주기적 경계 조건

Periodic boundary conditions
2D 단위의 주기적 경계 조건
흐르는 물을 시뮬레이션하는 데 사용되는 물 분자가 있는 단위 세포

주기적 경계 조건(PBCs)은 단위 셀이라고 불리는 작은 부분을 사용하여 큰 (무한한) 시스템에 근사하게 하기 위해 종종 선택되는 경계 조건의 집합이다. PBC는 종종 컴퓨터 시뮬레이션과 수학 모델에 사용된다. 2차원 PBC의 위상은 일부 비디오 게임의 세계 지도와 동일하다; 단위 셀의 기하학은 완벽한 2차원 타일링을 만족시키고, 물체가 단위 셀의 한 쪽을 통과할 때 동일한 속도로 반대편에 다시 나타난다. 위상학적으로 볼 때 2차원 PBC에 의해 만들어진 공간은 토러스(계산)에 매핑된 것으로 생각할 수 있다. PBC에 의해 근사치된 큰 시스템은 무한한 수의 단위 셀로 구성된다. 컴퓨터 시뮬레이션에서 이것들 중 하나는 원본 시뮬레이션 박스이고, 다른 것들은 이미지라고 불리는 복사본이다. 시뮬레이션 중에는 원래 시뮬레이션 박스의 속성만 기록하여 전파하면 된다. 최소 이미지 규약은 시뮬레이션에서 각 개별 입자가 시스템에 남아 있는 입자의 가장 가까운 이미지와 상호 작용하는 PBC 입자 부기의 일반적인 형태다.

경계 조건의 한 예는 다음과 같이 부드러운 실제 함수 functions : n → 에 따라 정의할 수 있다.

모든 m = 0, 1, 2, ... 및 상수에 대해 및 i

분자역학 시뮬레이션에서 PBC는 보통 대량 가스, 액체, 결정 또는 혼합물의 특성을 계산하기 위해 적용된다. 일반적인 애플리케이션은 PBC를 사용하여 명시적 용매 욕조에서 용해된 고분자를 시뮬레이션한다. Born-von Karman 경계 조건은 특별한 시스템의 주기적인 경계 조건이다.

전자석의 경우 PBC를 다른 메쉬 유형에 적용하여 주기적 구조의 전자기 특성을 분석할 수 있다.[1]

요구 사항 및 아티팩트

3차원 PBC는 기체, 액체, 고형물의 거시적 규모의 시스템의 거동을 근사하게 계산하는데 유용하다. 평면 표면을 시뮬레이션하는 데도 3차원 PBC를 사용할 수 있는데, 이 경우 2차원 PBC가 더 적합한 경우가 많다. 평면 표면을 위한 2차원 PBC를 슬래브 경계 조건이라고도 하는데, 이 경우 PBC는 두 개의 데카르트 좌표(예: x와 y)에 사용되며, 세 번째 좌표(z)는 무한대로 확장된다.

PBC는 Ewald 합계법(예: 입자망 Ewald법)과 함께 사용하여 시스템의 정전기력을 계산할 수 있다. 그러나 PBC는 또한 시스템의 변환적 비협조를 존중하지 않는 상관적 인공물을 도입하고,[2] 시뮬레이션 박스의 구성과 크기에 제약이 필요하다.

고체 시스템의 시뮬레이션에서, 시스템의 어떤 비균형성에서 발생하는 변형장은 주기적 경계에 의해 인위적으로 잘리고 수정될 것이다. 마찬가지로 시스템 내 음파나 충격파, 음파의 파장은 박스 크기에 의해 제한된다.

이온(Coulomb) 상호작용을 포함하는 시뮬레이션에서 PBC가 적용될 때 무한충전까지 합치지 않으려면 시스템의 순정전기 전하가 0이어야 한다. 어떤 용도에서는 관심 분자가 충전된 경우 나트륨이나 염화물과 같은 이온을 적절한 숫자로 첨가하여 중립성을 확보하는 것이 적절하다. 때로는 이온이 관심 있는 분자가 중성인 시스템에 추가되어 분자가 자연적으로 나타나는 용액의 이온 강도를 대략적으로 추정하기도 한다. 또한 최소 이미지 규약을 유지하려면 일반적으로 비결합력에 대한 구형 컷오프 반경이 입방형 상자의 한쪽 면의 절반 길이에 있어야 한다. 정전기적으로 중립적인 시스템에서도 단위 셀의 순 쌍극자 모멘트는 극성 결정의 화전성에 해당하는 가짜 대량 표면 에너지를 도입할 수 있다.

