꼭두각시 수열

수학에서, Puppete 수열은 호모토피 이론의 구성으로, Dieter Puppete의 이름을 따서 명명되었다.그것은 두 가지 형태로 나온다:^[1] 매핑 파이버에서 만들어진 긴 정확한 시퀀스와 매핑 콘에서 만들어진 긴 코엑스 시퀀스.직관적으로, Puppete 시퀀스는 우리가 homology 이론을 집단의 긴 실제 시퀀스에 공간을 차지하는 functor로 생각할 수 있게 해준다.상대 호모토피 그룹의 정확한 시퀀스를 길게 만드는 도구로도 유용하다.

정확한 인형 순서

$f{\displaystyle }$:${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle f\colon (X,x_{0}}\to (Y,y_{0})$는 뾰족한 공간 사이의 연속적인 맵으로, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Mf}$은 매핑 섬유(지도 원뿔에 대한 진동 이중)를$$ 나타내도록 한다.그런 다음 정확한 순서를 얻는다.

$Mf\to X\to Y}$

여기서 매핑 파이버는 다음과 같이 정의된다.^[1]

$[\displaystyle Mf=\{(x,\omega )\in X\time Y^{I:\omega(0)=y_{0}{\mbox{ 및 }}\omega(1)=f(x)\}}$

루프 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\$$displaystyle$ $\Oomega$ Y$}$이(가) 매핑 파이버: ${\displaystyle \Omega }$ Y${\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ f ${\displaystyle \Oomega$ Y$\$$to Mf}$에 주입되는$$ 것을 관찰하십시오$.$ 이 지도는 $기준점{\displaystyle {}_{}}$ y$$에서 시작과 끝 모두 시작하는 맵으로 구성되므로, 그러면 위의 시퀀스가 긴 시퀀스로 확장된다는 것을 보여줄 수 있다.

$\displaystyle \Oomega X\to \Oomega Y\to Mf\to X\to Y}$

그런 다음 정확한 Puppete 시퀀스를 얻기 위해 반복할 수 있다.

$\displaystyle \cdots \to \Oomega ^{2}(Mf)\to \Oomega ^{2}X\to \Oomega ^{2}Y\to \Oomega (Mf)\to \Oomega X\to \Oomega Y\to Mf\to X\to Y}$

조셉 J. 로트먼이 설명하듯이, 정확한 순서는 종종 실제 적용에서 코엑스 순서보다 더 편리하다.^[1]

(the) 다양한 구조(코엑스 시퀀스)는 하위 스페이스 대신 인용 공간을 포함하므로 모든 지도와 호모토피에는 잘 정의되고 연속적인지 확인하기 위해 더 많은 정밀 조사가 필요하다.

예

예: 상대 호모토피

특별한 경우 X를 기준점 y를₀ 포함하는 Y의 하위공간 A로, f를 포함 $i$로 할 수 있다${\displaystyle .<sup\; class="reference"\; id="cite\_ref-rotman\_1-3"><a\; href="\#cite\_note-rotman-1">[1]</a></sup>}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ Y ${\displaystyle i:$A의$$Y에 해당하는 $A의 오른쪽 화살표.$그 다음, 다음과 같은 지정 공간의 범주에서 정확한 순서를 얻는다.

${\displaystyle {\begin}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \left[]S^{0},\Oomega ^{n}(Mi)\right]\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \to \pi \{1}(A)\to \pi \pi \{1}(좌측으로S^{0},Mi\right]\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\ended}}}}$

where the ${\displaystyle \pi _{n}}$ are the homotopy groups, ${\displaystyle S^{0}}$ is the zero-sphere (i.e. two points) and ${\displaystyle [U,W]}$ denotes the homotopy equivalence of maps from U to W. Note that ${\displaystyle \pi _{n+1}(X)=\pi _{1}(\Ome$$ga ^{n}X$ 그러면 다음과 같은 것을 나타낼 수 있다.

$왼쪽[왼쪽]S^{0},\오메가 ^{n}(Mi)\오른쪽]=\왼쪽[S^{n},Mi\right]=\pi _{n}(Mi)}$

상대 호모토피 그룹 ${\displaystyle {\pi n}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \pi _{n+1}(Y,A$에 편향되어 있어 쌍의 상대 호모토피 시퀀스가 생성됨

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \pi _{n+1}(Y,A)\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(Y,A)\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}}$

개체 ${\displaystyle {\pi n}_{}}$(${\displaystyle Y}$, A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi _{n}(Y,A)}$은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ n$\geq 2}$에 대한 그룹이며$$$$, $n{\displaystyle 3}$ 3$${\$displaystyle n\geq$ 3$}$에 대한 아벨리안이다$.$

예: 진동

특별한 경우,^[1] F가 $진동{\displaystyle }$ p${\displaystyle }$:${\displaystyle E}$ → B ${\displaystyle$ p$:$$E\to B}$그러면 매핑 섬유 Mp는 호모토피 리프팅 속성을 가지며, Mp와 $F{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle F=p^{-1}(b_{0}})$가 동일한 호모토피 유형을 갖는$$ 것을 따른다.Mp에 대한 구의 지도는 F에 대한 구의 지도에 동음이의어인 것이 사소한 것으로 뒤따른다.

