주 이상 링

수학에서 주체적 우(왼쪽) 이상 고리는 R의 어떤 원소 x에 대해 모든 우측(왼쪽) 이상형이 xR(Rx) 형태인 링 R이다(한 원소에 의해 생성된 이 형태의 좌우 이상을 주체 이상이라고 한다).R이 교감반지일 때와 같이 좌우 이상 모두에 대해 이것이 충족될 때, R을 주 이상반지, 또는 간단히 주 링이라고 할 수 있다.

미세하게 생성되는 R의 올바른 이상만이 주체가 된다면 R을 오른쪽 베주트 링이라고 부른다.왼쪽 베주트 링은 유사하게 정의된다.이러한 조건은 베즈아웃 도메인으로 도메인에서 연구된다.

또한 통합된 영역인 상호 교환적 주 이상 링은 주 이상 영역(PID)이라고 한다.이 글에서 초점은 반드시 도메인이 아닌 주요 이상적 고리의 보다 일반적인 개념에 있다.

일반 속성

만약 R이 주요한 이상적인 고리라면, 모든 올바른 이상은 미세하게 생성되기 때문에, 그것은 확실히 오른쪽의 노에테리아 반지일 것이다.그것은 또한 모든 미세하게 생성된 올바른 이상들이 주체가 되기 때문에 오른쪽 베주트 고리이기도 하다.실제로, 주된 오른쪽 이상 고리는 오른쪽 베주트와 오른쪽 노메테리아 둘 다인 정확히 그 고리임이 분명하다.

주요 우측 이상 링은 유한한 직접 제품 하에서 닫힌다.$R{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ R$=\prod _{n}^{n}R_$i}}}}인 경우 R의 각 오른쪽 이상은 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle {1n}_{}}$ I ${\$ A$=\prod _{i=1}^{n}$ 형식이다.$A_{i$ 여기서 각 ${\displaystyle {Ai}_{}}$ ${\$는 R의 올바른 이상이다_i.모든 R이_i 주요 우측 이상 링인 경우 A_i=xR_ii, ${\displaystyle \mathrm{그리고}}$(${\displaystyle {x1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) R = A ${\$displaystyle ($x_{1},\ldots ,x_{n})$${\displaystyle 임}$을 알 수 있다.$R=A$ 훨씬 더 노력하지 않아도, 오른쪽 베주트 링도 유한한 직접 제품 하에서 닫힌다는 것을 알 수 있다.

주 우측 이상 링과 우측 베주트 링 역시 인수로 닫힌다. 즉, 내가 주 우측 이상 링 R의 적절한 이상이라면, 주 우측 이상 링 R/I도 주 우측 이상 링이다.이것은 반지에 대한 이형성 이론에서 쉽게 따라온다.

위의 모든 특성도 유사성을 남겼다.

상쇄적 예

1. 정수의 $고리{\displaystyle \mathbb{}}$: Z ${\$

2. 정수 modulo n: $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ n ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$.

3. $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$R\_{\displaystyle }$${n}}$은(는) 링이고$$ R${\displaystyle }$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle {Ri}_{}}$ =$$ Ri {\$displaystyle R=\prod _{i=1$}^{$n}R_{$i}}}}}}}}}을(으)로 한다$.$만약 R이_i 모든 i의 주 링이라면 R은 주 링이다.

4. 어떤 곱셈 부분집합에서든 주링의 국소화는 다시 주링이다.이와 비슷하게, 주요 반지의 모든 지수는 다시 주요 반지가 된다.

5. R을 데데킨드 도메인이 되게 하고 나는 R의 논제로 이상적이 되게 하라.그러면 그 몫의 R/I가 주된 고리인 것이다.실제로 우리는 I를 주요 권력의 산물로 간주할 수 있다.${\displaystyle I=\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{a_{i}}}$, and by the Chinese Remainder Theorem ${\displaystyle R/I\cong \prod _{i=1}^{n}R/P_{i}^{a_{i}}}$, so it suffices to see that each ${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$ is a원반지But ${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$ is isomorphic to the quotient ${\displaystyle R_{P_{i}}/P_{i}^{a_{i}}R_{P_{i}}}$ of the discrete valuation ring ${\displaystyle R_{P_{i}}}$ and, being a quotient of a principal ring, is itself a principal울리다

6. Let k be a finite field and put ${\displaystyle A=k[x,y]}$, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\langle x,y\rangle }$ and ${\displaystyle R=A/{\mathfrak {m}}^{2}}$. Then R is a finite local ring which is not principal.

