투사동력계통

투영된 동적 시스템은 솔루션이 제약조건 집합으로 제한되는 동적 시스템의 동작을 연구하는 수학 이론이다.이 부문은 최적화 및 평형 문제의 정적 세계와 일반 미분 방정식의 역동적 세계와의 연결을 공유한다.투영된 동적 시스템은 투영된 미분 방정식에 대한 흐름에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}=\Pi _{K}(x(t),-F(x)(t)}}$

여기서 K는 우리의 제약조건이다.이 형태의 미분방정식은 불연속 벡터장을 갖는 것으로 유명하다.

예상 동력학 시스템의 역사

투영된 동적 시스템은 일반적으로 시간이 걸리는 일부 파라미터에 대해 평형 문제에서 정전기적 해결책의 행동을 동적으로 모델링하고자 하는 욕망에서 진화했다.이러한 역학관계는 일반적인 미분방정식의 그것과 다르다. 그 해결책은 여전히 기본적인 평형문제가 작용하고 있던 제약조건에 제한된다. 예를 들어, 재무 모델링에 대한 투자의 비부정성, 운영 연구의 볼록한 다면체 집합 등.예측된 역동적 시스템의 증가에 도움을 준 특히 중요한 평형 문제의 한 종류는 변동 불평등이었다.

예상된 역동적인 시스템의 공식화는 1990년대에 시작되었다.그러나, 특히 변동 불평등과 차등 포함과 관련하여, 이것을 앞지른 수학 문헌에서 유사한 개념들을 발견할 수 있다.

투영과 콘

우리의 예상 미분 방정식에 대한 어떤 해결책도 우리의 제약조건 집합 K 안에 항상 남아 있어야 한다.이 원하는 결과는 투영 연산자와 볼록콘의 두 가지 특별한 등급의 사용을 통해 달성된다.여기서 우리는 K를 힐베르트 공간 X의 폐쇄적이고 볼록한 부분집합으로 본다.

K의 x 지점에서 설정된 K에 대한 일반 원뿔은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle N_{K}(x)=\{p\in V \langle p,x-x^{*}\angle \geq 0,\forall x^{*}\forall x^{*}\in K\}}}}}$

x 지점에서 설정된 K에 대한 접선 원뿔(또는 우발 원뿔)은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\frac {1}{h}}(K-x)}}}.}$

X에서 K로 점 x의 투영 연산자(${\displaystyle \mathrm{또는}}$ 가장 가까운 요소 매핑)는 K에서 점 $P{\displaystyle {}_{}}$ K${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle P_{K}(x)}$에 의해 주어지며, 다음과 같이 되어 있다.

$\displaystyle \ x-P_{K}(x)\leq \ x-y\ }$

K에 있는 모든 y에 대해

X in X in K 지점에서의 벡터 v in X의 벡터 투영 연산자는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \Pi _{K}(x,v)=\lim _{\delta \to 0^{+}{\frac {P_{K}(x+\delta v)-x}{\delta }}}.}$

벡터 필드 방향으로 계산된 Gateaux 파생 모델

투영 미분 방정식

힐버트 공간 X의 닫힌 볼록한 부분집합 K와 K에서 X로 원소를 가져가는 벡터장 -F가 주어진다면 K 및 -F와 관련된 투영된 미분방정식은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}=\Pi _{K}(x(t),-F(t)).}$

K 솔루션의 내부에서는 시스템이 제약되지 않은 일반 미분 방정식인 경우처럼 동작한다.그러나 벡터장은 집합의 경계를 따라 불연속적이므로, 투영된 미분방정식은 불연속 일반 미분방정식의 등급에 속한다.이것이 일반적인 미분방정식 이론을 상당 부분 적용할 수 없게 만들지만, -F가 립슈츠 연속 벡터 필드일 때${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,\mathrm{}}$∞ $){\displaystyle [0,\inforty )}$ 간격에 K의 각 초기점 x (0)=x를₀ 통해 고유한 절대적으로 연속적인 솔루션이 존재한다고 알려져 있다$.$

이 미분 방정식은 다음과 같이 번갈아 특성화할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}=P_{T_{K}(x(t)})(-F(x(t)))}}$

또는

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}=-F(x(t)-P_{N_{K}(x)(t)}}(-F(x)(t))).}$

벡터 필드 -F를 음의 기호로 나타내는 관습은 변동 불평등이 있는 특정 연결로 추정되는 동적 시스템 공유에서 발생한다.문헌에서 관례는 벡터장을 변동 불평등에서는 양수라고 하고, 그에 상응하는 예측 역학 시스템에서는 음수라고 하는 것이다.

참고 항목

• 차등변동불평등
• 역학 시스템 이론
• 보통미분방정식
• 변동 부등식
• 차등포함
• 상보성 이론

참조

• 오빈, J.P.와 셀리나, A., 스프링거-베를라크, 베를린 (1984년)
• Nagurney, A., Zhang, D., Projected Dynamical Systems and Variables with Applications, Kluwer Academic Publishers(1996년)
• Cojocaru, M, Jonker L, Hilbert 공간에 투영된 미분 방정식에 대한 해결책의 존재, Proc.아머. 수학.Soc. 132(1), 183-193(2004).
• Brogliato, B, Daniilidis, Daniilidis, 그리고 Lemaréchal, C, Acary, V, "보완성 시스템, 투영 시스템 및 차등 포함 사이의 동등성에 대하여," 시스템 및 제어 서신, 제55권, 페이지 45-51 (2006)