유사성

실험입자물리학에서 유사성, $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$은$$빔 축에 상대적인 입자의 각도를 설명하는 공간 좌표다. 로 정의된다.

${\displaystyle \eta \equiv -\ln \left[\tan \lefts\frac {\theta }{2}}\오른쪽)],}$

여기서 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$은(는) 입자 $3-분할{\displaystyle \mathbf{}}$ p {\$displaystyle \mathbf {p}}$과(와) 빔 축의 양 방향 사이의 각도다.^[1] 반대로,

$\displaystyle \theta =2\arctan \left(e^{-\eta }\오른쪽).}$

3-모멘텀 $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 함수로서 유사성은 다음과 같이 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle \eta ={\frac {1}{1}:{2}}\ln \left\frac {\왼쪽 \mathbf {p} \right +p_{\text}L}}{}{\왼쪽 \mathbf {p} \right -p_{\text{L}}}\오른쪽)=\operatorname {artanh} \left({\frac {p_{\text}{L}}{}}{\왼쪽 \mathbf {p} \오른쪽 }}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 p L ${\$$L}}}$은 빔 축을 따라가는 모멘텀(즉, 종방향 모멘텀 - 하드론 충돌기 물리학에 대한 기존의 좌표계를 사용하여, 일반적으로 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$의 성분이다$$.$$ In the limit where the particle is travelling close to the speed of light, or equivalently in the approximation that the mass of the particle is negligible, one can make the substitution ${\displaystyle m\ll \mathbf {p} \Rightarrow E\approx \mathbf {p} \Rightarrow \eta \approx y}$ (i.e. in this 한계, 입자의 유일한 에너지는 광자의 경우와 유사한 운동 에너지로서, 따라서 유사성은 실험 입자 물리학에 사용되는 신속성의 정의로 수렴된다.

${\displaystyle y\equiv {\frac {1}{1}:{2}}\ln \left({\frac {E+p_{\text})L}}{E-p_{\text{L}}}\오른쪽)$

${\displaystyle {이}_{}}$는 $p{\displaystyle {}_{}}$ L ${\${\text$}$ 대신$$ ${\displaystyle p\mathbf{}}$ $displaystyle \left \mathbf {p} \right }$을(를) 사용하는 특수상대성 속도의 정의와 약간 다르다.$L$ 그러나 유사성은 입자의 궤적의 극각에만 의존하고, 입자의 에너지에 의존하지 않는다. 하나는 "${\displaystyle 전방}$"과 "후방"의 구분이 관련되는 맥락에서, 전자는 양 z-방향,$후자$는 음극에 대한 음극에 해당하는 빔 축에 가까운 검출기의 영역을 가리키는 하드론 충돌기 실험에서 "전방" 방향을 말한다$.$ve z 방향

하드론 충돌기 물리학에서는 극각 production${\displaystyle \theta}$보다 빠른 속도(또는 유사도)가 선호된다. 왜냐하면$$ 느슨하게 말하면 입자 생성은 빠른 속도의 함수로서 일정하며, 빠른 속도의 차이는 세로축을 따라 부스트하 로런츠 불변성이기 때문이다. 추가적으로, 유사하게 변화한다. 갈릴레이 상대성 이론의 속도에 대해서 말이야 따라서 입자 사이의$$ 속도 차이$$ y {\$displaystyle \Delta y}$ 측정(또는 포함된 입자가 질량이 없는 경우$$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Delta \eta })$은 기준 프레임의 세로 부스트(예: 실험실 프레임)에 의존하지 않는다. 이것은 충돌 파톤이 다른 종방향 모멘텀 프레이트를 가지고 있는 하드론 충돌기 물리학의 중요한 특징이며, 이는 파톤-파톤 충돌의 나머지 프레임은 다른 종방향 부스트를 가지고 있음을 의미한다.

유사성의 함수로서의 신속성은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle y=\ln \left\frac {{\sqrt{m^{2}+p_{\text{\text{T}}^{2}\cosh ^{2}\eta }}}+p_{\text{{\text}T}}\sinh \eta }{\sqrt {m^{2}+p_{\text{}T}}^{2}}:}\오른쪽),}$

여기서 $p_{}$ ${}_{}$ $p\sqrt{{}_{}^{}}$ $\sqrt{x_{}^{}}$ $\sqrt{{}_{}^{}}$+ $\sqrt{{}_{}^{}}$ y $\sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$$text${$T}}\equiv {{\sqrt{p_{\text{x}^{2}+p_{\text{y}^{2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$은 횡방향 운동량이다$$.

$m{\displaystyle }$/ ${\displaystyle p{}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$로 표현되는$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 2차 Maclaurin 확장 사용$T}}}$은(는) 다음을 기준으로 속도의 대략을 알 수 있다.

$[\displaystyle y\ \cHBFFFFFRAC {p_{\text}]L}}{}}{2 \mathbf{p}}}}}}}{\frac {m}{p_{\text{\text}}}T}}}}\오른쪽)^{2}=\eta -{\frac {\tanh {\eta }}{2}}\좌측({\frac {m}{p_{\text{{\frac}T}}}}\오른쪽)^{2}=\eta -{\frac {\cos{\cos{\deta}}{\frac {m}{p_{\text{\}T}}}}\오른쪽)^{2},}$

$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p_{\text{\$text}을(를) 가진 상대론적 입자의 경우 쉽게 확인할 수 있다.$T}}\g$m$\},$ 유사도는 (진짜) 신속도와 같아진다.

