad \nu \in \{j,\ldots ,k\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$

표기법

만약 데이터 포인트가 함수 as으로 주어진다면,

${\displaystyle(x_{0},f(x_{0}),\ldots ,(x_{k},f(x_{k})}}$

가끔 글을 쓴다.

${\displaystyle f[x_{\nu }]:=f(x_{\nu }),\qquad \nu \in \{0,\ldots,k\}}}$

${\displaystyle f[x_{\nu },\ldots,x_{\nu +j}]:={\frac {f[x_{\nu +1},\ldots ,x_{\nu +j}]-f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$

노드 x₀, ..., x의_n 함수 ƒ의 분할된 차이에 대한 몇 가지 공지가 사용된다.

${\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n}]f,}$

${\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n};f],}$

${\displaystyle D[x_{0},\ldots ,x_{n}]f}$

등

예

ν${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \nu =0}$과($)$ j {\$displaystyle$ j$}$의 처음 몇 개의 값에 대한 구분된 차이$:$

${\displaystyle{\begin{정렬}{\mathopen{[}}y_{0}]&, =y_{0}\\{\mathopen{[}}y_{0}일 경우 ,y_{1}]&^{\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\{{^{{{{\mathopen\frac[}}y_{1},y_{2}]-{\mathopen{[}}y_{0}일 경우 ,y_{1}][}}y_{0}일 경우 ,y_{1},y_{2}]& \mathopen}{x_{2}-x_{0}}}={\frac{{\frac{{2y_}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}){\fra.c{y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0})}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2},y_{3}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}\end{aligned}}}$

재귀 프로세스를 보다 명확히 하기 위해, 분할된 차이를 표 형식으로 표시할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{행렬}x_{0}&, y_ᆴ=[y_{0}]&,&&\\&, &,[y_{0}일 경우 ,y_{1}]&, &, \\x_{1}&, y_ᆶ=[y_{1}]&, &,[y_{0}일 경우 ,y_{1},y_{2}]&, \\&, &,[y_{1},y_{2}]&, &,[y_{0}일 경우 ,y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&, y_ᆸ=[y_{2}]&, &,[y_{1},y_{2},y_{3}]&, \\&, &,[y_{2},y_{3}]&, &, \\x_{3}&, y_ᆺ=[y_{3}]&, &&\\\end{매트릭스}}}$

특성.

• 선형성

${\displaystyle (f+g)[x_{0},\reason,x_{n}]=f[x_{0},\reason,x_{n}]+g[x_{0},\reason,x_{n}]}}$

${\displaystyle(\displaystyle \cdot f)[x_{0},\x_{n}]=\data \cdot f[x_{0},\display,x_{n}]}}$

• 라이프니츠 규칙

${\displaystyle (f\cdot g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0}]\cdot g[x_{0},\dots ,x_{n}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot g[x_{1},\dots ,x_{n}]+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot g[x_{n}]=\sum _{r=0}^{n}f[x_{0},\ldots ,x_{r}]\cdot g[x_{r},\ldots ,x_{n}]}$

• 분할된 차이는 대칭이다.${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$:${\displaystyle }${ 0${\displaystyle }$,${\displaystyle }$,${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \}}$ →${\displaystyle }${${\displaystyle }$0${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle n\}}$ ${\displaystyle \sigma :\{0,\dots,n\}\to \{0,\dots,n\}}}}}$이(가) 순열인 경우$$.

${\displaystyle f[x_{0},\displaystyle ,x_{n}]=f[x_{\ma (0)},\display,x_{\ma (n)}]}$

• 분할된 차이에 대한 평균값 정리로부터 다음 사항을 따른다.

${\$$}}}{}{\displaystyle \xi$}}이(${\displaystyle {가}_{}}$)$$x k {\$displaystyle x_$k}s 중 가장 작고 큰 것으로 결정된 열린 간격에 있음$$.

행렬 양식

분할된 차이 계획은 상위 삼각 행렬에 넣을 수 있다.Let ${\displaystyle T_{f}(x_{0},\dots ,x_{n})=$${\begin{pmatrix}f[x_{0}]&f[x_{0},x_{1}]&f[x_{0},x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{0},\dots ,x_{n}]\\0&f[x_{1}]&f[x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{1},\dots ,x_{n}]\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &f[x_{n}]\end{pmatrix}}}$.

