프롭스팅의 역설

확률론에서 프로이빙의 역설은 켈리 기준이 파멸로 이어질 수 있다는 것을 보여주는 것으로 보이는 주장이다.수학적으로 해결할 수 있지만 켈리의 실제 적용, 특히 투자에 대한 몇 가지 흥미로운 문제를 제기한다.그것은 에드워드 오에 의해 처음 이름이 지어졌고 논의되었다. 2008년 토르프.^[1]그 역설은 그 창시자인 토드 프롭스팅의 이름을 따서 지어졌다.

패러독스 성명

만약 내기가 승패가 같을 가능성이 있고, 승패를 위해 지분의 b배를 지불한다면, 켈리 내기는 다음과 같다.

${\displaystyle f^{*}={\frac {b-1}{2b}\!}$

부를 ^[2]곱하다예를 들어, 만약 50/50 베팅이 2대 1을 지불한다면, 켈리는 재산의 25%를 베팅하라고 말한다.만약 50/50 베팅이 5대 1을 지불한다면, 켈리는 재산의 40%를 베팅하라고 말한다.

도박꾼에게 2대 1의 보상이 주어지고 25%를 베팅한다고 가정해보자.만약 새로운 내기에 대한 보상이 5대 1로 바뀐다면 그는 어떻게 해야 할까?다음을 최대화하기 위해 f*를 선택해야 한다.

${\displaystyle 0.5\ln(1.5+5f^{*})+0.5\ln(0.75-f^{*})\!}$

왜냐하면 그가 이기면 1.5(2승1패에서 25%의 내기에서 승리하는 0.5)와 5f*를 더하고, 패하면 1차 내기에서 0.25를, 2차 내기에서 f*를 내야 하기 때문이다.f*에 관한 파생상품을 0으로 설정하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle 5(0.75-f^{*}=1.5+5f^{*)}\!}$

다시 쓸 수 있는 내용:

$[\displaystyle 2.25=10f^{*}\!}$

그래서 f* = 0.225.

역설적인 것은 처음부터 5대 1의 승산이 제시되면 0.25 + 0.225 = 0.475인 총 베팅이 켈리 베팅보다 크다는 점이다.내기의 일부가 불리할 때 더 많이 내기를 하는 것은 직관에 반하는 것이다.Todd Proebsting은 Ed Thorp에게 이것에 대해 묻는 이메일을 보냈다.

에드 토프는 그 아이디어가 켈리 베토에게 파멸할 가능성을 0이 되지 않게 주기 위해 확장될 수 있다는 것을 깨달았다.그는 도박꾼에게 2 대 1의 승산이 주어지면 4 대 1, 8 대 1 등(n = 1에서 무한대로 2 대ⁿ 1) 켈리가 내기를 다음과 같이 한다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle {\frac {3^{n-1}{4^{n}\!}$

매번이 모든 내기의 합은 1이다.그래서 켈리 도박사는 그의 전 재산을 잃을 확률이 50%이다.

일반적으로, 만약 베터가 켈리에게 b의₁ 보상으로 50/50의 제안을 한 다음 b의₂ 제안을 받는다면, 그는 다음과 같은 총액을 베팅할 것이다.

${\displaystyle f^{*}={\frac {b_{2}-1}{2b_{2}}+{\frac {b_{1}-{1}{4}}\frac {1}{f_{1}}-{\frac {1}{f_{2}}}\오른쪽).\!}$

첫 번째 학기는 처음에 b를₂ 제공했을 때 베터들이 내기할 것이다.두 번째₂ 학기는 만약 f > f₁, 즉 보수가 개선되면 켈리 베토르는 단지 두 번째 보수를 제안했을 때보다 더 많이 베팅할 것이고, 반면에 보수가 더 나빠지면 두 번째 보상으로만 제공되었을 때보다 덜 베팅할 것이라는 것을 의미한다.

실용화

많은 베팅은 결과가 결정되기 전에 보상과 확률을 변경할 수 있는 특징이 있다.예를 들어 스포츠 베팅의 경우 종목 개최 전에 줄이 여러 번 바뀔 수 있고, 결과 확률을 바꾸는 뉴스(부상이나 일기예보 등)가 나올 수 있다.투자에서, 원래 주당 20달러에 샀던 주식은 현재 10달러, 30달러 또는 다른 가격에 구할 수 있을 것이다.일부 스포츠 선수들은 경기 결과를 예측하기보다는 예상 라인 변경을 통해 수익을 올리려고 한다.일부 거래자들은 장기적 근본적인 전망보다는 유가증권의 단기적인 가격 이동 가능성에 초점을 맞추고 있다.^[3]

전형적인 투자 사례는 익스포저 한도를 가지고 있는 트레이더인데, 그는 어떤 주식에도 100만 달러 이상의 위험을 감수하는 것이 허용되지 않는다고 말한다.그것은 그가 100만 달러 이상을 잃을 수 없다는 것을 의미하지는 않는다.만약 그가 주식 100만 달러를 20달러에 샀는데 그것이 10달러로 나간다면, 그는 50만 달러를 더 살 수 있다.만약 그것이 5달러까지 가게 된다면, 그는 50만 달러를 더 살 수 있다.만약 그것이 0이 된다면, 그는 100만 달러 이상의 위험을 가진 적이 없음에도 불구하고, 무한한 양의 돈을 잃을 수 있다.^[4]

해상도

역설은 없다.켈리의 기준은 예상 성장률을 극대화하는 것이다. 제한적인 조건에서만 그것은 로그를 최대화하는 것과 일치한다.그 모순을 무시하는 한 가지 쉬운 방법은 켈리가 확률은 변하지 않는다고 가정한다는 것을 알아두는 것이다.

