데데킨드 도메인

추상대수학에서 리처드 데데킨드의 이름을 딴 데데킨드 도메인이나 데데킨드 링은 0이 아닌 모든 적절한 이상적 요소들이 프라임 이상의 산물로 들어가는 필수 영역이다.그런 요소화는 인자의 순서에 따라 반드시 고유하다는 것을 알 수 있다.때때로 정의로 간주되는 데데킨드 도메인에는 적어도 세 가지 다른 특성화가 있다: 아래를 참조하라.

필드는 비견할 만한 적절한 이상이 없는 교감 고리여서 어떤 필드는 그러나 다소 공허한 방법으로 데데킨드 영역이다.일부 저자는 데데킨드 도메인이 필드가 아니라는 요건을 추가한다.더 많은 저자들이 필드의 경우 사소한 수정이 필요할 수 있다는 암묵적인 단서가 있는 데데킨드 도메인의 이론들을 기술하고 있다.

정의의 즉각적인 결과는 모든 주요 이상 도메인(PID)이 디데킨드 도메인이라는 것이다.사실 디데킨드 도메인은 PID일 경우에만 고유한 요소화 도메인(UFD)이다.

대수구조
그룹다운 그룹 세미그룹 / 모노이드 랙 앤 퀀들 Quas그룹과 루프 아벨 군 마그마 거짓말군 집단 이론
반지 같은 울리다 Rng 세미닝 근링 정류 링 통합 도메인 밭 디비전 링 리 링 링 이론
격자 모양의 격자 세미라티체 보완 격자 총순번 헤이팅 대수 부울 대수 선반 지도 격자 이론
모듈형 모듈 연산자와 그룹화 벡터 공간 선형대수학
대수적 유사 대수학 연상적 비연관적 구성 대수 리 대수 등급이 매겨진 바이알게브라 호프 대수
v t

디데킨드 도메인의 선사시대

19세기에는 더 높은 수준의 대수적 숫자의 고리를 이용하여 다항식 방정식의 정수 해법에 대한 통찰력을 얻는 것이 일반적인 기법이 되었다.For instance, fix a positive integer ${\displaystyle m}$. In the attempt to determine which integers are represented by the quadratic form ${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$, it is natural to factor the quadratic form into ${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$, the factorization taking place in the ring of integers of the quadratic field ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$. Similarly, for a positive integer ${\displaystyle n}$ the polynomial ${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$ (which is relevant for solving the Fermat equation ${\displaystyle x^n+y^n}$${\displaystyle {}^{}=}$ ${\displaystyle z^{}}$ ${\$ x$^{n}+y^{n}=z^{n$은(는) $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle {\zeta n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[\zeta$ $\zeta _{n$$}]}$ 링 위에 인수될 수 있으며$,$ 여기서 $\zeta n{\displaystyle {}_{}}${$}$은 원초적인 n번째 통합의 근간이다.

For a few small values of ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle n}$ these rings of algebraic integers are PIDs, and this can be seen as an explanation of the classical successes of Fermat (${\displaystyle m=1,n=4}$) and Euler (${\displaystyle m=2,3,n=3}$).이때까지 주어진 2차장 $Q{\displaystyle \mathbb{}(D\sqrt{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathb{Q}({\sqrt{D})$의 모든 대수 정수 링이 PID인지$$ 여부를 판단하는 절차는 2차 형식 이론가들에게 잘 알려져 있었다.특히 가우스는 상상 속의 이차적 분야의 경우를 살펴본 적이 있었다:정수의 고리가 PID인 < 0<<\$디스플레이$ 스타일 D<$0>>$의 9개의 값을 정확히 찾아냈고 더 이상의 가치는 없다고 추측했다. (가우스의 추측은 100여년 후 커트 희그너, 앨런 베이커, 해롤드 스타크에 의해 증명되었다.)그러나 이는 2차 형태의 동등성 등급 언어로만 이해(만)되었기 때문에, 특히 2차 형태와 페르마 방정식의 유사성이 인식되지 않은 것으로 보인다.In 1847 Gabriel Lamé announced a solution of Fermat's Last Theorem for all ${\displaystyle n>2}$; that is, that the Fermat equation has no solutions in nonzero integers, but it turned out that his solution hinged on the assumption that the cyclotomic ring ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ is a UFD.Ernst Kummer는 3년 전에 이미 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 23}$ ${\displaystyle n=23}($$Z{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle {\zeta n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[\zeta _{n}]$이 UFD인$$ 값의 완전하고 유한한 목록이 알려져 있다.동시에, 쿠메르는 현재 우리가 알고 있는 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ [${\displaystyle {\zeta }_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$] ${\displaystyle \mathb {Z}[\zeta _{n}]$이 데데킨드 도메인이라는 사실을 이용하여$$ 최소한 대규모의 주요 지수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$에 $대해$ 페르마의 마지막 정리를 증명하는 강력한 새로운 방법을 개발했다.사실 쿠메르는 이상을 가지고 일하지 않고 "이상적인 숫자"로 일했고, 이상에 대한 현대적인 정의는 드데킨드에 의해 주어졌다.

