유니버설 번들

수학에서 구조집단이 주어진 위상학군 $G$ 를 갖는 섬유다발 이론의 보편적 번들은 분류공간 $BG$ 를 넘어서는 특정한 번들로, 주어진 $구조집단$ 이 $M$ 을 넘는 모든 번들은 연속 $지도$ M → $BG$ 를 통해 풀백(pullback)이 된다.

범용다발 존재

CW 콤플렉스 카테고리

분류 공간의 정의가 CW 콤플렉스의 호모토피 범주 내에서 이루어질 때 보편적 번들에 대한 존재 이론은 브라운의 대표성 정리로부터 비롯된다.

컴팩트한 Lie 그룹의 경우

우리는 먼저 다음을 증명할 것이다.

제안.

G

를 콤팩트한 거짓말 그룹으로 하자.

G

가 자유롭게 행동할 수 있는 계약

가능

한 공간이 있다.

투영 EG

→ BG는 G-principal fibre bundle이다.

증명. 충분히 $큰$ 것을 위해 $G$ 를 단일 $군집$ U $(n)$ 에 주입하는 것이 존재한다.^[1]만약 우리가 $EU (n)$ 를 찾는다면 우리는 $EG$ 를 $EU (n$ )로 받아들일 수 있다 $.$ $EU (n)$ 의 건설은 $U (n$ )의 공간 분류에 주어진다 $.$

다음 정리는 위 제안의 핵심이다.

정리.

M

이 파라콤팩트 다지관이고

P

→

M

이 G번들 주체인 경우,

P

가

f

(

EG),

G번들

EG

→

BG

의 풀백인 F(F)와 같은 호모토피까지 고유한 지도

f

: M →

BG

가 존재한다.

증명. 한 편으로 묶음의 풀백 $π$ : $자연$ 투영 $P$ $\times G$ $EG$ → $BG$ 는 $묶음$ P × $EG$ 이다.한편, 투영 $p$ : $P$ $\times G$ $EG$ → $M$ 에 의한 주 $G-번들$ P → M의 풀백도 $P$ × $EG$ 이다.

{\display{array}{rcccl}P&\\to &P\to &EG\\downarrow &&\downarrow \pi \\M&\to _{\!\!\!\!\!\!\s}&P\time _{G}EG&\to &BG\end{array}}

$p$ 는 수축성 섬유 $EG$ 를 가진 진동이기 때문에 $p$ 의 섹션이 존재한다.^[2]그러한 섹션 $s$ 에 대해 우리는 구성을 투영 $P$ $\times G$ $EG$ → $BG$ 와 연결한다.우리가 얻은 지도는 우리가 찾던 $f$ 이다.

호모토피까지의 고유성에 대해서는 $지도$ $f$ : M → $BG$ 사이에 일대일 일치성이 존재하여 f ( $EG)$ → $M$ 이 P → $M$ 과 이형성이며 $p$ 의 섹션이 된다. $우리$ 는 방금 f를 한 구역에 연결하는 방법을 보았다.반대로 $f$ 가 주어진다고 가정한다. $렛트$ : : $f$ ( $EG)$ → $P$ 는 이형성(異形性)이 된다.

\Phi :\왼쪽\{(x,u)\in M\time EG\ :\f(x)=\pi(u)\right\}\to P

이제 다음을 기준으로 섹션을 정의하십시오.

{\displaysty}M\to P\time _{G}EG\\x\mapsto \lbrack \Phi(x,u),u\rbrack \case}}

$p$ 의 모든 부분이 동음이의학적이기 때문에 $f$ 의 호모토피 클래스는 독특하다.

그룹 작업 연구에 사용

보편적 번들의 총 공간은 보통 $EG$ 라고 쓰여 있다.이 공간들은 일반적으로 수축이 가능함에도 불구하고 그들 자신의 권리에 관심이 있다.예를 들어, $G$ 의 그룹 작용의 호모토피 지수 또는 호모토피 궤도 공간을 정의함에 있어서, 궤도 공간이 병적인 경우(예를 들어, 비 호우스도프 공간이라는 의미에서)의 경우. $G$ 가 공간 $X$ 에 작용한다면, $그$ 아이디어는 $대신$ Y = X × $EG$ 에 대한 작용과 그에 상응하는 지수를 고려하는 것이다.자세한 내용은 등변성 코호몰리를 참조하십시오.

$EG$ 가 수축할 수 있는 경우 $X$ 와 $Y$ 는 동종복피 등가 공간이다.그러나 $Y$ 에 대한 대각선 작용, 즉 $G$ 가 $X$ 와 $EG$ 좌표에 모두 작용하는 경우 $X$ 에 대한 작용이 아닐 때는 잘 행동할 수 있다.

예

U(n)를 위한 공간 분류

참고 항목

체르누스급
일반 선형 그룹의 범용 번들인 tautological bundle.

외부 링크

범용 번들 예제의 PlanetMath 페이지

메모들

^ J. J. Duistermaat과 J. A. Kolk,-- Lie Groups, Universitext, Springer.코롤라리 4.6.5
^ A.~Dold - 수학 연보, 78권, 2호(1963년)

[1] J. J. Duistermaat과 J. A. Kolk,-- Lie Groups, Universitext, Springer.코롤라리 4.6.5

[2] A.~Dold - 수학 연보, 78권, 2호(1963년)

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