그러면 그것은 지탱한다.

• ${\displaystyle T_{f+g}x=T_{f}x+T_{g}x}$
• ${\displaystyle T_{f\cdot g}x=T_{f}x\cdot T_{g}x}$

이것은 라이프니츠 규정에서 따온 것이다.그것은 그러한 행렬의 곱셈이 서로 일치한다는 것을 의미한다.동일한 노드 집합에 대해 분할된 차이 체계 행렬이 정류 링을 형성한다.

• $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{f}x}$는 삼각$$ 행렬이므로 고유값은 분명히 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) , ${\displaystyle \dots ,f(}$ ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle f(x_{0}),\dots ,f(x_{n}})$이다$.$
• ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ $\{\$을(를) 크로네커 델타 같은 함수로$$ 하자.

${\displaystyle \property_{\xi }t(t)={\case}1&:t=\xi,\0&\\mbox{box}}}.\end{case}}}$

분명히 $f{\displaystyle }$Δ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Delta }_{}\Delta }$ = f (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle {}_{}}$ Δ ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ Δ Δ${\$$xi$ $\},$ 따라서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\$_{\xi$$}는 점함수 곱의 고유함수이다.That is ${\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}x}$ is somehow an "eigenmatrix" of ${\displaystyle T_{f}x}$: ${\displaystyle T_{f}x\cdot T_{\delta _{x_{i}}}x=f(x_{i})\cdot T_{\delta _{x_{i}}}x}$.그러나 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Delta {}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{x{}_{}}_{}}_{}}$ i ${\displaystyle {{{}_{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle T_{\delta _{x_}x}$의 모든 열은 서로 배수로, T$$ $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {i{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{x_{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle$ T_{\$delta _{x_}x}x}$의 행렬 순위는 1이다$$.따라서 각 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Delta {}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{x{}_{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{i_{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{{}_{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle T_{\delta$ $_$${x_{i}}x}$의 $i{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $i}$ -th$$ 열에서 모든 고유 벡터의 행렬을 구성할 수 있다$.$ $:$

${\displaystyle U(x_{0}일 경우 ,x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{pmatrix}1&,{\frac{1}{(x_{1}-x_{0})}}&{\frac{1}{(x_{2}-x_{0})\cdot(x_{2}-x_{1})}}&{\frac{1}{(x_{3}-x_{0})\cdot(x_{3}-x_{1})\cdot(x_{3}-x_{2})}}\\0&, 1&,{\frac{1}{(x_{2}-x_{1})}}&{\frac{1}{(x_{3}-x_{1})\cdot(x_{3}-x_{2})}}\\0&, 0&, 1&,{\frac{1}{(x_{3}-x_{2})}}\\0&a.융점, 0&, 0&, 1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {Tf}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{f}x}$의 대각선은 다음과 같이 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle Ux\cdot \operatorname {diag}(f(x_{0}),\dots ,f(x_{n})=$$T_{f}x\cdot Ux}$.

대체 정의

확장형

${\displaystyle{\begin{정렬}[x_{0}]&, =fᆫ\\f[x_{0}일 경우 ,x_{1}]&, ={\frac{f(x_{0})}{(x_{0}일 경우 -x_{1})}}+{\frac{f(x_{1})}{(x_{1}-x_{0})}}\\f[x_{0}일 경우 ,x_{1},x_{2}]&, ={\frac{f(x_{0})}{(x_{0}일 경우 -x_{1})\cdot(x_{0}일 경우 -x_{2})}}+{\frac{f(x_{1})}{(x_{1}-x_{0})\cdot(x_{1}-x_{2})}}+{\frac{f(x_{2})}{(x_{2}-x_{0})\cdot(x_{2}-x_{1})}}\\f-LSB- x_{0},x_{1},x_{2},.x_{3}]&){\frAc{f(x_{0})}{(x_{0}일 경우 -x_{1})\cdot(x_{0}일 경우 -x_{2})\cdot(x_{0}일 경우 -x_{3})}}+{\frac{f(x_{1})}{(x_{1}-x_{0})\cdot(x_{1}-x_{2})\cdot(x_{1}-x_{3})}}+{\frac{f(x_{2})}{(x_{2}-x_{0})\cdot(x_{2}-x_{1})\cdot(x_{2}-x_{3})}}+\\&,\quad \quad{\frac{f(x_{3})}{(x_{3}-x_{0})\cdot(x_{3}-x_{1})\cdot(x_{3}-x_{2})}}\\f[x_{0}일 경우 ,\dots{n,x_}]&,=\sum _{j=0}^{n}{\fr.교류{f(x_{j}{\prod_{k\in \{0,\prod,n\}\setminus \{j\}}}}{j\}}(x_-x_{k}})}\end{aigned}}}}}}}}}$