20세기에 이르러 대수학자와 숫자 이론가들은 PID가 되는 조건이 다소 까다롭지만 데데킨드 도메인이라는 조건은 상당히 건실하다는 것을 깨닫게 되었다.예를 들어 일반 정수의 링은 ${\displaystyle {PID}_{}}$이지만, 숫자 필드 ${\displaystyle$ ${\mathcal{O}_{K}$ 링 $위$에서 볼$$ 수 있듯이 PID가 될 필요는$$ 없다.사실, 비록 가우스 또한 무한히 많은 최고급 제품은 추측했다 p{p\displaystyle}는 반지의 정수의 Q(p){\displaystyle \mathbb{Q}({\sqrt{p}})}는 PID,로 2016[업데이트]아직 알려지지 않았다 여부가 무한히 많은 수 분야 K{K\displaystyle}(임의적인 수준이다.등저 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$은(는) PID이다.반면에 숫자 필드의 정수 링은 항상 데데킨드 도메인이다.

섬세한/로봇적인 이분법을 보여주는 또 다른 예로는, 디데킨드 도메인이라는 사실이 있다: 노메테리아 $도메인{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$은(는) $R{\displaystyle }$ ${\$ $R}$의 모든 최대 이상적 $M{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ $M}$에 대한 디데킨드 ifff가$$ $.$데데킨드 반지.그러나 로컬 도메인은 별도의 평가 링(DVR)인 경우 Dedekind 링이기 때문에 동일한 로컬 특성화가 PID를 유지할 수 없다. 오히려 Dedekind 링의 개념은 DVR의 세계화라고 말할 수 있다.

대체 정의

필드가 아닌$$ 통합 도메인 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 경우 다음 조건이 모두 동일하다.^[1]

(DD1) 0이 아닌 모든 적절한 이상적인 요인을 프라임으로 입력한다.

(DD2) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) 노메테리아식이며, 각 최대 이상에서 국산화(localization)는 이산 평가 링이다.

(DD3) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 모든 0이 아닌 부분적 이상은 되돌릴 수 없다$$.

(DD4) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) 통합적으로 닫힌 노메테리아 도메인이며 Krull 차원 1(즉, 0이 아닌 모든 기본 이상은 최대값이다.

(DD5) ${\displaystyle R}$ is Noetherian, and for any two ideals ${\displaystyle I}$ and ${\displaystyle J}$ in ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle I}$ is contained in ${\displaystyle J}$ if and only if ${\displaystyle J}$ divides ${\displaystyle I}$ as ideals.즉, $I{\displaystyle }$= ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I=JH}$과 같은 이상적인 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이 존재하며$,$ 마지막 조건을 만족하는 통일성을 가진 정류 링을 CDR(격납건물 분할 링)^[2]이라고 한다.

따라서 Dedekind 도메인은 필드 또는 필드 중 하나를 만족하는 도메인이며, 따라서 (DD1) ~ (DD5)의 5개 모두를 만족시키는 도메인이다.이러한 조건들 중 어떤 것을 정의로 삼느냐 하는 것은 그러므로 단지 취향의 문제일 뿐이다.실제로는 (DD4) 검증이 가장 쉬운 경우가 많다.

Krull 도메인은 Dedekind 도메인의 고차원 아날로그로 필드가 아닌 Dedekind 도메인은 차원 1의 Krull 도메인이다.이 개념은 디데킨드 도메인의 다양한 특성화를 연구하는 데 사용될 수 있다.사실, 이것은 부르바키의 "명령 대수학"에서 사용되는 데데킨트 영역의 정의다.

디데킨드 도메인은 또한 호몰로지 대수학 측면에서 특징지어질 수 있다. 통합 영역은 그것이 유전 고리인 경우에만 디데킨드 영역이다. 즉, 그것에 대한 투영 모듈의 모든 하위 모음이 투영적이다.마찬가지로, 통합 영역은 디데킨드 도메인이다. 만약 그것 위에 있는 모든 분할할 수 있는 모듈이 주입될 수 있다.^[3]

Dedekind 도메인의 몇 가지 예

모든 주요 이상적인 도메인과 따라서 모든 개별 평가 링은 디데킨드 도메인이다.

