프라임 반지

추상 대수학에서, 0이 아닌 링 R은 R의 어떤 두 원소 a와 b, 모든 R에 대해 arb = 0이 a = 0 또는 b = 0 중 하나를 의미한다면 주된 링이다.이 정의는 통합 도메인과 단순 링의 동시 일반화로 간주할 수 있다.

이 글에서 위와 같은 정의를 논하지만, 원시 링은 또한 그 정체성 요소 1에 의해 생성되고 그 특성에 의해 결정되는 필드의 최소 비 0 하위 링을 언급할 수도 있다.특성 0 필드의 경우 프라임 링은 정수이고, 특성 p 필드(p 프라임 번호 포함)의 경우 프라임 링은 유한 순서 p(cf)이다.프라임 필드).^[1]

등가정의

링 R은 0 이상 {0}이(가) 비확정적 의미에서의 프라임 이상일 경우에만 프라임이다.

이러한 경우에 프라임 이상에 대한 동등한 조건들은 R이 프라임 링이 되기 위해 다음과 같은 동등한 조건을 산출한다.

• R의 두 가지 이상 A와 B에 대해 AB = {0}은(는) A = {0} 또는 B = {0}을(를) 암시한다.
• R의 두 가지 이상 A와 B에 대해 AB = {0}은(는) A = {0} 또는 B = {0}을(를) 암시한다.
• R의 두 가지 왼쪽 이상 A와 B에 대해 AB = {0}은(는) A = {0} 또는 B = {0}을(를) 암시한다.

이러한 조건을 사용하여 다음과 같은 R이 프라임 링임을 확인할 수 있다.

• 0이 아닌 모든 이상들은 R-모듈처럼 충실하다.
• 0이 아닌 좌뇌 이상은 모두 좌뇌 R-모듈처럼 충실하다.

예

• 어느 영역이든 원시적인 고리다.
• 어떤 단순한 반지라도 프라임 링이고, 더 일반적으로: 모든 좌우의 원시 링은 프라임 링이다.
• 일체형 영역 위에 있는 모든 매트릭스 링은 프라임 링이다.특히 2×2 정수 행렬의 링은 프라임 링이다.

특성.

• 상호 작용 링은 그것이 통합된 영역인 경우에만 프라임 링이다.
• 반지는 그것의 제로 이상이 프라임 이상일 경우에만 프라임이다.
• 0이 아닌 고리는 그것의 이상에 0이 없는 경우에만 프라임이다.
• 프라임 링 위에 있는 행렬의 고리는 다시 프라임 링이다.

메모들

참조

• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439