${\displaystyle q}$ (${\displaystyle )}$) =${\displaystyle }$(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ - x 0${\displaystyle {}_{}}$)$$${\displaystyle \cdots }$( -${\displaystyle }$- x ) ⋯ ( x - x n${\displaystyle {}_{}}$) { (${\displaystyle \xi }$ - ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ) ${\displaystyle q(\xi_{0$})=(\$xi -x_${n$})\cdots$ (\$xi$ -x_${n}})$의 도움을 받아 다음과 같이 기록할$$ 수 있다.

${\displaystyle f[x_{0},\displaystyle ,x_{n}]=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f(x_{j}}}}}{q'(x_{j}}}}}}}}.}$

${\displaystyle {또는}_{}}$ < ${\displaystyle k<0}$ ${\displaystyle {\mathrm{또는}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$<${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle k>{$$k}=x_{k+n+1}=x_{$$k-$$(n+1)}$을(를$)$ 정의하여 시퀀스의 시작부터 거꾸로 카운트를 허용할 수 있다${\displaystyle {\mathrm{이}}_{}}$ 정의를 통해 $x{\displaystyle {}_{}}$- 1 ${\$$displaystyle$ $x_{-1$$},$$x{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 2_{}}$ ${\$${n-1},$$x{\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ${\$${-n$$},$ $x{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$displaystyle$ $x_{-n},$ ${\displaystyle {등}_{}}$으로 해석할$$ 수$$ 있다$$$.$이렇게 나누어진 차이의 확장된 형태는

${\displaystyle f[x_{0},\displaystyle f[x_{n}]=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f(x_{j}}}}}}{k=j-n}^{j-1}(x_}-x__{k})}}}}=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f(x_{j})}{\prod \prod \prod \prod _{k=j+1}^{j+n}(x_{j}-x_{k}})}}}}$

그러나 또 다른 특성화는 다음과 같은 한계를 활용한다.

${\displaystyle f[x_{0},\data.x_{n}]=\sum _{j=0}^{n}\lim _{x\right]{x\frac {f(x_{j})(x-_{j})}{prod \prod \{k=0}{n}{n}}}}}}}}오른쪽}}}}$

부분분수

분할된 차이의 확장된 형태를 사용하여 부분 분수를 나타낼 수 있다.(이는 연산을 단순화하는 것이 아니라 그 자체로 흥미롭다.)어디서 deg 와<>degq{\displaystyle \mathrm{deg})p< 만약 p{p\displaystyle}와 q{\displaystyle q}은 다항의 기능,;\mathrm{도})q}과q{\displaystyle q}선형 면에서 q(ξ))(ξ − x1)⋅ ⋯ ⋅(ξ −)n){\displaystyle q(\xi)=(\xi -x_{1})\cd에 의해서 주어진다.고르\d$ots \cdot$(\$xi -x_{n$ 그러면 다음과 같은 부분분수분해에서 나타난다.

${\displaystyle {\frac {p(\xi )}{q(\xi )}}=\좌측(t\t\t) {\frac {p(t)}{\xi -t}\우측)[x_{1},\capt;x_{n}].}$

분할된 차이의 한계가 허용될 경우, ${\displaystyle x_{}}$ j$${\$displaystyle x_{j}$ 중 일부가 일치하는$$ 경우 이 연결도 유지된다.null

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$이(가) 임의의 정도를 갖는 다항식 $함수$이고 f${\displaystyle (x}$) = ${\displaystyle p(}$x${\displaystyle }$) +${\displaystyle q(x}$)에 의해 분해되는 경우$,$ $f{\displaystyle }$$$${\$$displaystyle$$f$}의 다항식 분할을$$ $사용$하여 f$(x)=p(x)+q(x$$)\backslash$$cdot d$$($$x)$에 의해 분해된다.