The ring ${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$ of algebraic integers in a number field K is Noetherian, integrally closed, and of dimension one: to see the last property, observe that for any nonzero prime ideal I of R, R/I is a finite set, and recall that a finite integral domain is a field; so by (DD4) R is a Dedekind domain. 위와 같이, 여기에는 쿠메르와 데데킨드가 고려한 모든 예가 포함되며, 일반적인 정의에 대한 동기 부여 사례였으며, 이것들은 가장 많이 연구된 예에 속한다.

거의 동등한 중요성을 갖는 다른 등급의 데데킨드 링은 기하학에서 온다: C는 필드 k 위에 있는 비응축적 결합 대수 곡선이다.그러면 C에 대한 정규 함수의 좌표 링 k[C]는 데데킨드 도메인이다.이것은 기하학적 용어를 대수학으로 번역하는 것만으로 대체로 분명하다: 어떤 부속품종의 좌표 링은 정의상 미세하게 생성된 k-알제브라, 따라서 노메테리아어, 더욱이 곡선은 치수 1과 비정형적인 것을 의미하며, 정의상으로는 통합적으로 닫힌다는 것을 의미한다.

이 두 가지 구성 모두 다음과 같은 기본적인 결과의 특별한 경우로 볼 수 있다.

정리:R은 부분 필드 K를 가진 데데킨드 도메인이 되도록 하자.L을 K의 유한도 자기장 확장이 되게 하고 S에 의해 L에서 R의 적분 폐쇄를 나타낸다.그렇다면 S는 그 자체가 데데킨드 도메인이다.^[4]

R 그 자체가 PID일 때 이 정리를 적용하면 PID로 데데킨드 도메인을 구축하는 방법이 나온다.R = Z를 취하면, 이 구조는 정확히 숫자 필드의 정수 링이 디데킨드 도메인이라고 말한다.R = k[t]를 취하면, 위의 비동음부 곡선 사례를 아핀 선의 분기 커버로 얻는다.

Zariski와 Samuel은 모든 Dedekind 도메인이 그것으로부터 발생하는지, 즉 PID로 시작해서 유한한 정도의 필드 확장에서 일체형 폐쇄를 취함으로써 그로부터 발생하는지 여부를 질문하기 위해 충분히 이 공정을 받아들였다.^[5]놀랍도록 간단한 부정적인 대답이 L. 클라본에 의해 주어졌다.^[6]

상황이 위와 같으나 K의 연장 L이 무한도의 대수학이라면, L에서 R의 적분 폐쇄 S가 데데킨드 도메인일 가능성은 여전히 있지만, 보장되지는 않는다.예를 들어, R = Z, K = Q를 다시 취하여 L을 모든 대수적 $숫자$의 Q ${\${\$textbf {Q}$ 필드로 취한다.일체형 폐쇄는 모든 대수 정수의 $링$ Z$``{\$에 불과하다.대수적 정수의 제곱근은 다시 대수적 정수이므로, 0이 아닌 어떤 대수적 정수를 수정 불가능한 원소의 유한한 산물에 인할 수 없으며, 이는 $Z$의${\$textbf${Z$}}}}}}}이(가) 노메테리아도 아님을$$ 암시한다!일반적으로 무한대수학 확장에서 데데킨드 도메인의 일체형 폐쇄는 프뤼퍼 도메인이다. 대수적 정수들의 링은 이것보다 약간 더 특별하다는 것이 밝혀졌다: 그것은 베주트 도메인이다.

소수민족 이상과 계급집단

R은 분수 필드 K를 가진 통합 도메인이 되도록 하자.소수 이상은 K의 비제로 R-하위절 I이며, K에는 비제로 x가 존재하며, 이 경우 ${\displaystyle x}$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle xI\subset$ R$.}$이(가) 있다.

Given two fractional ideals I and J, one defines their product IJ as the set of all finite sums ${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$: the product IJ is again a fractional ideal.위의 제품에서 부여된 모든 부분적 이상에 대해 설정된 Frac(R)는 상호 교환적 의미 그룹이며, 사실 단일체: ID 요소는 부분적 이상 R이다.

모든 부분적 이상 I의 경우, 부분적 이상을 정의할 수 있다.

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}}$

그렇다면 하나는 $I{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I^{*}I\subset R}$을(를) 가지고 있다$.$ 사실 하나는 Frac(R)의 단면체의 요소로서 내가 되돌릴 수 없는 경우에만 동등하다.즉, 만약 내가 어떤 역이 있다면, 역은 $I{\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$ I$^{*}}$이 되어야 한다$.$

주요 분수 이상은 K의 일부 nonzero x에 대한$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xR}$ 형식 중 하나이다.각 ${\displaystyle \mathrm{주성분수}}$ 이상은 되돌릴 수 없으며, x $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle xR}$의 역행은$$ $단순히{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 1 ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle${\$frac{$1}{$x}R$ Prin(R)에 의한 주성분수 이상의 하위그룹을 나타낸다.