Rapidity is used to define a measure of angular separation between particles commonly used in particle physics ${\textstyle \Delta R\equiv {\sqrt {\left(\Delta y\right)^{2}+\left(\Delta \phi \right)^{2}}}}$, which is Lorentz invariant under a boost along the longitudinal (beam) direction. Often, the rapidity term in this expression is replaced by pseudorapidity, yielding a definition with purely angular quantities: ${\textstyle \Delta R\equiv {\sqrt {\left(\Delta \eta \right)^{2}+\left(\Delta \phi \right)^{2}}}}$, which is Lorentz invariant if the involved particles are massless. 방위각의 $차이$인 Δ Δ ${\displaystyle \varphi }${\$displaystyle \Delta \phi$}은 빔 라인에 직교하는 평면(즉, "횡단" x-y 평면)에서 측정되기 때문에 빔 라인(z 축)을 따라 로렌츠 부스트에서 불변한다.

가치

다음은 몇 가지 대표적인 값이다.

$\displaystyle \theta }$	$\displaystyle \eta }$	$\displaystyle \theta }$	$\displaystyle \eta }$
0°	∞	180°	−∞
0.1°	7.04	179.9°	−7.04
0.5°	5.43	179.5°	−5.43
1°	4.74	179°	−4.74
2°	4.05	178°	−4.05
5°	3.13	175°	−3.13
10°	2.44	170°	−2.44
20°	1.74	160°	−1.74
30°	1.32	150°	−1.32
45°	0.88	135°	−0.88
60°	0.55	120°	−0.55
80°	0.175	100°	−0.175
90°	0

유사성은 $\theta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 90}$ ${\displaystyle \theta =90}$도에$$ 대해 이상하다. 즉 ${\displaystyle \eta }$ (${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= -${\displaystyle }$- ( ${\displaystyle {180}^{}{\circ }^{}}$ -${\displaystyle {}^{}\theta }$ )${\displaystyle \eta (\theta )=-\eta (180^{\circle }-\theta$ $)\}.$

데카르트 모멘트로 변환

Hadron Colliders는 횡방향 ${\displaystyle {모멘텀}_{}}$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 관점에서 물리적 모멘텀a를 측정한다.$T}}}$, polar angle in the transverse plane ${\displaystyle \phi }$ and pseudorapidity ${\displaystyle \eta }$. To obtain cartesian momenta ${\displaystyle (p_{\text{x}},p_{\text{y}},p_{\text{z}})}$ (with the ${\displaystyle z}$-axis defined as the beam axis), the following conversions 사용:

${\displaystyle p_{\text}=p_{\text}{\text}T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p_{\text{y}=p_{\text}{\text}T}\sin \phi }$

${\$$T}\sinh {\eta$ $\}\},$

${\displaystyle p\mathbf{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle \cosh \eta }$ ${\$$T}}\cosh{\eta$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$은(는) 종방향 모멘텀 성분으로 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\$로 표시됨을 유의하십시오.위의 텍스트에서$$ $L}}($${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$은 하드론 콜라이더에서 표준 표기법이다$$.

"진정한" 신속성 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$}$을(를) 사용하여 전체 네 개의 추진력(자연 단위)을 얻는 동등한 관계는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle p_{\text}=p_{\text}{\text}T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p_{\text{y}=p_{\text}{\text}T}\sin \phi }$

${\displaystyle p_{\text{z}=m_{\text{\text}T}\sinh{y}$

${\$$T}\cosh{y$

여기서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p\sqrt{{}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{m\mathrm{}}^{}}}$ 2 ${\$$T}}\equiv {\sqrt{p_{\text{$$T}}^{2}+m^{2$$}}}}}$은 가로 질량이다.

A boost of velocity ${\displaystyle \beta _{\text{z}}}$ along the beam-axis of velocity corresponds to an additive change in rapidity of ${\displaystyle y_{\text{boost}}}$ using the relation ${\displaystyle \beta _{\text{z}}=\tanh {y_{\text{boost}}}}$. Under such a Lorentz transformation, 입자의 빠른 속도는 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= y${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{부스트}}_{}}$ ${\$ y$'=y+y_{\text{boost}}$가 되고 네 개의 운동량이 된다.

${\displaystyle p'_{\text}=p_{\text}{\text}T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p'_{\text{y}=p_{\text}{\text}T}\sin \phi }$

${\displaystyle p'_{\text{z}=m_{\text}{\text}T}}\sinh {\좌(y+y_{\mathrm {boost} }\우)}}$

${\$$T}}\cosh{\좌(y+y_{\mathrm {boost}}\오른쪽$

이런 종류의 변환은 하드론 충돌기에서 흔히 볼 수 있다. 예를 들어, 동일한 유형의 두 개의 하드론이 동일한 속도로 빔 축을 따라 비탄성 충돌을 겪는 경우, 그에 상응하는 속도는 다음과 같다.

${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \ln }$x ${\displaystyle x\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$ 2 ${\${rm$}}={\frac$ {$1}{1}{x_{1$}:{2}}: ${\frac${1}{$x_$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}은 충돌 파톤의 모멘텀 비율이다. 동일한 충돌에서 ${\displaystyle {\mathrm{여러}}_{}}$ 입자가 ${\displaystyle {}_{}}$되는 $경우{\displaystyle \mathrm{}}$, 두 입자 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$과($)$ j {\$displaystyle \Delta y_{i}-y$}-$y_{j$}} 사이의$$ 급도$$Δ y i = ${\displaystyle y_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle j}$의 차이는 빔 축을 따라 어떠한 부스트에서도 불변한다$$. 그리고 두 입자가 모두 질량이 없는 경우(${\displaystyle {mi}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle m_{i}=m_{j}=0})$ 또한 유사성(${\displaystyle \mathrm{}}$ η ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을 유지한다.$$

참조

• V. Chiochia(2010) 취리히 대학의 가속기와 입자 검출기