프라이스의 모델

프라이스의 모델(물리학자 데릭 J. 드 솔라 프라이스의 이름을 따서 명명됨)은 인용 네트워크의 성장을 위한 수학적 모델입니다.^[1][2] 이 모델은 사이먼 모델을^[3] 네트워크, 특히 성장하는 네트워크에 사용하기 위해 일반화한 최초의 모델이었습니다. 프라이스의 모델은 (Barabási-Albert 모델과 함께) 광범위한 종류의 네트워크 성장 모델에 속하며, 주요 목표는 강하게 치우친 정도 분포를 가진 네트워크의 기원을 설명하는 것입니다. 이 모델은 매튜 효과라고도 알려진 부자가 부자가 된다는 개념을 반영한 사이먼 모델의 아이디어를 얻었습니다. 가격은 과학 논문 간의 인용 네트워크를 예로 들어 그 속성을 표현했습니다. 그의 아이디어는 오래된 정점(기존 논문)이 새로운 간선(새로운 인용)을 얻는 방법은 정점이 이미 가지고 있는 기존 간선(기존 인용)의 수에 비례해야 한다는 것이었습니다. 이를 누적 우위, 현재 우선 부착이라고도 합니다. Price의 연구는 규모가 없는 네트워크의 첫 번째 예를 제공하는 데 있어서도 중요합니다(이 용어는 나중에 도입되었지만). 그의 아이디어는 웹과 같은 많은 실제 네트워크를 묘사하는 데 사용되었습니다.

모델이

기초

n개의 노드가 있는 방향 그래프를 고려합니다. ${\displaystyle {pk}_{}}$ ${\displaystyle p_{k}}$는 ∑ $kp$= 1 ${\$displaystyle \sum _{k}{p_{k}}=1}이 되도록 k도를 갖는 노드의 비율을 나타낸다고 하자. 각 새 노드는 주어진 out-degree(논문이 인용하는 namely)를 가지며 장기적으로 고정됩니다. 이것은 아웃도가 노드 간에 다를 수 없음을 의미하지 않으며, 단순히 평균 아웃도 m이 시간이 지남에 따라 고정되어 있다고 가정합니다. ∑${\displaystyle kp}$ k =$m$ {\displaystyle \sum _{kp_{kp}} = m} 이므로 m은 정수로 제한되지 않습니다. 가장 사소한 형태의 우선 연결은 새 노드가 기존 노드에 연결되는 것을 의미합니다. 즉, 새로운 논문은 학위에 비례하여 기존 논문을 인용합니다. 이러한 아이디어의 주의할 점은 네트워크에 연결될 때 새로운 논문이 인용되지 않기 때문에 미래에 인용될 확률이 0이 될 것이라는 것입니다(반드시 그렇게 되는 것은 아닙니다). 이를 극복하기 위해 Price는 첨부 파일이 ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ 상수인$$$$ $k{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 비례해야 한다고 제안했습니다. 일반적으로 $k$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle k_{0}}$은 임의일 수 있지만, Price는 ${\displaystyle k_{}}$ $0$ = ${\$displaystyle k_{0}= 1}을 제안합니다. 이러한 방식으로 초기 인용이 논문 자체와 연관됩니다(따라서 비례 계수는 이제 k 대신 k + 1입니다). 차수 k를 가진 어떤 노드에 새로운 간선이 연결될 확률은

${\displaystyle {\frac {(k+1)p_{k}}{\sum _{k}(k+1)p_{k}}}={\frac {(k+1)p_{k}}{m+1}}}$

네트워크의 진화

다음 질문은 네트워크에 새 노드를 추가할 때 k개의 노드 수 순 변화입니다. 당연히 이 수는 감소하고 있습니다. 일부 k-도 노드에는 새로운 에지가 있으므로 (k + 1)도 노드가 됩니다. 반면 일부 (k - 1)도 노드에는 새로운 에지가 생겨 k-도 노드가 될 수 있으므로 이 수도 증가하고 있습니다. 이 순 변화를 공식적으로 표현하기 위해 ${\displaystyle {pk,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$개의 정점으로 구성된 네트워크에서 k-도 노드의 비율을 표시합니다$.$

${\displaystyle (n+1)p_{k,n+1}-np_{k,n}=[kp_{k-1,n}-(k+1)p_{k,n}]{\frac {m}{m+1}}{\text{ for }}k\geq 1,}$

그리고.

