투영 번들

수학에서 투영다발은 섬유다발이며 섬유는 투영공간이다.

정의에 따르면, 노메트리안 체계 S에 대한 체계 X가 국소적으로 투영적인 n-공간인 경우 P-번들ⁿ(P-bundle)이다. $즉{\displaystyle }$, X${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ $u$ n ${\$과 전환$$ 자동화가 선형이다.부드러운 품종과 같은 규칙적인 체계 S에 걸쳐, 모든 투영 번들은 일부 벡터 번들(로컬하게 자유형) E에 대한$$ $P{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle E}$) ${\displaystyle \mathb {P} (E)$ 형식이다.^[1]

벡터 번들의 투영적인 번들

다양한 X 위에 있는 모든 벡터 번들은 섬유의 투영 공간을 취함으로써 투영적인 번들을 주지만, 모든 투영적인 번들이 이러한 방식으로 발생하는 것은 아니다: 공동유동학 그룹 H²(X,O*)에 장애물이 있다.그 이유를 알아보려면, 프로젝티브 번들이 적절한 오픈 커버의 이중 교차점에 전환 기능을 갖추고 있다는 것을 기억하십시오.3중 중복 시, 이러한 전환 기능의 리프트는 회전 불가능한 기능까지 cocycle 조건을 만족시킨다.이러한 함수의 집합은 투사 번들이 벡터 번들의 투사화일 경우에만 H²(X,O*)에서 사라지는 2-코시클을 형성한다.특히 X가 콤팩트한 리만 표면일 경우² H(X,O*)=0으로 이 방해물이 사라진다.

벡터 번들 E의 투영 번들은 E에 있는 1-플레인의 G$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle E}$) ${\디스플레이$ 스타일 $G_{1}(E)}$과 같은 것이다.

벡터 번들 E의 투사 번들 P(E)는 다음과 같이 말하는 보편적 속성이 특징이다.^[2]

형태론 f: T → X를 주어, 투영 지도 p를 통해 f를 인수하는 것: P(E) → X는 fE의^* 선 서브번들을 지정하는 것이다.

예를 들어, f를 p로 가져가면 P(E)에 tautological line bundle이라고 불리는^* pE의 하위 분절 O(-1)를 얻는다.더욱이 이 O(1)는 선다발 L이 인자화 f = p p g를 줄 때, L이 g를 따라 O(1)의 풀백이라는 점에서 보편적인 묶음이다.O(1)를 보다 명시적으로 구성하려면 원뿔#O(1)도 참조하십시오.

P(E)에는 자연적으로 정확한 순서가 있다(tautological quence(tautological quence)라고 함).

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}_{\mathbf {P}(1)\to p^{*E\to Q\to 0}$

여기서 Q는 tautological quent-bundle이라고 불린다.

X와 G = F/E에 벡터 번들(로컬하게 유한한 등급의 자유층)이 되게 하라.Let q: P(F) → X가 투영이다.그렇다면 자연지도 O(1) → qF^* → qG는^* sheaf Hom(O(1), qG^*) = q^* G ⊗ O(1)의 글로벌 섹션이다.더욱이 이 자연지도는 E에서 점이 선인 정확히 어느 지점에서 사라진다. 즉, 이 절의 영로쿠스는 P(E)이다.

이 구조에서 특히 유용한 예는 F가 E의 직접 합계 E ⊕ 1과 사소한 선다발(즉, 구조체 피복)인 경우다.그 다음 P(E)는 P(E 1 1)의 하이퍼플레인으로서 무한대의 하이퍼플레인이라 불리며, P(E)의 보어는 E로 식별할 수 있다.이와 같이 P(E ⊕ 1)를 E의 투영완료(또는 "계산")라고 한다.

투영 번들 P(E)는 선 번들에 의한 E 꼬임 하에서는 안정적이다. 정확히 말하면 선 번들 L에 따라 자연 이형성이 있다.

${\displaystyle g:\mathbf {P}(E){\sim }{\\}}}\mathbf {P}(E\otimes L)}}$

such that ${\displaystyle g^{*}({\mathcal {O}}(-1))\simeq {\mathcal {O}}(-1)\otimes p^{*}L.}$^[3] (In fact, one gets g by the universal property applied to the line bundle on the right.)