${\displaystyle \pi _{n}(Mp)=\좌측[S^{n},Mp\right]\simeq \좌측[S^{n},F\right]=\pi _{n}(F)}$

이로부터 Puppete 시퀀스는 진동의 호모토피 시퀀스를 제공한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(E)\to \pi _{n+1}(B)\to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)\to \pi _{0}(B)\end{aligned}}}$

예:약한 진동

약한 섬유질은 섬유질보다 엄격히 약하지만, 위의 주요 결과는 증거를 변경해야 하지만 여전히 유효하다.Jean-Pierre Serre로 인한 주요 관찰은 약한 $진동{\displaystyle }$ p${\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ B ${\displaystyle p\colon E\to$ B$\},$ $그리고{\displaystyle }$F =${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$0 $){\displaystyle F=p^{-1}(b_{0$이 주어지는 베이스 포인트에 섬유에 있는 섬유에 바이어싱이 있다는 것이다.

${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ :${\displaystyle {}_{}{\pi n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}E}$, ${\displaystyle F}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\pi n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}B}$, ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{n}(E,F)\pi _{n}(B,b_{0$ .

이 바이어싱은 위의 상대적인 호모토피 시퀀스에 사용할 수 있으며, 다른 연결 맵을 사용하더라도, 진동 시퀀스와 동일한 형태를 가진 약한 진동의 호모토피 시퀀스를 얻을 수 있다.

코엑스 인형 수열

let $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f\colon A\to B}$은(는) CW 복합체 사이의 연속 지도가 되며, $C{\displaystyle (f}$) ${\displaystyle C(f)$는 f, (즉 지도 f의 공동섬유)의 매핑 원뿔을 나타내므로$$ 다음과 같은 (동파이버) 시퀀스가 있다.

${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle C}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle A\to B\to C(f$

Now we can form ${\displaystyle \Sigma A}$ and ${\displaystyle \Sigma B,}$ suspensions of A and B respectively, and also ${\displaystyle \Sigma f\colon \Sigma A\to \Sigma B}$ (this is because suspension might be seen as a functor), obtaining a sequence:

${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle B}$→ C (${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{f}}$) ${\displaystyle \Sigma A\to \Sigma B\to$ C$(\Sigma f$

서스펜션은 동섬유 시퀀스를 보존한다는 점에 유의하십시오.

이 강력한 사실 때문에 $우리$는 C (${\displaystyle \sigma }$ f${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ C$(\Sigma$ f$)}$이(${\displaystyle 가}$) $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle C}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \Sigma C(f$)와 동등한 호모토피라는 것을$$ 안다$.$$}$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle C}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle B\subset C(f)}$을(를) 한 점으로$$ 접음으로써$$ $자연$도 C${\displaystyle }$( f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle C(f)\to \Sigma$ A$.}$을(를) 따라서 다음과 같은 순서를 정한다.

$\displaystyle A\to B\to B(f)\to \Sigma A\to \Sigma C(f)\to \Sigma C(f).}$

이 작업을 반복하면서 $A{\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to$ B$}$과(와) 연관된 Puppete 시퀀스를 얻는다$.$

$\displaystyle A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma C(f)\to \Sigma ^{2}A\to \Sigma ^{2}B\to \Sigma ^{2}C(f)\to \Sigma ^{3}A\to \Sigma ^{3}B\to \Sigma ^{3}C(f)\to \cdots }$

일부 특성 및 결과

Puppete 시퀀스의 세 가지 요소가 모두 호모토피에 이르는 형태임을 확인하는 것은 위상에서의 간단한 연습이다.

${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle C}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle X\to Y\to C(f)}$.

"호모토피까지"를 통해, 우리는 여기서 Puppete 시퀀스의 모든 3가지 원소가 호모토피 범주에서 물체와 모형으로 간주되는 경우 위의 형태라는 것을 의미한다.

위상학적으로 반정확한 functor가 주어지는 경우, ${\displaystyle 위}$의 속성은 $A{\displaystyle }$→ B ${\displaystyle A\to B}$과$($와) 관련된 Puppete 시퀀스에서 해당 functor와 함께 행동한 후 긴 정확한 시퀀스를 얻는다는 것을 의미한다.

A결과, 존 Milnor,[2]에는 만약 한 동족 관계 이론에 대한, 그리고 쌍의 약한 fibration의 정확한 순서에 의해 냉정을 대체하면, 다음 중 하나를 Eilenberg–Steenrod 정리의 호모토피 비유는 Eilenberg–Steenrod 격언. 걸린다:functors의π n:P→ Set s{\displaystyle \pi_{n}\co 독특한 시퀀스 존재하는 것이다.오랜$$P와 함께 P$\to {\bf {Sets}$은(는) 모든 위상학적 공간 쌍의 범주.

언급

현수에는 두 가지 "유형"이 있으므로 축소되지 않은 것과 축소된 Puppete 시퀀스(적어도 뾰족한 공간을 다루는 경우, 축소된 현수막을 형성할 수 있는 경우)도 있다.

참조

• 에드윈 스패니어, 대수적 위상, 스프링거-버러그(1982) 재인쇄, 맥그로우 힐(1966)