원시요소정리

장 이론에서 원시 요소 정리는 단일 원소에 의해 생성될 수 있는 유한도장 확장의 특성을 나타내는 결과물이다.이러한 생성 원소를 필드 확장의 원시 요소라고 하며, 이 경우 확장을 단순 확장이라고 한다.정리는 한정된 확장은 미세하게 많은 중간 장만 있을 경우에만 간단하다고 기술하고 있다.흔히 "원소 정리"라고도 불리는 오래된 결과는 모든 유한한 분리 가능한 확장이 단순하다고 말하고 있다. 이는 이전의 정리의 결과로 볼 수 있다.이러한 이론들은 특히 합리적 숫자에 대한 모든 대수적 수장과 두 가지 필드가 유한한 모든 확장이 단순하다는 것을 암시한다.

용어.

$E{\displaystyle }$/ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$을(를) 필드 확장이 되도록$$ 하십시오.An element ${\displaystyle \alpha \in E}$ is a primitive element for ${\displaystyle E/F}$ if ${\displaystyle E=F(\alpha ),}$ i.e. if every element of ${\displaystyle E}$ can be written as a rational function in ${\displaystyle \alpha }$ with coefficients in ${\displaystyle F}$.$그러한{\displaystyle }$ 원시 요소가 존재하는 경우 E${\displaystyle /F}$ ${\displaystyle E/F}$을(를) 단순 확장이라고 한다$$.

필드 확장자 $E{\displaystyle /F}$ ${\displaystyle E/F}$이(가) 원시 요소 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) 가지고$$ 있고$$ $n{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle E}$: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ n$=[E:F]}$이(가) 유한한 경우 E의 모든 요소 x를 형식에서 고유하게 작성할 수 있다$.$

${\displaystyle x=f_{n-1}{\cd}^{n-1}+\cdots +f_{1}{\put }+f_{0}}}}$

여기서 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$는 모든 i에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$$$F {\$displaystyle f_{$i}\$in F}.$즉 세트.

${\displaystyle \{1,\ldots, {\ldots}^{n-1}\}}}$

F에 대한 벡터 공간으로서 E의 기초가 된다.

예

If one adjoins to the rational numbers ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ the two irrational numbers ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ and ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ to get the extension field ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ of degree 4, one can show this eXtension, E의미)Q}E{\displaystyle \alpha \in E}∈ 단일 α에{\displaystyle E=\mathbb{Q}(\alpha)(α).α=2+3{\displaystyle \alpha){\sqrt{2}}+{\sqrt{3}}}, 능력은 1, α, α2, α3 1의 선형 조합으로 확대될 수 있는, 2{\displaystyle{\sqrt{2}}}, 3를 섭취하는 것은 간단하다.$$$정수{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ 계수가 있는$$ ${\displaystyle {\sqrt{3$ 6 ${\$One can solve this system of linear equations for ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ and ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ over ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$, to obtain ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-9\alpha )}$ and ${\displaystyle \sqrt{3}=-\frac{1}{2}}$${\displaystyle ({\alpha \mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 11}$ ${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle {\sqrt{3}=-{\tfrac {1}{1$}:{2$}}(\reason ^{3}-11\pa )}$.이것은 α가 실로 원시적인 원소임을 보여준다.

${\displaystyle \mathb{Q}({\sqrt{2},{\sqrt{3})=\mathb {Q}({\sqrt{2}}+{\sqrt{3}).}$

이론들

고전적 원시 요소 정리는 다음과 같이 명시한다.

유한도의 모든 분리 가능한 자기장 확장은 간단하다.

이 정리는 Q가 특성 0을 가지고 있고 따라서 Q에 대한 모든 유한한 확장은 분리가 가능하기 때문에 대수적 숫자 필드, 즉 이성적 숫자 Q의 유한한 확장에 적용된다.

다음의 원시 요소 정리(에른스트 슈타이니츠^[1])는 보다 일반적이다.

유한 필드 확장자 $E{\displaystyle /F}$ ${\displaystyle E/F}$은(는) $E{\displaystyle }$ e ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \supseteq }$ F ${\displaystyle E\supseteq K\supseteq$ F$}$이(가) 있는 중간 필드 K fin F}이(가) 미세하게 많은 경우에만 단순하다$.$

갈루아 이론의 근본적인 정리를 이용하여, 전자의 정리는 후자로부터 곧바로 뒤따른다.

특성 p

특성 p의 비분리형 확장자 $E{\displaystyle /F}$ ${\디스플레이$ 스타일 $E/F}$의 경우, 등급 [E : F]가 p: 사실, 그 등급이 prime p의 요인이 되므로 비경쟁적 중간 하위 필드는 있을 수 없다.