${\displaystyle {\frac {p(\xi )}{q(\xi )}}=\좌측(t\t\t) {\frac {f(t)}{\xi -t}\우측)[x_{1},\capt;x_{n}].}$

페아노 형식

분단된 차이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle f[x_{0},\ldots,x_{n}]={\frac {1}{n!}}}\int _{x_{0}^{x_{n}f^{(n)}(t)B_{n-1}(t)\,dt}$

where ${\displaystyle B_{n-1}}$ is a B-spline of degree ${\displaystyle n-1}$ for the data points ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ and ${\displaystyle f^{(n)}}$ is the ${\displaystyle n}$-th derivative of the function ${\displaystyle f}$.

이것을 분단차이의 페아노 형태라고 하며, B ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- 1 ${\$ 둘 다 주세페 페아노의 이름을 따서 분단차이의 피아노 커널이라고 한다$$.null

테일러 폼

퍼스트 오더

노드가 누적되면 거의 두 개의 0을 분할하기 때문에 분할된 차이에 대한 수치 계산이 부정확하며, 각 0은 유사한 값에 대한 근사치 차이로 인해 상대적 오차가 높다.그러나 우리가 알고 있는 차이 인수는 파생상품과 비슷하며 그 반대도 다음과 같다.

${\displaystyle \frac{}{}}$$f$( ${\displaystyle \frac{y}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$- f${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle x\frac{}{}}$) -${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle {\$$frac {\f(y)-$f$($$x$)}{y-x$}}}}$에 대한$$ 약 f'($x$$)}$

이 근사치는 테일러의 정리가 적용될 때마다 정체성으로 바뀔 수 있다.null

${\displaystyle f(y)=f(x)+f'(x)\cdot(y-x)+f"(x)\cdot {\frac {(y-x)^{2}}!}}}+f''(x)\cdot {\frac {(y-x)^{3}{3}}{3!}}}+\cHB }$

${\displaystyle \Rightarrow {\f(y)-f(x)}{y-x}}}{y-x}}=f'+f'(x)\cdot {\frac {y-x}{2!}}}+f''(x)\cdot {\frac {(y-x)^{2}}{3!}}}+\cHB }$

$중앙$의$$테일러 $시리즈$를 x {\$displaystyle$ $}$과(와) y {\displaystyle $y}$ 사이에 확장하여$$ $y{\displaystyle }$- x ${\displaystyle y}$의 이상한 힘을 제거할 수 있다$.$

${\displaystyle x}$= ${\displaystyle m}$- h${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$= m${\displaystyle }$+ ${\displaystyle h}$ = ${\displaystyle m}$ + h ${\displaystyle$ x$=m-h,$${\displaystyle y}$$=m+h$ 즉 $m{\displaystyle }$= x${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle y\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{},}$ ${\displaystyle h\frac{}{}}$= y${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ h$={\frac {y-x}{2$}}:}

${\displaystyle f(m+h)=f(m)+f'\cdot h+f''(m)\cdot {\frac{h^{2}}!}}}+f''(m)\cdot {\frac{h^{3}{3}{3!}}}+\cHB }$

${\displaystyle f(m-h)=f(m)-f'\cdot h+f''(m)\cdot {\frac{h^{2}}!}}-f''(m)\cdot {\frac{h^{3}{3}{3!}}}+\cHB }$

${\displaystyle {\f(y)-f(x)}{y-x}={\frac {f(m+h)-f(m-h)}{2\cdot h}=f'+f''''\cdot {\h^{3!}}}+\cHB }$

상위순서

Taylor 시리즈 또는 함수 시리즈가 있는 다른 표현은 원칙적으로 분할된 차이의 근사치를 위해 사용될 수 있다.테일러 시리즈는 무한한 전력 함수의 총합이다.함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에서 분할$$ $차이{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$[${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}}}}$까지의 매핑은 선형 함수다.우리는 이 기능을 기능 총합에 적용할 수도 있다.null