7. X를 유한 집합으로 한다.Then ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\Delta ,\cap )}$ forms a commutative principal ideal ring with unity, where ${\displaystyle \Delta }$ represents set symmetric difference and ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ represents the powerset of X.만약 X가 적어도 두 개의 원소를 가지고 있다면, 그 반지는 또한 0개의 디비저를 가지고 있다.만약 내가 이상이라면,${\displaystyle I}$ = (${\displaystyle )}$ I ) ${\displaystyle$I=(\$bigcup$ I$)\}.$ 만약 X가 무한하다면, 링은 주체가 아니다: 예를 들어 X의 유한 부분 집합에 의해 생성된 이상을 취한다.

복합 PIR의 구조이론

위의 사례 5에서 구성된 주요 링은 항상 아르티니아 링이며, 특히 그들은 아르티니아 지역 링의 유한한 직접 생산물에 대해 이형성이 있다.지역 아르티니아인 원반지는 특수 원반리라고 불리며 지극히 단순한 이상 구조를 가지고 있다. 즉, 각각은 아주 많은 이상이 있을 뿐이며, 이는 최대 이상의 힘이다.이러한 이유로 특수 원주 링은 단일 링의 예다.

다음 결과는 특수주체 링과 주요 이상영역의 관점에서 주체 링의 완전한 분류를 제공한다.

자리스키-사뮤엘 정리:R을 주요한 링이 되게 하라.그런 다음 R은 직접 제품${\displaystyle \underset{i}{\overset{}{}}}$i = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ i$${\$displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}}}$로 작성할 수 있으며$,$ 여기서 각 R은_i 주요 이상 도메인 또는 특수 주 링이다.

그 증거는 제로의 이상에 대한 최소한의 일차적 분해에 중국 잔존정리를 적용한다.

헝거포드 때문에 다음과 같은 결과도 있다.

정리(헝거포드):R을 주요한 링이 되게 하라.그런 다음 R은 직접 제품${\displaystyle \underset{i}{\overset{}{}}}$i = ${\displaystyle {1n}_{}}$ R i$${\$displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}}}$로 작성할 수 있다$.$ 여기서 각 R은_i 주요 이상 영역의 몫이다.

헝거포드의 정리 증명은 코헨의 구조적인 정리들을 완전한 지역적 반지에 적용하고 있다.

위의 사례 3.에서와 같이 논쟁하고 자리스키-사뮤엘 정리를 이용하여 헝거포드의 정리가 어떤 특별한 주 링이든 이산 평가 링의 몫이라는 진술과 동등하다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

비확정 예제

단지 필드의 산물이 아닌 모든 반 구현 링 R은 비확정적 우파와 좌파의 이상적인 영역이다.모든 좌우 이상은 R을 직접 합한 것이며, eR이나 Re의 형태도 마찬가지. 이 예와 유사하게 폰 노이만 정규반지는 오른쪽과 왼쪽 베주트 링으로 보인다.

D가 분할 링이고 $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$이(가) 자동형이 아닌 고리 내형성인 경우, 스큐 ${\displaystyle \mathrm{다항식}}$ $링$ $[x,\$sigma $]$은 오른쪽 노메트리안이 아닌 주요 왼쪽 이상영역인 것으로$$ 알려져 있으므로, 주된 오른쪽 이상 링이 될 수 없다.이는 도메인 주임 왼쪽과 주임 오른쪽 이상 링이 서로 다르다는 것을 보여준다. (Lam & 2001, p.21) harv 오류: no target: CITREFLam2001,_p.21 (도움말)

참조

• T. 헝거포드, 주요 이상반지의 구조에 관하여, 퍼시픽 J. 수학. 25 1968년 543 - 547.
• Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439
• 86페이지와 146-155페이지
• Zariski, O.; Samuel, P. (1975), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 28, 29, Berlin, New York: Springer-Verlag