가능성이 변할 수도 있다는 것을 아는 켈리 벳터는 이것을 좀 더 복잡한 켈리 벳토어로 고려할 수 있다.예를 들어 켈리 베토르에게 2대 1의 반대에 50/50의 제안을 걸 수 있는 일회성 기회가 주어진다고 가정하자.그는 5대 1로 두 번째 일회성 기회가 주어질 확률이 50%라는 것을 알고 있다.이제 그는 다음을 극대화해야 한다.

${\displaystyle 0.25\ln(1+2f_{1}+0.25\ln(1-f_{1}+2f_{1}+5f_{2}+0.25\ln(1-f_{1-f_{1})+0.25\ln(1-f_{1}-f_{2})\!}$

F와₁ F에₂ 관해서.정답은 2대 1로 베팅이 0이 되고, 5대 1로 베팅할 기회를 기다리며, 이 경우 재산의 40%를 베팅하는 것이다.5 대 1의 확률로 제시될 확률이 50% 미만일 경우 0에서 25% 사이의 일부 금액은 2 대 1로 베팅된다.5 대 1의 확률로 제시될 확률이 50% 이상일 경우 켈리 베터는 실제로 2 대 1의 확률로 마이너스 베팅을 한다(승소할 경우 1/2의 보상으로 50 대 50 결과에 베팅하고 패할 경우 1을 지불한다).어느 경우든 기회가 주어진다면 5 대 1의 배팅은 40%에서 0.7배 차이가 난다.

역설이 말하는 것은, 본질적으로, 만약 켈리 벳터가 미래에 어떤 베팅이 제공될 지에 대해 잘못된 믿음을 가지고 있다면, 그는 차선책을 할 수 있고 심지어 파산할 수도 있다는 것이다.켈리 기준은 벳토어가 확률과 지급액을 아는 한 장기적으로 본질적으로 다른 어떤 전략보다 더 잘해야 하며 파멸의 가능성은 전혀 없다.^[2]

에런 브라운이 이 문제에 대해 독자적으로 검토함으로써 이 문제에 대한 더 많은 조명들이 사라졌고, 또한 이메일을 통해 에드 토프에게 전달되었다.이 공식에서, 가정은 벳터가 먼저 초기 내기를 되팔았다가 두 번째 지급에서 새로운 내기를 한다는 것이다.이 경우 그의 총 내기는 다음과 같다.

${\displaystyle f^{*}={\frac {b_{2}-1}{2b_{2}}}-{\frac {b_{1}-1}{4}}\left({\frac {1}{f_{1}}}-{\frac {1}{f_{2}}}\right){\frac {f_{2}-1}{f_{2}+1}}\!}$

두 번째 항에 기호가 반전되고 추가 항이 곱해진다는 점을 제외하면, 프로이빙 공식에 대한 위의 공식과 매우 유사하게 보인다.

예를 들어, 2대 1의 지급과 5대 1의 지급의 원래 예를 들어, 이 공식에서 베터는 먼저 부의 25%를 2대 1로 베팅한다.5대 1의 보상이 제시되면, 베토르는 0.125의 손실에 원래의 내기를 되팔 수 있다.2대1 내기는 이기면 0.5, 지면 0.25를 준다.새로운 5대 1의 배당금에서 승리할 경우 0.625, 패할 경우 0.125의 내기를 받을 수 있어 두 주에서 원래 베팅했던 것보다 0.125가 낫다.그러므로 그의 원래 내기는 현재 -0.125의 가치를 가지고 있다.그의 새로운 재산수준인 0.875를 감안할 때, 그의 40% 베팅(5대 1 보상에 대한 켈리 금액)은 0.35이다.

그 두 공식은 동등하다.원래 공식에서 베터는 2대 1에서 0.25 베팅, 5대 1에서 0.225 베팅이 있다.이기면 2.625, 패하면 0.525이다.두 번째 공식에서, 베터는 5대 1로 0.875와 0.35 베팅이 있다.이기면 2.625, 패하면 0.525이다.

두 번째 공식은 행동의 변화가 새로운 보수가 제공되었을 때 투자자가 경험하는 시장별 손실에 기인한다는 것을 명확히 한다.이것은 도박꾼에게는 자연스럽지 못한, 금융에서 생각하는 자연스러운 방법이다.이런 해석에서 무한정 보수가 두 배로 늘어난다고 켈리 베토르가 지나치게 베팅하도록 유인해 망치는 것이 아니라, 통제할 수 없는 변화를 통해 그의 모든 재산을 추출해낸다.

참조