일반적인 함수로 전력 표기법 표현: $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle n^{}}$. ${\displaystyle p_{n}(x)=x^{n}.$$}$

Regular Taylor series is a weighted sum of power functions: ${\displaystyle f=f(0)\cdot p_{0}+f'(0)\cdot p_{1}+{\frac {f''(0)}{2!$$}}}\cdot p_{2}+{\frac {f'''(0)}{3!$$}}}\cdot p_{3}+\pair }$

Taylor series for divided differences: ${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=f(0)\cdot p_{0}[$$x_{0},\property,x_{n}]+f'(0)\cdot p_{1}[x_{0},\property,x_{n}]+{\frac {f"(0)}{2!$$}}}\cdot p_{2}[x_{0}},\flas,x_{n}]+{\frac {f'(0)}{3!$$}}}\cdot p_{3}[x_{0},\reason,x_{n}]+\reason }}$

다항식 순서보다 차이 순서가 높기 때문에 첫 $번째{\displaystyle }$ n ${\displaystylen}$ 용어는$$ 소멸한다는 것을 알고 있으며, 다음 용어에서 분단된 차이는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{llcl}\forall j<n&p_{j}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=&0\\&p_{n}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=&1\\&p_{n+1}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=&x_{0}+\dots +x_{n}\\&p_{n+m}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=&\sum _{a\in \{0,\dots ,n\}^{m}{\text{ with }}a_{1}\leq a_{2}\leq \dots \leq a_{m}}\prod _{j\in a}x_{j}.\\end{array}}}$

따라서 분할된 차이에 대한 Taylor 시리즈는 $기본적$으로 f${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$(${\displaystyle \frac{{}^{}\mathrm{n}}{}}$ )${\displaystyle \frac{}{}}$( 0 ) ${\displaystyle \frac{!}{}}$ ${\${\$f^{f$^{($n)}{$n}{$n!$$}}}$은(는) 분할된 차이에 대한 평균값 정리에 따라 분할된 차이의 단순한 근사값이기도 하다.null

만일 우리가 전력 함수에 대한 분할된 차이를 통상적인 방법으로 계산해야 한다면, $우리$는 f ${\displaystyle f}$의 분할된 차이를 계산할 때 겪었던 것과 같은 수치상의 문제를 마주하게 될 것이다$.$좋은 점은, 더 간단한 방법이 있다는 것이다.그것은 지탱하고 있다.

${\displaystyle t^{n}=(1-x_{0}\cdot t)\cdot (1-x_{n}\cdot t)\cdot (p_{0}[x_{0},\cd_{n}]+p_{1}}[x_{0}},\messages ,x_{n}]\cdot t+p_{2}}[x_{0}},\reason,x_{n}]\cdot t^{2}+\reason.}$

따라서 공식 파워 시리즈를 분할하여 p ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 분할된 차이를 계산할 수 있다.여러 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해 $p{\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle p_{n}[h]}$을(를) 계산할 때 이것이 전력의 연속적인 계산으로 어떻게 감소하는지 확인하십시오$.$

Taylor 시리즈에 대해 전체적으로 분할된 차이 체계를 계산해야 하는 경우, 전력 시리즈의 분할된 차이에 대한 섹션을 참조하십시오.null

다항식 및 파워 시리즈

다항식의 분열된 차이는 라이프니츠 법칙의 혜택을 받을 수 있기 때문에 특히 흥미롭다.다음이$$ 포함된 $매트릭스{\displaystyle }$ J ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}x_{0}&1&0&0&\cdots &0\\0&x_{1}&1&0&\cdots &0\\0&0&x_{2}&1&&0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\ddots &\\0&0&0&0&&x_{n}\end{pmatrix}}}$

노드 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 따라서 ${\displaystyle {Jn}^{}}$ ${\$$displaystyle$ J$^{n}}$은(는) 전력함수에 대한 분할된 차이점을 포함하며$,$ 따라서 분할된 차이점은 $지수{\displaystyle }$ n {\dexent n {\$displaystyle$ n$}$s for a polynomial function ${\displaystyle \varphi (p)}$ with respect to the polynomial ${\displaystyle p}$ by applying ${\displaystyle p}$ (more precisely: its corresponding matrix polynomial function ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {M} }(p)}$) to the matrix ${\displaystyle J}$.

