평면파 확장법

평면파팽창법(PWE)은 전자기학에서 고유값 문제를 방정식 중에서 공식화함으로써 맥스웰 방정식을 푸는 계산 기법을 말한다.이 방법은 특정 포토닉 결정 기하학의 밴드 구조(분산 관계)를 푸는 방법으로 포토닉 결정 군집 사이에서 인기가 있다.PWE는 분석 공식으로 추적 가능하며 비균질 또는 주기 기하학에 대한 Maxwell 방정식의 모달 해를 계산하는 데 유용합니다.비산포 미디어를 사용하여 시간 조화의 형태로 문제를 해결하도록 특별히 조정되어 있습니다.

원칙

^{[토론 – 토의]}

평면파는 균질한 헬름홀츠 방정식의 해이며 주기적 매체에 필드를 나타내는 기초를 형성합니다.설명한 것처럼 포토닉 크리스탈에 적용되는 PWE는 주로 Danner 박사의 ^[1]튜토리얼에서 조달됩니다.

전기장 또는 자기장은 역격자 벡터를 따라 푸리에 급수 성분의 관점에서 각 필드 성분에 대해 확장됩니다.마찬가지로 유전체 유전율(광자 결정의 역격자 벡터를 따라 주기적)도 푸리에 계열 성분을 통해 확장됩니다.

${\displaystyle {\frac {1}{r}=\sum _{m=-\infty}^{+\infty}K_{m}^{\epsilon _{r}e^{-i440vec {G}}}}}.{{r}}}}:$

${\displaystyle E(\displaystyle E(\obec {r})=\sum _{n=-\infty}^{+\infty}}K_{n}^{-i{\vec {G}}}}.{\vec {r}}e^{-i440vec {k}}{\vec {r}}}}$

푸리에 급수 계수는 각각 m, n의 첨자로 된 K 숫자이고 G$$ ${\displaystyle$ {$G$에 의해 주어진 역격자 벡터이다. 실제 모델링에서 고려되는 성분의 범위는 이상적인 무한 파형이${\displaystyle \mathrm{아닌}}$ ${\displaystyle \mathrm{단지}}$ ±$$ $a$ \$displaystyle$ \$pm$Nmax로$$ 감소한다.

이러한 팽창을 컬-컬 관계에서 사용하면,

${\displaystyle {\frac {1}{\exilon {r}}}}\subsla \times E({\vec {r}},\omega})=\lefts\frac {{c}}}{2}E({\vec {r},\omega})$

그리고 선원 자유, 선형 및 비파괴 영역의 가정 하에서 우리는 해결할 수 있는 고유값 관계를 얻는다.

1D 케이스의 예

y 편광 z 전파 전파의 경우, 1D-DBR 주기에 z 방향으로만 입사하고 x, y에 따라 격자 주기가 a인 균질합니다.그 후, 다음과 같은 관계가 심플하게 됩니다.

d/a=0.8에 대해 101개의 평면파를 갖는 평면파 팽창 기법과 12.250의 유전체 대비로 계산된 DBR 공심 1D 포토닉 결정의 밴드 구조.

${\displaystyle {\frac {1}{r}=\sum _{m=-\infty}^{+\infty}K_{m}^{\epsilon _{r}e^{-i440frac {2\pi m}{a}}z}}}$

$(\displaystyle E(\displaystyle E)(\mega,{\vec {r})=\sum _{n=-\infty }^{N}^{E_{y}}}e^{-i{\frac {2\pi n}{a}z}e^{-i})e^{-i}vec {k}}{-}}}}{-vec {k}}}}}}}\vec {\vec {r})$

결국 우리가 풀어야 할 구성 고유 방정식은

${\displaystyle \sum _{n}{\flac {2\pi n}{a}\flac {2\pi m}{a}}+k_{z}\right}K_{m-n}{\epsilon_{n}{{y}}=frechclac {2}$

이 문제는 왼쪽 항에 대한 행렬을 작성하고 고유값과 벡터를 찾아 해결할 수 있습니다.고유값은 모달 솔루션에 해당하는 반면, 대응하는 자기장 또는 전기장 자체는 푸리에 확장을 사용하여 플롯할 수 있습니다.필드 고조파의 계수는 특정 고유 벡터로부터 얻을 수 있습니다.

이 구조의 고유 모드를 통해 얻어진 밴드 구조는 오른쪽에 표시됩니다.

코드 예시

MATLAB 또는 GNU 옥타브에서 다음 코드를 사용하여 동일한 밴드 구조를 계산할 수 있습니다.