시뮬레이션 박스의 크기 또한 시뮬레이션의 비물리적 위상 때문에 주기적인 아티팩트가 발생하지 않도록 충분히 커야 한다. 너무 작은 상자 안에서, 마크로몰리큘은 인접한 상자 안에서 자신의 이미지와 상호작용을 할 수 있는데, 이것은 기능적으로 분자의 "머리"가 자신의 "꼬리"와 상호작용을 하는 것과 같다. 이는 결과의 크기와 대량의 크기에 비례하는 적절한 상자 크기는 시뮬레이션의 의도된 길이, 원하는 정확도 및 예상 역학에 따라 다르지만 대부분의 고분자에서 매우 비물리적 역학을 생성한다. 예를 들어, 고유 상태에서 시작되는 단백질 접힘 시뮬레이션은 변동을 줄일 수 있으며, 따라서 무작위 코일 순응에서 시작하는 시뮬레이션처럼 큰 박스를 필요로 하지 않을 수 있다. 그러나, 시뮬레이션이나 실험에서 용해 껍질이 관측된 역학에 미치는 영향은 잘 이해되지 않는다. DNA 시뮬레이션을 기반으로 하는 일반적인 권장사항은 모든 차원에서 관심 분자 주위에 최소 1nm의 용매를 요구하는 것이다.[3]

실제 구현: 연속성 및 최소 이미지 규칙

시뮬레이션 박스의 한 면을 통과한 물체는 반대면을 통해 다시 들어가야 하며, 그렇지 않으면 이미지로 다시 들어가야 한다. 분명히 다음과 같은 전략적 결정을 내려야 한다. 입자가 시뮬레이션 상자에서 나올 때 입자를 "뒤로 접는"가 되는가, 아니면 (B) 입자가 계속 진행되도록 하는가(그러나 가장 가까운 영상과의 상호 작용을 계산)? 이 결정은 시뮬레이션 과정에는 영향을 미치지 않지만 사용자가 평균 변위, 확산 길이 등에 관심이 있는 경우 두 번째 옵션이 바람직하다.

(가) 입자 좌표를 시뮬레이션 박스로 제한

PBC 알고리즘을 구현하려면 최소 두 단계가 필요하다.

좌표 제한은 다음과 같은 코드로 설명할 수 있는 간단한 연산이며, 여기서 x_size는 한 방향의 상자 길이(원점을 중심으로 한 직교 단위 셀을 가정함)이고 x는 같은 방향의 입자의 위치다. 

만일 (주기적_x) 그때   만일 (x <  -x_size * 0.5) x = x + x_size   만일 (x >=  x_size * 0.5) x = x - x_size 의 경우에 끝나다.

물체 사이의 거리와 벡터는 최소 이미지 기준을 준수해야 한다. 이는 다음 코드에 따라 구현될 수 있다(dx가 객체 i에서 객체 j까지의 거리 방향 벡터인 1차원 시스템의 경우). 

만일 (주기적_x) 그때   dx = x(j) - x(i)   만일 (dx >   x_size * 0.5) dx = dx - x_size   만일 (dx <= -x_size * 0.5) dx = dx + x_size 의 경우에 끝나다.

3차원 PBC의 경우, 두 조작을 모두 3차원 모두에서 반복해야 한다.

이러한 수술은 원점을 상자의 한 귀퉁이로 이동시킬 경우 정형세포에 대해 훨씬 더 컴팩트한 형태로 작성할 수 있다. 그리고 우리는 한 차원에서는 각각 위치와 거리에 대해 다음과 같이 한다. 

! PBC와 무관하게 x(i) 업데이트 후: x(i) = x(i) - 마루를 깔다(x(i) / x_size) * x_size  ! 왼쪽 아래 꼭지점에 원점이 있는 상자의 경우 어떤 이미지에서든 x의 거짓말을 위해 작동한다. dx = x(j) - x(i) dx = dx - 보풀을 뜨다(dx / x_size) * x_size

(나) 입자 좌표를 제한하지 않는다.