[E : F] = p일² 때 원시적 원소가 없을 수 있다(이 경우, 무한히 많은 중간 장이 존재한다).The simplest example is ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(T,U)}$, the field of rational functions in two indeterminates T and U over the finite field with p elements, and ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}(T^{p},U^{p})}$. In fact, for any α = g(T,U) in E, the Frobenius endomorphism shows that the element α^p lies in F , so α is a root of ${\displaystyle f(X)=X^{p}-\alpha ^{p}\in F[X]}$, and α cannot be a primitive element (of degree p² over F), but instead F(α) is a non-trivial intermediate field.

건설적 결과

일반적으로 유한 분리 가능 확장 E/F에 대한 모든 원시 원소의 집합은 E의 적절한 F-하위 영역, 즉 중간 영역의 유한 집합의 보완물이다.이 진술은 한정된 분야의 경우 아무 말도 하지 않는데, 이 논문은 원시 요소인 포티오리(원시 원소(피니트 필드 참조)의 복수 그룹(순환 그룹)의 발생기를 찾는 데 전념하는 계산 이론이 있다.F가 무한할 경우, 비둘기구멍 원리 증명 기법은 두 원소에 의해 생성된 선형 아공간을 고려하며 선형의 조합이 매우 많음을 증명한다.

$\displaystyle \property =\put +c\put \ }$

두 요소를 모두 포함하는 하위 필드를 생성하지 못하는 경우:

as ${\displaystyle F(\alpha ,\beta )/F(\alpha +c\beta )}$ is a separable extension, if ${\displaystyle F(\alpha +c\beta )\subsetneq F(\alpha ,\beta )}$ there exists a non-trivial embedding ${\displaystyle \sigma :F(\alpha ,\beta )\to {\overline {F}}$$}$ whose restriction to ${\displaystyle F(\alpha +c\beta )}$ is the identity which means ${\displaystyle \sigma (\alpha )+c\sigma (\beta )=\alpha +c\beta }$ and ${\displaystyle \sigma (\beta )\neq \beta }$ so that ${\displaystyle c={\$$frac {\sigma(\alpha )-\alpha }{\beta -\sigma(\beta$ $)\}\}\}$c에 대한 이 식은${\displaystyle }$[${\displaystyle F(\alpha }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle [F(\alpha ):F]$만 취할 수 있다.$[F(\베타 ]):$$F]}$개의$$ 다른 값.${\displaystyle c}$ $value{\displaystyle }$F ${\displaystyle c\in F}$의 다른 모든 값에 대해 $F{\displaystyle (\alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle F(\alpha }$+ ${\displaystyle c}$ $){\displaystyle$ F$(\alpha ,\beta )=F(\alpha +c\beta$ $)\}.$

이것은 슈타인리츠의 결과가 고전적인 결과를 어떻게 내포하고 있는지를 보여주는 방법으로서 거의 즉각적이며, 중간장수 결과의 수 측면에서 예외적인 c의 수에 대한 바운드는 (이 숫자는 갈루아 이론과 priori에 의해 스스로 구속될 수 있는 것이다.)그러므로 이 경우에 시행착오는 원시적인 원소를 찾는 가능한 실용적인 방법이다.

역사

1831년의 그의 첫 번째 회고록에서, 에바리스테 갈루아는 다항식의 장이 합리적인 숫자에 걸쳐 갈라지는 경우에 고전적인 원시 요소 정리의 증거를 스케치했다.^[2]그의 스케치의 공백은 갈루아가 확실히 알고 있는 1771년의 요셉 루이스 라그랑의 정리를^[4][5] 이용하여 쉽게 메울^[3] 수 있었다(심판이 말한 시메온 데니스 푸아송; 갈루아의 회고록은 1846년에야 출판되었다).라그랑쥬는 이미 밭을 쪼개기 위한 원시적 요소 정리를 알고 있었을 가능성이 높다.^[5]그 후 갈루아는 갈루아 집단의 발전에 이 정리를 무겁게 사용했다.이후 갈루아 이론의 전개와 갈루아 이론의 근본 정리에 이용되었다.이 두 가지 원시 원소 이론은 1910년 에른스트 슈타이니츠에 의해 현대적인 형태로 증명되었다;^[1] 스타이니츠는 "고전적인" 원소 원소 이론의 하나의 정리, 중간 영역의 다른 하나의 정리"라고 불렀다.에밀 아르틴은 1930년대에 원시적인 원소 이론들을 사용하지 않고 갈루아 이론을 개혁했다.^[6][7]

참조

외부 링크

• J. 밀른의 강좌는 분야와 갈루아 이론에 관한 노트
• 원소 정리 mathreference.com
• 원소 정리 planetmath.org
• 켄 브라운 웹사이트의 원시 요소 정리(pdf 파일)