${\displaystyle (n+1)p_{0,n+1}-np_{0,n}=1-p_{0,n}{\frac {m}{m+1}}{\text{ for }}k=0.}$

${\displaystyle {pk,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ = ${\displaystyle {pk,}_{}}$ $n$ = ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$ $p_{k,$n+1} = p_{k}에 대한 정지해를 구하려면 먼저 pk {\displaystyle p_{k}}를 잘 알려진 마스터 방정식 방법을 사용하여 다음과 같이 표현합니다.

${\displaystyle p_{k}={\begin{cases}[kp_{k-1}-(k+1)p_{k}]{\frac {m}{m+1}}&{\text{for }}k\geq 1\\1-p_{0}{\frac {m}{m+1}}&{\text{for }}k=0\end{cases}}}$

약간의 조작 후에 위의 표현은 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle p_{0}={\frac {m+1}{2m+1}}}$

그리고.

${\displaystyle p_{k}={\frac {k!}{(k+2+1/m)\cdots (3+1/m)}}p_{0}=(1+1/m)\mathbf {B} (k+1,2+1/m),}$

$B{\displaystyle \mathbf{}}$(${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (a,$ b$)}$를 베타 함수로 사용합니다. 결과적으로 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$~ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {(2}^{}}$+ 1${\displaystyle {}^{}}$/ m${\displaystyle {}^{}}$) ${\$ k$^{-$ ($2$+ 1 / $)}}$입니다$.$ 이는 ${\displaystyle {pk}_{}}$ ${\displaystyle p_{k}}$가 $지수$ α = ${\displaystyle 2}$+$$1 / m {\displaystyle \alpha = 2 + 1 / m}인 거듭제곱 법칙 분포를 따른다는 것과 같습니다. 일반적으로 이 지수는 2와 3 사이에 놓이게 되는데, 이는 많은 실제 네트워크에서 그러합니다. 프라이스는 인용 네트워크 데이터와 비교하여 그의 모델을 테스트했으며 결과 m이 충분히 좋은 멱법칙 분포를 생성할 수 있다고 결론지었습니다.

일반화

$k$ $0$≠ 1 {\$displaystyle$k_{0}\n일 때 위의 결과를 대소문자로 일반화하는 방법은 간단합니다.$eq$ 1$\}.$ 기본 계산에 따르면

${\displaystyle p_{k}={\frac {m+k_{0}}{m(k_{0}+1)+k_{0}}}{\frac {\mathbf {B} (k+k_{0},2+k_{0}/m)}{\mathbf {B} (k_{0},2+k_{0}/m)}},}$

이는 큰 k 및 고정 k 0 {\displaystyle k_{0}에 대해 동일한 $지수$ α = 2$$+ ${\displaystyle \mathrm{k}}$ 0 / m ${\displaystyle$ \alpha = 2 + k_{0}/m}인 ${\displaystyle {pk}_{}}$ ${\displaystyle p_{k}}$의 거듭제곱 법칙 분포를 산출합니다.

특성.

보다 최근의 Barabási-Albert 모형과의 핵심적인 차이점은 Price 모형은 방향성이 있는 간선을 갖는 그래프를 생성하는 반면 Barabási-Albert 모형은 방향성이 없는 간선을 갖는 그래프를 생성한다는 것입니다. 그 방향은 가격에 동기를 부여한 인용 네트워크 응용 프로그램의 중심입니다. 이는 가격 모형이 방향 비순환 그래프를 생성하고 이러한 네트워크가 고유한 특성을 가짐을 의미합니다.

예를 들어, 방향 비순환 그래프에서는 가장 긴 경로와 가장 짧은 경로가 모두 잘 정의됩니다. 가격 모델에서 네트워크에 추가된 n번째 노드에서 네트워크의 첫 번째 노드까지의 가장 긴 경로의 ${\displaystyle \mathrm{길이}}$는 ${\displaystyle \ln }$⁡(n) ${\displaystyle$ \ln(n)}로 조정됩니다.

메모들

자세한 내용은 ^[5][6]및 을 참조하십시오.^[7][8] Price는 이러한 결과를 도출할 수 있었지만, 이는 그가 계산 자원의 제공 없이 이를 통해 얼마나 멀리 갈 수 있는지에 대한 것이었습니다. 다행스럽게도 최근 기술^{[according to whom?]} 진보로 인해 우선적인 애착과 네트워크 성장에 전념하는 많은 작업이 가능해졌습니다.

참고문헌

원천

• Newman, M. E. J. (2003). "The Structure and Function of Complex Networks". SIAM Review. 45 (2): 167–256. arXiv:cond-mat/0303516. Bibcode:2003SIAMR..45..167N. doi:10.1137/s003614450342480. ISSN 0036-1445. S2CID 221278130.