도메인 R은 모든 부분적 이상이 주체가 되는 경우에만 PID이다.In this case, we have Frac(R) = Prin(R) = ${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$, since two principal fractional ideals ${\displaystyle xR}$ and ${\displaystyle yR}$ are equal iff ${\displaystyle xy^{-1}}$ is a unit in R.

일반 영역 R의 경우, 주요 부분적 이상에 대한 서브모노이드 프린(R)에 의한 모든 부분적 이상에 대한 모노이드 프락(R)의 몫을 취하는 것이 의미가 있다.그러나 이 지수 자체는 일반적으로 단조일 뿐이다.사실 Frac(R)/Principle(R)에서 소수 이상 I의 등급은 나 자신이 변절할 수 없는 경우에만 변절할 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있다.

이제 우리는 (DD3)을 감상할 수 있다: 디데킨드 도메인(그리고 디데킨드 도메인에서만) 모든 부분적 이상은 되돌릴 수 없다.따라서 이것들은 정확히 Frac(R)/Princy(R)가 그룹을 형성하는 도메인의 클래스, 즉 R의 이상적인 클래스 그룹 Cl(R)이다.이 그룹은 R이 PID인 경우에만 사소한 것이므로, PID가 되는 일반 데데킨드 도메인에 대한 장애물을 정량화하는 것으로 볼 수 있다.

임의 도메인의 경우 Picard 그룹 Pic(R)을 주요 부분군 이상에 대한 변환 불가능한 부분군 이상 그룹으로 정의할 수 있다는 점에 유의한다.디데킨드 도메인에서 이것은 물론 이상적인 클래스 그룹과 동일하다.그러나, 노메테리아 도메인과 크룰 도메인을 포함한 보다 일반적인 등급의 도메인에서는 이상적인 등급 그룹이 다른 방식으로 구성되며, 표준적인 동형성이 있다.

Pic(R) → Cl(R)

그러나 일반적으로 주입적이거나 낙담적이지는 않다.이것은 단일 대수적 다양성에 대한 카르티에 디비저와 웨일 디비저의 구분을 나타내는 아핀이다.

A remarkable theorem of L. Claborn (Claborn 1966) asserts that for any abelian group G whatsoever, there exists a Dedekind domain R whose ideal class group is isomorphic to G. Later, C.R. Leedham-Green showed that such an R may constructed as the integral closure of a PID in a quadratic field extension (Leedham-Green 1972).1976년 M. 로젠은 타원곡선의 합리적 기능장 하위링인 데데킨드 도메인의 클래스 그룹으로 어떤 카운트할 수 있는 아벨리아 집단을 실현하는 방법을 보여주었고, 일반 아벨리아 집단(Rosen 1976년)에 대해서도 그러한 '엘립틱' 건축이 가능해야 한다고 추측했다.로젠의 추측은 P.L. Clark (Clark 2009)에 의해 2008년에 증명되었다.

대조적으로 대수적 숫자 이론의 기본적인 이론들 중 하나는 숫자 분야의 정수들의 반의 집단은 유한하다고 주장한다; 그것의 카디널리티는 클래스 번호라고 불리며, 그것은 가우스에서 오늘날까지 많은 선도적인 수학자들의 노력에도 불구하고 중요하고 다소 신비로운 불변성이다.

Dedekind 도메인을 통해 모듈 생성 완료

주요 이상영역(PID)에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈에 대해 잘 알려져 있고 매우 유용한 구조 정리를 볼 때, 디데킨드 도메인 위에 정밀하게 생성된 모듈에 대해 그에 상응하는 이론을 요구하는 것은 당연하다.

PID $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 통해 미세하게 생성된 모듈 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 경우 구조 이론을 간단히 상기해 봅시다$.$ 토션 하위 모듈 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T$$}$을(를) ${\displaystyle R}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystystyle rm=0}$에 대한 $M$의 $요소$ 집합으로$$ 정의한다.$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 0이 아닌 r {\$displaystyle{\displaystyle }$ r}이$($$가$) 있는 경우:

(M1) ${\displaystyle T}$ can be decomposed into a direct sum of cyclic torsion modules, each of the form ${\displaystyle R/I}$ for some nonzero ideal ${\displaystyle I}$ of ${\displaystyle R}$. By the Chinese Remainder Theorem, each ${\displaystyle R/I}$ can further be decomposed into a direct su$R{\displaystyle }$/ ${\displaystyle P^{}}$ i ${\$ 형식의 하위조항 m$.$ $여기$서 P ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ P$^{i}}$는 프라임 이상형의 힘이다.이 분해는 독특한 것이 아니라, 어떤 두 가지 분해도 필요하다.

