다항식 디오판틴 방정식

수학에서 다항식 디오판틴 방정식은 불규칙적으로 다항식으로 제한된 해결책을 찾는 불규칙 다항식이다. 일반적으로 디오판타인 방정식은 해법이 일부 대수학계통, 전형적으로 정수로 제한되는 것이다.(다른 용도에서) 디오판타인은 정수 디오판타인 방정식을 초기 연구한 알렉산드리아의 헬레니즘 수학자 디오판토스를 말한다.

다항식 디오판틴 방정식의 중요한 유형은 다음과 같다.

${\displaystyle sa+tb=c}$

여기서 a, b, c는 다항식으로 알려져 있으며, s와 t를 위해 해결하고자 한다.

간단한 예(및 해결책)는 다음과 같다.

${\displaystyle s(x^{2}+1)+t(x^{3}+1)=2x}$

${\displaystyle s=-x^{3}-x^{2}+x}$

${\displaystyle t=x^{2}+x.}$

다항식 디오판틴 방정식이 솔루션을 갖기 위해 필요하고 충분한 조건은 c가 a와 b의 GCD의 배수가 되는 것이다. 위의 예에서 a와 b의 GCD는 1이므로 c의 어떤 값에도 해결책이 존재할 것이다.

다항식 디오판틴 방정식에 대한 해법은 고유하지 않다. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle$ $ab$$}($$예{\displaystyle }$: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ b ${\displaystyle$ $rab$$\})$의 모든 배수를 $사용$하여 s$${\$displaystyle$ s$}$과 t$${\$displaystyle$s}을$$(를) 다른 $솔루션{\displaystyle {}^{}}$ s${\displaystyle {}^{}=}$ =${\displaystyle s}$ + $+rb}$ $t$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle t}$ -${\displaystyt-ra$

$[\displaystyle (s+rb)a+(t-ra)b=c.}$

일부 다항식 디오판틴 방정식은 확장된 유클리드 알고리즘을 사용하여 해결할 수 있는데, 이 알고리즘은 정수와 마찬가지로 다항식과도 잘 통한다.

참조

• Bronstein, Manuel (2005). Symbolic Integration I. Springer. pp. 12–14. ISBN 3-540-21493-3.