왼쪽 아래 전방 모서리에 원점이 있는 직교섬브 시뮬레이션 박스를 가정할 때, 유효 입자 거리 계산을 위한 최소 영상 규약은 위에 나타낸 것과 같은 "가장 가까운 정수" 함수로 계산할 수 있다(여기서 C/C++ 코드: 

x_rsize = 1.0 / x_size; // 상자 크기를 설정하거나 변경할 때만 계산  dx = x[j] - x[i]; dx -= x_size * 근방의(dx * x_rsize);

이 작업을 수행하는 가장 빠른 방법은 프로세서 아키텍처에 달려 있다. dx 기호가 관련이 없는 경우, 방법 

dx = 팹(dx); dx -= 정적_캐스트<인트로>(dx * x_rsize +  0.5) * x_size;

2013년 x86-64 프로세서에서 가장 빠른 것으로 나타났다.[4]

비정형 세포의 경우 상황은 더 복잡하다.[5]

이온 시스템의 시뮬레이션에서, 예를 들어 Ewald 합산과 같은 여러 박스 영상에 걸쳐 있는 장거리 쿨롱 상호작용을 처리하기 위해 더 복잡한 연산이 필요할 수 있다.

단위 셀 기하학

PBC는 단위 셀을 3차원 결정체로 완벽하게 타일 모양으로 만들 것을 요구한다. 따라서 구면 또는 타원형 방울은 사용할 수 없다. 정육면체나 직사각형 프리즘이 가장 직관적이고 일반적인 선택이지만, 중앙 고분자로부터 멀리 떨어진 구석에 불필요한 양의 용제 분자 때문에 계산적으로 비용이 많이 들 수 있다. 더 적은 부피를 필요로 하는 일반적인 대안은 잘린 팔면체다.

일반 치수

2D 및 3D 공간의 시뮬레이션의 경우 입방 주기 경계 조건이 코딩에서 가장 단순하기 때문에 가장 일반적으로 사용된다. 그러나 고차원 시스템의 컴퓨터 시뮬레이션에서는 모서리가 공간의 대부분을 차지하기 때문에 고주파 주기 경계 조건이 덜 효율적일 수 있다. 일반적으로 단위 셀은 특정 격자 패킹의 위그너-세이츠 셀로 볼 수 있다.[6] 예를 들어, 고농축 정기 경계 조건은 고농축 격자 패킹에 해당한다. 그런 다음 해당 치수의 밀도 패킹에 해당하는 단위 셀을 선택하는 것이 바람직하다. 4D에서는 D4 격자, E8 격자 8차원이다. 이러한 고차원 주기적 경계 조건의 이행은 정보 이론에서 오류 수정 코드 접근법과 동등하다.[7]

보존 특성

주기적인 경계 조건에서 시스템의 선형 운동량은 보존되지만 각도 운동량은 보존되지 않는다. 이 사실에 대한 전통적인 설명은 라그랑지안의 회전 불변에서 각운동량의 보존이 따른다는 노에더의 정리에 근거한다. 그러나 이러한 접근방식은 일관성이 없는 것으로 나타났다. 주기적인 세포 내에서 움직이는 단일 입자의 각운동량 보전의 부재를 설명하지 못한다.[8] 입자의 라그랑지안은 일정하므로 회전 불변성이며, 입자의 각운동량은 보존되지 않는다. 이러한 모순은 노에더의 정리가 대개 폐쇄적인 시스템에 대해 공식화되기 때문에 발생한다. 주기적인 세포는 질량 운동량, 각 운동량, 에너지를 이웃한 세포와 교환한다.

