파피안 함수

수학에서 파피안 함수는 파생상품이 원래 함수의 관점에서 작성될 수 있는 특정 종류의 함수를 말한다.이들은 원래 아스콜트 호반스키가 1970년대에 도입했지만 독일의 수학자 요한 파프의 이름을 따서 지었다.

기본정의

일부 함수는 구별할 때 원래 함수의 관점에서 작성할 수 있는 결과를 제공한다.아마도 가장 간단한 예는 지수함수 f(x) = e일^x 것이다. 이 함수를 구별하면 우리는 다시 e를^x 얻게 된다.

$[\displaystyle f^{\premy }(x)=f(x)]}$

이와 같은 함수의 또 다른 예는 상호 함수 g(x) = 1/x이다.만약 우리가 이 기능을 차별화한다면 우리는 그것을 보게 될 것이다.

${\displaystyle g^{\premy }(x)=-g(x)^{2}}$

그 밖의 기능은 위의 속성을 갖지 않을 수 있지만, 그 파생상품은 위와 같은 기능의 관점에서 작성될 수 있다.예를 들어, 함수 h(x) = e log^x(x)를 선택하면

${\displaystyle h^{\premy }(x)=e^{x}\log x+x^{-1}e^{x}=h(x)+f(x)g(x).}$

이와 같은 기능은 소위 파피안 체인의 링크를 형성한다.그러한 체인은 f₁, f₂, f₃ 등의 일련의 함수로서, 만일 우리가 이 체인의 함수들 중 하나를 구별한다면, 그 결과는 기능 자체와 체인에서 그 앞에 있는 모든 함수들(특히 그러한 함수들과 관련된 변수들의 다항식으로서)의 관점에서 쓰여질 수 있는 성질을 가지고 있다.그래서 위의 기능들과 함께 우리는 f, g, h가 파피안 체인이라는 것을 가지고 있다.

Pafeian 함수는 Pafeian 체인과 함수 인수에 나타나는 함수의 다항식일 뿐이다.따라서 방금 언급한 Pafeian 체인과 함께 F(x) = xf³(x)² - 2g(x)h(x)와 같은 기능은 Pafeian이다.

엄밀한 정의

렛츠 U는 Rⁿ. A Pappeian 체인의 order r ≥ 0과 degree α ≥ 1은 실제 분석 함수₁ f,..., f in_r U에서 미분 방정식을 만족시키는 일련의 순서다.

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}{\partial x_{j}=P_{i,j}({\boldsymbol {x},f_{1}({\boldsymbol {x}),\ldots,f_{i}({\boldsymbol{x}}}})})}})}}}}}}}}}}}})}}}$

i = 1, ... r 여기서 P_{i, j} ∈ R[x₁, ..., x_n1, y, ..., y_i]은 α의 다항식이다. U에 대한 함수 f는 순서 r과 도(α, β)의 파피안 함수라고 한다.

${\displaystyle f({\boldsymbol{x}})=P({\boldsymbol{x}},f_{1}({\boldsymbol{x}),\,}$

여기서 P ∈ R[x₁, ..., x_n, y₁, y_r]은 최대 β ≥ 1의 도 다항식이다.r, α, β 숫자는 총칭하여 Pafeian 함수의 형식이라고 하며, 그 복잡성에 대한 유용한 측도를 제공한다.

예

• Pafeian 함수의 가장 사소한 예는 R[X]의 다항식이다.그러한 함수는 함수가 없는 체인인 순서 r = 0의 Pafeian 체인에 다항식이 될 것이다.그러한 함수는 다항식의 정도와 동일한 α = 0과 β를 가질 것이다.
• 아마도 가장 단순한 비종교적 Pafeian 함수는 f(x) = e일^x 것이다.f′ = f 등식으로 인해 순서 r = 1과 α = β = 1을 갖는 Paffian이다.
• 유도적으로 1㎛ < r에 대해₁ f(x) = exp(x) 및 f_m+1(x) = exp(x_m)를 정의할 수 있다.그러면 f_m′ = ff₁₂··f_m.그래서 이것은 순서 r과 도 α = r의 파피안 체인이다.
• 모든 대수함수는 쌍곡함수와 마찬가지로 적절한 영역에서 Pafeian이다.경계 간격의 삼각함수는 Pafeian이지만 간접적으로 형성되어야 한다.예를 들어, cos(x) 함수는 Pafeian chain tann(x/2)의 다항식이며, cos²(x/2) 간격은 (-time, π)이다.
• 사실 모든 기본적인 기능과 류빌리언 기능은 파피안이다.^[1]