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}^{r}^ \oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}^{1}^{b_}}\cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

요인의 순서에 따라서만 다르다

(M2) 비틀림 하위절은 직접 합이다.즉, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 보완적 하위 모듈 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 존재하며,${\displaystyle }$M = ${\displaystyle Tp}$ P ${\displaystyle$M=$T\oplus$ P$}$이(가) 있다$.$

(M3PID) $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) R ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ $R{\displaystyle }$$^{n}}$에 대해$$ 이형성$$(Isomorphic)을 Rn ${\displaystyle n$ 특히 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은 정밀하게 생성된 자유 모듈이다.

이제 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 임의의 Dedekind $도메인{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$을(를) 통해 정밀하게 생성된 모듈로$$ 지정한다$.$ 그런 다음 (M1)과 (M2)은 말 그대로 사용한다.그러나 PID를 통해 미세하게 생성된 토션프리 모듈$$ P {\디스플레이 스타일 P}이$(가)$ 무료인 $것$은 (M3PID)부터이다.특히, 그것은 모든 부분적 이상이 주체가 된다고 주장하는데, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이 PID가 아닐$$ 때마다 거짓인 진술이다.즉 클래스 그룹 Cl(R)의 비경쟁성으로 인해 (M3PID)에 실패하게 되는 것이다.놀랍게도, 우리가 지금 설명하는 바와 같이 임의의 데데킨드 도메인 위에 토션프리 정밀하게 생성된 모듈들의 추가 구조는 클래스 그룹에 의해 정밀하게 제어된다.임의의 Dedekind 도메인을 통해

(M3DD) ${\displaystyle P}$ is isomorphic to a direct sum of rank one projective modules: ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$. Moreover, for any rank one projective modules ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$, one h로서

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus \cdots \oplus I_{r}\cdots \oplus J_{s}}}}$

만약의 경우에 한해서만

${\displaystyle r=s}$

그리고

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimotimes J_{s}\,}$

1등급의 투사 모듈들은 분수 이상으로 식별될 수 있으며, 마지막 조건은 다음과 같이 재인용될 수 있다.

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

등급 n> ${\displaystyle n>0}$의 토션프리 모듈은 $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ I ${\displaystyle$ $^{n-1}\oplus I}$로 표현될 수 있으며$,$ $여기$서 I ${\displaystyle I}$은 등급 1 투영 모듈이다.P over R에 대한 Steinitz 클래스는 Cl(R)에$$ 있는 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 클래스${\displaystyle }$[${\displaystyle I]}$ ${\displaystyle [I]}:$ 고유하게 결정된다.^[7]이에 따른 결과는 다음과 같다.

정리:R을 데데킨드 도메인이 되게 하라.그러면 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle R}$ ) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle l}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathb {Z} \oplus$ Cl$(R$ 여기서₀ K(R)는 정밀하게 생성된 투영 R 모듈의 공통 단면체의 그로텐디크 그룹이다.

이러한 결과는 1912년 에른스트 슈타인리츠에 의해 확립되었다.

앞의 정리에서는 함축되지 않는 이 구조의 추가적 결과는, 드데킨드 도메인을 상회하는 두 개의 투영 모듈이 그로텐디크 그룹에서 같은 클래스를 갖는다면, 사실상 추상적으로 이형성인 것이다.

로컬 데데킨드 링

로컬이지만 글로벌하게 Dedekind가 아닌 통합$$ $도메인{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$이(가) 존재한다. 각 최대 $이상$에서 R ${\displaystyle R}$을(를) 현지화하는 것은 Dedekind 링(동일하게, DVR)이지만 R ${\displaysty R}$ 자체는$$ Dedekind가 아니다.위에서 언급한 바와 같이 그러한 반지는 노메테리아인이 될 수 없다.그러한 고리의 첫 예는 1953년 N. 나카노에 의해 건설된 것으로 보인다.문헌에서 그러한 반지는 때때로 "거의 거의 데데킨드 반지"라고 불린다.

참고 항목

• 데이븐포트 상수

메모들

참조

추가 읽기

• Edwards, Harold M. (1990), Divisor theory, Boston: Birkhäuser Verlag, ISBN 0-8176-3448-7, Zbl 0689.12001

외부 링크

• "Dedekind ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]