프로파일러

수학의 한 분야인 범주론에서 프로파일러는 관계와 이원론의 일반화다.

정의

범주 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에서 범주 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$까지 프로파일러(프랑스 학교에서는 배포자로, 시드니 학교에서는 모듈로 이름이 지정됨) $display$ {\displaystyle \,\$phi }.$$$$.$

${\displaystyle \varphi }$: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \nrightarrow }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \phi \colon C\nrightarrow D$

functor로 정의된다.

${\displaystyle \pi \colon D^{\mathrm {op} }\time C\to \mathbf {Set} }$

$여기$서 $D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {o\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$ ${\$ D$^{\mathrm {op}}}$은(는) D ${\displaystyle$ D$}$의 반대 범주를 나타내고 S$$ ${\displaystyle \mathbf{e}}$ ${\displaystyle \mathbf{t}}$ ${\$ {$Set}은($는$)$ 집합 범주를 나타낸다.Given morphisms ${\displaystyle f\colon d\to d',g\colon c\to c'}$ respectively in ${\displaystyle D,C}$ and an element ${\displaystyle x\in \phi (d',c)}$, we write ${\displaystyle xf\in \phi (d,c),gx\in \phi (d',c')}$ to de행동을 주의하다

작은 범주의 범주인$$$C{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{a}}$ ${\$에 대한 데카르트 폐쇄를 사용하면 프로파일러 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi}$을(를) 펑커로 볼 수$$ 있다.

${\displaystyle {\hat {\phi }\colon C\to {\hat {D}}$

여기서 $D{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) $D{\displaystyle }$ ${\$ {$Set} ^{D^{\mathrm {op}}}}}$ ${\displaystyle {}^{}}$에서 D$$ ${\displaystystyle D$에 대한 사전$$ 저장.

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$까지의 서신은 프로파일 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \nrightarrow }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D\nrightarrow C}$이다$.$

범주로의 프로파일

An equivalent definition of a profunctor ${\displaystyle \phi \colon C\nrightarrow D}$ is a category whose objects are the disjoint union of the objects of ${\displaystyle C}$ and the objects of ${\displaystyle D}$, and whose morphisms are the morphisms of ${\displaystyle C}$ and the morphisms of ${\di$$splaystyle D$ 그리고 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 $개체$에서 C ${\displaystyle C}$의 개체까지$$ 0 또는 그 이상의 추가 형태$.$위의 공식 정의에 있는 세트는 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 개체와 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 개체 사이의 홈 집합이다$.$ (이러한 형태는 이형성이라고 할 수 있기 때문에 het-set라고도 한다.)^[1]${\displaystyle {\text{이전}}^{}}$의 정의는 hom-functor ${\displaystyle {\text{op}}^{}}$$$${\displaystyle {}^{}}$$×$${\displaystyle \times }$ → ${\displaystyle S\mathbf{}}$ e ${\displaystyle \mathbf{t}}$ ${\$$displaystyle$ ${\displaystyle {}^{}}$$pi^{\$$text{op$$}\time$ C$\}$에 대한 $제한$으로$$복구할 수 $있다$$.$

이것은 또한 프로파일러가 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 개체와 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 개체 사이의 관계라고 생각할 수 있다는 것을 명확히 한다$.$ 여기서 관계 각 구성원은 일련의 형태론과 연관되어 있다.functor는 기능이 관계의 특별한 경우인 것과 같은 방식으로 프로파일러의 특별한 경우다.

프로파일러 구성

${\displaystyle \mathrm{복합}}$ ctors of$$ ${\displaystyle \psi \phi }$ 두 개의 프로파일러 중

${\displaystyle \varphi }$: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \nrightarrow }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \phi \colon C\nrightarrow D}$ 및 $\psi$ : ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \nrightarrow }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi \colon D\nrigharrow E}$

에 의해 주어지다

${\displaystyle \psi \psi =\mathrm {Lan} _{Y_{D}({\hat {\psi }}})\circle {\hat {\phi }}}}$

where ${\displaystyle \mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})}$ is the left Kan extension of the functor ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ along the Yoneda functor ${\displaystyle Y_{D}\colon D\to {\hat {D}}}$ of ${\displaystyle D}$ (which to every object $$${\displaystyle }$$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 d ${\displaystyle d}$은(는${\displaystyle )}$ $functor{\displaystyle }$ D${\displaystyle (}$ -${\displaystyle }$, d${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {o\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$→ S ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\$에 $연결한다$.

라는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle(\psi \phi )(e,c)=\왼쪽(\coprod _{d\in D}\psi(e,d)\times \phi(d,c)\right){\\\\\\\\\\\\Bigg /}\sim }$

여기서${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$은(는) $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$에 모피리즘 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이($가)$ 있을 때마다$$ $({\displaystyle y{\prime }^{}}$, x${\displaystyle ~}$) ~ (, ${\displaystyle x}$) ~$(',x')$와 $같은$ 최소한의 동등성 관계다$$.

${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= v ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle ({}^{}}$, d ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle y'=vy\in \psi (e,d')}$ 및$$ x ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle v}$= x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \varphi }$(${\displaystyle d}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle c}$) ${\displaystyle x'v=x\in \phi(d,c$

마찬가지로, 프로파일러 구성은 코엔드를 사용하여 작성할 수 있다.

${\displaystyle(\psi \phi )(e,c)=\int ^{d\colon D}\psi(e,d)\time \phi(d,c)}$

프로파일러의 바이카테고리

프로파일러의 구성은 이소모르프(Set에서 제품이 엄격히 연관되어 있지 않기 때문에)까지만 연관성이 있다.그러므로 가장 좋은 것은 양종교수를 세우는 것이다.

• 0-118은 작은 범주,
• 두 개의 작은 범주 사이의 1-118은 이러한 범주 간의 프로파일이 된다.
• 두 프로파일러 사이의 2-분할은 이들 프로파일러 사이의 자연적 변환이다.

특성.

펑커를 프로파일로 들어 올리기

functor $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ D ${\displaystyle F\colon C\to D}$은(는) 요네다 functor와 사후 결합하여$$ profunctor ${\displaystyle F_{}}$: ${\displaystyle C}$ : C ${\displaystyle \nrightarrow }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle$ \$pi _{F}\colon C\nrigarrow D}$로 볼 수$$ 있다.

${\displaystyle {\varphi F}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi _{F}=Y_{D}\circ F}$.

그러한 교수 $ctor{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\$가 우측 부선을 가지고$$ 있음을 알 수 있다.Moreover, this is a characterization: a profunctor ${\displaystyle \phi \colon C\nrightarrow D}$ has a right adjoint if and only if ${\displaystyle {\hat {\phi }}\colon C\to {\hat {D}}}$ factors through the Cauchy completion of ${\displaystyle D}$, i.e. there exists a functor ${\displaystyle F:C\to D}$${\$$displaystyle{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $F\colon C\to D}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$= ${\displaystyle Y_{}}$ D ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\hat{\pi }}=Y_${D}\circle F}.

참조

• Bénabou, Jean (2000). "Distributors at Work" (PDF). {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. CUP.
• Lurie, Jacob (2009). Higher Topos Theory. Princeton University Press.
• nLab의 Profunctor
• nLab에서의 이형성