모델 이론에서

실제 숫자의 순서 필드인 구조 R = (R, +, -, ·, <, 0, 1)을 고려한다.1960년대에 안드레이 가브리엘로프는 R로 시작해 유닛 박스[0, 1]^m로 제한된 모든 분석 기능에 함수 기호를 추가함으로써 얻은 구조가 모델 완성임을 증명했다.^[2]즉, 이 구조 R에서_an 정의 가능한 세트는 이러한 제한된 분석 기능을 포함하는 신분과 불평등에 의해 정의된 어떤 고차원 세트의 투영에 불과했다.

1990년대에 알렉스 윌키는 모든 분석함수를 추가하는 대신에 단지 R에 지수함수를 추가하면, 윌키의 정리라고 알려진 결과인, R과_exp 함께 순서가 정해진 실제 장을 얻을 수 있다면, 같은 결과를 가지고 있다는 것을 보여주었다.^[3]그리고 윌키는 이 결과를 얻기 위해 R에 어떤 유한한 기능들이 추가될 수 있는지에 대한 문제를 다루었다.상자 [0, 1]^m에 제한된 파피안 체인을 추가하면 동일한 결과를 얻을 수 있는 것으로 나타났다.특히 가브리엘로프의 결과와 윌키의 정리 사이의 중간 결과로서 구조 R을_Pfaff 얻기 위해 모든 파피안 함수를 R에 추가할 수 있다.지수함수는 그 자체로 파피안 체인이기 때문에, 지수화에 대한 결과는 이 후자의 결과의 특별한 사례로 볼 수 있다.^[4]

Wilkie의 이_Pfaff 결과는 구조 R이 O-minal 구조라는 것을 증명했다.

노메테리아식 함수

위의 방정식은 체인의 각 연속함수의 파생형이 하나의 추가 변수에서 다항식이기 때문에 삼각형 조건을 만족한다고 한다.따라서 그것들을 차례대로 작성하면 삼각형 모양이 나타난다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}^{\prime }&=P_{1}(x,f_{1})\\f_{2}^{\prime }&=P_{2}(x,f_{1},f_{2})\\f_{3}^{\prime }&=P_{3}(x,f_{1},f_{2},f_{3}),\end{aligned}}}$

등등.이 삼각성 조건이 완화되어 체인의 다른 모든 기능에서 각 기능의 파생물이 다항식이 되도록 한다면, 기능의 체인은 노에테리아식 체인으로 알려져 있으며, 이 체인에 다항식으로 구성된 기능을 노에테리아식 함수라고 한다.^[5]그래서 예를 들어, 순서 3의 노메테리아 체인은 방정식을 만족시키는 f₁, f₂, f의₃ 세 가지 함수로 구성되어 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}^{\prime }&=P_{1}(x,f_{1},f_{2},f_{3})\\f_{2}^{\prime }&=P_{2}(x,f_{1},f_{2},f_{3})\\f_{3}^{\prime }&=P_{3}(x,f_{1},f_{2},f_{3}).\end{정렬}}}$

그 이름은 그러한 체인의 기능들에 의해 생성된 반지가 노메테리아인이라는 사실에서 유래되었다.^[6]

어떤 파피안 체인도 노메트리안 체인으로, 각 다항식의 여분의 변수는 이 경우 간단히 중복된다.그러나 모든 노메테리아 체인이 파피안인 것은 아니다. 예를 들어, f₁(x) = sin(x)과₂ f(x) = cos(x)를 취하면 방정식이 있다.

${\displaystyle {\premise{f_{1}^{\premium }(x)&=f_{2}(x)\f_{2}^{\premium }(x)&=-f_{1}(x),\end{igned}}}}}}}$

그리고 이것들은 모든 실제 숫자 x, 그러니까 f₁, f는 모든₂ R에 있는 노메테리아 체인이다.그러나 sin(x)의 파생어가 p(x, y)로 표기될 수 있는 다항식 P(x, y)가 없으므로 이 체인은 Pafeian이 아니다.

메모들

참조

• Khovanskii, A.G. (1991). Fewnomials. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 88. Translated from the Russian by Smilka Zdravkovska. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4547-0. Zbl 0728.12002.