% %는 DBR 광대역 구조를 단순하게 해결한다. % 1D DBR. 공기 간격 d, 주기성 a, 즉 a > d, % 우리는 엡스_r 공기층을 번갈아 가면서 무한 스택을 무한히 쌓는 것으로 가정한다. 스택의 z방향 평면파 사고율(%) z 방향의 주기율(%) %  파라미터(%) d = 8; 공극률(%) a = 10; 총 주기율(%) d_over_a = d / a; eps_r = 12.2500; GaAs와 같은 유전율(%)  % max FE 필드 및 Eps(r)를 나타내기 위한 S coef는 다음과 같다. 음맥스 = 50;  이 경우 Qij!= Qji 매트릭스는 비매트릭스입니다. % Qmn = (2*pi*n + Kz)^2*Km-n % Kn = delta_n / eps_r + (1 - 1/delta_r)(d/a) µ(pi.n.d/a) % 여기서 n은 -Mmax에서 +Mmax로 이동합니다.  주파수 = []; 위해서 Kz = - 파이 / a:파이 / (10 * a): + 파이 / a     Q = 제로(2 * 음맥스 + 1);     위해서 x = 1:2 * 음맥스 + 1         위해서 y = 1:2 * 음맥스 + 1             X = x - 음맥스;             Y = y - 음맥스;             kn = (1 - 1 / eps_r) * d_over_a .* 동기((X - Y) .* d_over_a) + ((X - Y) == 0) * 1 / eps_r;             Q(x, y) = (2 * 파이 * (Y - 1) / a + Kz) .^ 2 * kn; % - mmax < = ( Y - 1 ) < =         끝.     끝.        인쇄('Kz = %g\n', Kz)     오메가 = 이그(Q);     오메가 = 종류(sqrt(오메가)); 중요 단계(%)     주파수 = [주파수; 오메가.']; 끝.  가까운.() 수치() 잡고 있어 에 idx = 1;  위해서 idx = 1:길이(- 파이 / a:파이 / (10 * a): + 파이 / a)     줄거리.(- 파이 / a:파이 / (10 * a): + 파이 / a, 주파수(:, idx), '.-') 끝.  잡고 있어 쉬는 xlabel('KZ') 라벨('오메가/c') 직함(스프린트('d/a=%g, Epsr=%g의 1D DBR PBG', d / a, eps_r)) 

이점

PWE 확장은 엄격한 해결책입니다.PWE는 모달솔루션 문제에 매우 적합합니다.큰 사이즈의 문제는 Conjectate gradient method와 같은 반복적인 기법을 사용하여 해결할 수 있습니다.일반화 고유값 문제와 정규 고유값 문제의 경우 밴드 구조 다이어그램에서 몇 개의 밴드 인덱스 그림만 필요하며, 일반적으로 브릴루인 구역 모서리에 놓입니다.이는 전체 행렬의 대각화가 아니라 반복 기법을 사용하는 고유 모드 솔루션에 해당합니다.

PWEM은 주기적인 유전체 구조에서의 모드 계산에 매우 효율적입니다.푸리에 공간법이기 때문에 빠른 푸리에 인수분해를 사용하지 않을 때 일부 구성에서 깁스 현상과 느린 수렴을 겪습니다.포토닉 결정의 밴드 구조를 계산하기 위한 선택 방법입니다.처음에는 이해하기가 쉽지 않지만, 구현하기는 쉽습니다.

단점들

^{[토론 – 토의]}

스플리어스 모드가 표시되는 경우가 있습니다.큰 문제는 O(n³)와 같이 확장되었으며, 이 문제에 사용된 평면파의 수(n)에 따라 확장되었습니다.이 작업은 시간이 많이 걸리고 메모리 요건이 복잡합니다.

대안으로는 Order-N 스펙트럼 방법, 보다 단순한 FDTD(Finite-Difference Time-Domain)를 사용하는 방법 및 모델 과도현상이 있다.

올바르게 실장되어 있는 경우, 스플리어스 솔루션은 회피됩니다.지수 대비가 높거나 금속이 혼합된 경우 효율이 떨어집니다.산란 분석에는 사용할 수 없습니다.

Gibbs 현상은 푸리에 공간 방법이기 때문에 방법의 정확도에 영향을 미친다.이는 특히 유전체 대비가 높은 디바이스에서 문제가 됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 포토닉 결정
• 계산 전자기학
• 유한 차분 시간 영역법
• 유한요소법
• 맥스웰 방정식

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