${\displaystyle \varphi (p)(\xi )=a_{0}+a_{1}\cdot \xi +\cdm +a_{n}\cdot \xi ^{n}}$

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {M}}}(p)(J)=a_{0}+a_{1}}\cdot J+\dots +a_{n}\cdot J^{n}}}$

${\displaystyle={\begin{pmatrix}\varphi(p)[x_{0}]&, \varphi(p)[x_{0}일 경우 ,x_{1}]&, \varphi(p)[x_{0}일 경우 ,x_{1},x_{2}]&, \ldots &, \varphi(p)[x_{0}일 경우 ,\dots{n,x_}]\\0&, \varphi(p)[x_{1}]&, \varphi(p)[x_{1},x_{2}]&, \ldots, \varphi(p)[x_{1},\dots{n,x_}]\\\vdots &, \ddots &, \ddots &, \ddots &, \vdots \\0&, \ldots &, 0&, 0& &.앰프, \varphi(p)[x_{n}]\end{pmatrix}}}$

이것은 오피츠의 공식으로 알려져 있다.^[2][3]

$이제{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$의 정도를 무한대로$$ 늘리는 것, 즉 Taylor 다항식을 Taylor 시리즈로 바꾸는 것을 고려해 보십시오.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 파워 시리즈에 해당하는 함수로 두십시오$$.$J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$에 적용된 행렬 시리즈를 계산하여 분할된 차이 체계를 계산할 수 있다$.$ 노드 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이 모두 같으면$$ J ${\displaysty J}$는 조던 블록이며, 계산은 스칼라 함수를 매트릭스 펑티오에 일반화하는 것으로 요약된다.n 조던 분해 사용.null

전진차이

데이터 포인트가 균등하게 분산될 때 우리는 전진 차이라고 불리는 특별한 경우를 얻는다.그것들은 더 일반적으로 나누어진 차이보다 계산하기가 쉽다.null

전방 분할 차이에서 전방 분할 차이를 복구하려면 전방 분할 차이에서 "분할된 부분"을 여전히 계산해야 한다는 점에 유의하십시오.null

정의

데이터 점 n개 지정

${\displaystyle(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1}})$

와 함께

${\displaystyle x_{\nu }=x_{0}+\nu h,\h>0,\nu =0,\ldots,n-1}$

분할된 차이는 다음과 같이 정의된 전방 차이를 통해 계산할 수 있다.

${\displaystyle \Delta ^{(0)}y_{i:=y_{i}}}$

${\displaystyle \Delta ^{(k)}y_{i}:=\Delta ^{(k-1)}y_{i+1}-\Delta ^{(k-1)y_{i}}\k\geq 1.}$

분열된 차이와 전진적인 차이 사이의 관계는^[4]

${\displaystyle f[x_{0},x_{1},\ldots,x_{k}]={\frac {1}{1}{k!h^{k}}}}\Delta ^{{(k)f(x_{0}).}$

예

${\displaystyle {\begin{matrix}y_{0}&&&\\&\Delta y_{0}&&\\y_{1}&&\Delta ^{2}y_{0}&\\&\Delta y_{1}&&\Delta ^{3}y_{0}\\y_{2}&&\Delta ^{2}y_{1}&\\&\Delta y_{2}&&\\y_{3}&&&\\\end{matrix}}}$

참고 항목

• 차액지수
• 네빌 알고리즘
• 다항 보간법
• 분할된 차이에 대한 평균값 정리
• 외룬드-라이스 적분
• 파스칼 삼각형

참조

• Louis Melville Milne-Thomson (2000) [1933]. The Calculus of Finite Differences. American Mathematical Soc. Chapter 1: Divided Differences. ISBN 978-0-8218-2107-7.
• Myron B. Allen; Eli L. Isaacson (1998). Numerical Analysis for Applied Science. John Wiley & Sons. Appendix A. ISBN 978-1-118-03027-1.
• Ron Goldman (2002). Pyramid Algorithms: A Dynamic Programming Approach to Curves and Surfaces for Geometric Modeling. Morgan Kaufmann. Chapter 4:Newton Interpolation and Difference Triangles. ISBN 978-0-08-051547-2.

외부 링크

• 하스켈에서의 구현.