예

투영 번들의 많은 비종교적인 예는 Lefschz 섬유와 같은$$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$1}에 걸친 섬유화를 사용하여 찾을 수 있다.예를 들어 타원형 K3 $표면{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$은 K3 표면이며 진동이 있다.

${\displaystyle \pi :X\to \mathb {P} ^{1}$

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$에$$대한 $섬유$ E p {\displaystyle $E_{$$p$}{$p$$}$ {$mathb {P} ^1$}이$($가) 일반적으로 타원 곡선인 경우$$.모든 타원곡선은 구별점이 있는 속1곡선이기 때문에, 진동의 전역 섹션이 존재한다.이 글로벌 섹션 때문에 투사 번들에^[4] 형태론을 부여하는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 모델이 존재한다.

${\displaystyle X\to \mathb {P}({\mathcal {O}_{\mathb {P}^{1}:{1}(4)\oplus {O}(6)_{\mathb {P}{1}{1}}}}}$

위어스트라스 방정식에 의해 정의됨

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}}}}$

where ${\displaystyle x,y,z}$ represent the local coordinates of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4),{\mathcal {O}}(6)_{\mathbb {P} ^{1}},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}}$, respectively, and the coefficients

${\displaystyle a_{i}\in H^{0}(\mathb {P} ^1},{\mathcal {O}_{\mathb {P} ^{1}(2i)})}$

이 ${\displaystyle {}^{}}$은$$P 1 {\$displaystyle \mathb${P}$^{1$}에 대한 절편이다$.$ Weierstrass 방정식의 각 항에는 총 도 ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 12}($계수의 정도와 단수체의 정도를 의미함)가 있기 때문에 잘 정의되어 있다.예를 들어 ${\displaystyle {}_{}({1\mathrm{}}_{}}$ x ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle 4}$+ 6${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle {\deg}(a_{1}xyz)=2+(4+6+0)=12}$ .

코호몰로지 링과 차우 그룹

X는 복잡한 매끄러운 투영 품종이 되고 E는 그 위에 r등급의 복잡한 벡터 묶음이 되게 하라.Let p: P(E) → X가 E의 투영 번들이 되게 한다.그러면 코호몰로지 링 H^*(P(E))는 풀백 p를^* 통해 H^*(X)에 대한 대수다.그러면 첫 번째 체르누스 등급 ζ = c₁(O(1))는 관계와 함께 H^*(P(E)를 생성한다.

${\displaystyle \zeta ^{r}+c_{1}(E)\zeta ^{r-1}+\cdots +c_{r}(E)=0}$

여기서 c_i(E)는 E의 i번째 체르누스 계급이다.이 설명의 한 가지 흥미로운 특징은 체르누스 클래스를 관계 계수로 정의할 수 있다는 것이다; 이것이 그로텐디크가 취한 접근법이다.

콤플렉스 분야 이외의 분야에서는, 코호몰로지 링 대신 차우 링(X가 여전히 매끄럽다고 가정함)에 대해서도 동일한 설명이 그대로 유지된다.특히 차우 그룹의 경우 직접 합 분해가 있다.

${\displaystyle A_{k}(\mathbf {P}(E))=\bigoplus _{i=0}^{r-1}\제타 ^{i}A_{k-r+1+i}(X).}$

알고 보니 X가 매끄럽지도 않고 투영적이지 않아도 이 분해는 유효하다.^[5]이와는_k 대조적으로 A(E_k-r) = A(X)는 기신 동형성을 통해 벡터 공간인 E의 섬유는 수축성이 있기 때문에 도덕적으로 그렇다.

참고 항목

• 프로지 건설
• 원뿔(원뿔형 기하학)
• 지배 표면(프로젝티브 번들의 예)
• 세베리-브라워 품종
• 히르제브루치 표면

참조

• Elencwajg, G.; Narasimhan, M. S. (1983), "Projective bundles on a complex torus", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1983 (340): 1–5, doi:10.1515/crll.1983.340.1, ISSN 0075-4102, MR 0691957, S2CID 122557310
• William Fulton. (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157