그 마이크로 정준 앙상블(일정 개수, 볼륨 그리고 에너지, 단축 NVE)에,를 사용하여 적용되 PBC보다는 벽을 반영하는 약간 이 앙상블은"분자 동력 앙상블"[9]이라고 하고 있는 시뮬레이션의 총 선 운동량의 보존 및 질량 중심의 입지 때문에 샘플링을 개정한다.또는 NVEPG [10]앙상블 이러한 추가 보존 수량은 온도의 통계적 기계적 정의, 볼츠만 분포에서의 속도 분포의 이탈 및 이질적인 질량을 가진 입자를 포함하는 시스템의 장비화 위반과 관련된 사소한 유물을 도입한다. 이러한 효과 중 가장 간단한 것은 분자역학 앙상블에서 N-1 입자의 체계로서 N 입자의 시스템이 작용한다는 것이다. 이러한 공예품들은 완벽하게 단단한 입자만을 포함하는 작은 장난감 시스템에 수량화할 수 있는 결과를 가지고 있다; 그것들은 표준 생체 분자 시뮬레이션을 위해 심층적으로 연구되지는 않았지만, 그러한 시스템의 크기를 고려할 때, 그 영향은 대부분 무시할 수 있을 것이다.[10]

참고 항목

메모들

  1. ^ Mai, W.; Li, P.; Bao, H.; Li, X.; Jiang, L.; Hu, J.; Werner, D. H. (April 2019). "Prism-Based DGTD With a Simplified Periodic Boundary Condition to Analyze FSS With D2n Symmetry in a Rectangular Array Under Normal Incidence". IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. 18 (4): 771–775. doi:10.1109/LAWP.2019.2902340. ISSN 1536-1225.
  2. ^ Cheatham, T. E.; Miller, J. H.; Fox, T.; Darden, P. A.; Kollman, P. A. (1995). "Molecular Dynamics Simulations on Solvated Biomolecular Systems: The Particle Mesh Ewald Method Leads to Stable Trajectories of DNA, RNA, and Proteins". Journal of the American Chemical Society. 117 (14): 4193–4194. doi:10.1021/ja00119a045.
  3. ^ de Souza, O. N.; Ornstein, R. L. (1997). "Effect of periodic box size on aqueous molecular dynamics simulation of a DNA dodecamer with particle-mesh Ewald method". Biophys J. 72 (6): 2395–2397. doi:10.1016/s0006-3495(97)78884-2. PMC 1184438. PMID 9168016.
  4. ^ Deiters, Ulrich K. (2013). "Efficient coding of the minimum image convention". Z. Phys. Chem. 227 (2–3): 345–352. doi:10.1524/zpch.2013.0311.
  5. ^ 비큐빅 시뮬레이션 셀의 최소 영상 규약
  6. ^ Berthier, Ludovic; Charbonneau, Patrick; Kundu, Joyjit (31 August 2020). "Finite Dimensional Vestige of Spinodal Criticality above the Dynamical Glass Transition". Physical Review Letters. 125 (10): 108001. arXiv:1912.11510. doi:10.1103/PhysRevLett.125.108001.
  7. ^ Conway, J.; Sloane, N. (March 1982). "Fast quantizing and decoding and algorithms for lattice quantizers and codes". IEEE Transactions on Information Theory. 28 (2): 227–232. CiteSeerX 10.1.1.392.249. doi:10.1109/TIT.1982.1056484.
  8. ^ Kuzkin, V. A. (2015). "On angular momentum balance in particle systems with periodic boundary conditions". ZAMM. 95 (11): 1290–1295. arXiv:1312.7008. doi:10.1002/zamm.201400045.
  9. ^ Erpenbeck, J. J.; Wood, W. W. (1977). Berne, B. J. (ed.). Statistical Mechanics, Part B: Time-dependent Processes. Modern Theoretical Chemistry. Vol. 6. New York: Plenum. pp. 1–40. ISBN 0-306-33506-9.
  10. ^ a b Shirts, R. B.; Burt, S. R.; Johnson, A. M. (2006). "Periodic boundary condition induced breakdown of the equipartition principle and other kinetic effects of finite sample size in classical hard-sphere molecular dynamics simulation". J Chem Phys. 125 (16): 164102. doi:10.1063/1.2359432. PMID 17092058.

참조

  • Rapaport, D. C. (2004). The Art of Molecular Dynamics Simulation (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-82568-7. esp. pp15–20을 참조한다.
  • Schlick, T. (2002). Molecular Modeling and Simulation: An Interdisciplinary Guide. Interdisciplinary Applied Mathematics. Vol. 21. New York: Springer. ISBN 0-387-95404-X. esp. pp272–6을 참조한다.