순수 하위 모듈

수학에서, 특히 모듈 이론 분야에서, 순수한 하위절의 개념은 모듈의 특히 품행이 좋은 조각의 한 종류인 직접 합산의 일반화를 제공한다.순수 모듈은 플랫 모듈을 보완하고 프뤼퍼의 순수 부분군 개념을 일반화한다.플랫 모듈이 텐서링 후 정확한 짧은 시퀀스를 남기는 모듈인 반면, 순수 서브모듈은 어떤 모듈로 텐서링해도 정확한 짧은 정확한 시퀀스(순정확한 시퀀스로 알려져 있음)를 정의한다.마찬가지로 플랫 모듈은 투영 모듈의 직접적인 한계이며, 순수한 정확한 시퀀스는 분할된 정확한 시퀀스의 직접적인 한계다.

정의

R을 링(연관, 1)으로 하고, M을 R 위에 (왼쪽) 모듈로 하고, P를 M의 하위 모듈로 하고, i:P → M을 자연 주입 지도로 한다.그 다음 P는 임의의 (우측) R-모듈 X에 대해 자연 유도 지도 ID_X id i : X ⊗ P → X ⊗ M (온텐서 제품이 R을 인수하는 곳)을 주입하는 경우 M의 순수 하위 모듈이다.

유사하게, 짧은 정확한 시퀀스

${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\\\stackrel {f}{\longrightarrow }\\longrightarrow 0}$

(왼쪽) R-모듈 X를 사용하여 시퀀스가 정확히 유지되면 R-모듈의 (오른쪽)이 정확하다.이는 f(A)가 B의 순수한 하위 모듈이라고 말하는 것과 맞먹는다.

등가 특성화

하위절의 순도는 또한 요소별로 표현될 수 있다; 그것은 실제로 선형 방정식의 특정 시스템의 해결 가능성에 대한 진술이다.특히, 다음 조건이 유지되는 경우에만 P는 M으로 순수하다: R에 항목이 있는 m-by-n 매트릭스(a_ij)와 P 원소의 y_1m, x, x가_1n 있는 경우 M에 있는 경우

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=y_{j}\{i}\qquad{\mbox{{}}}}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 P에는 또한 x₁′, ..., x_n′가 존재한다.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x'_{j}=y_{j}=y}\{i}\qquad {\mbox{ for }}}}}}}{}i=1,\ldots,m}$

또 다른 특성: 정확한 시퀀스의 필터링된 콜리밋(직접 한계라고도 함)인 경우에만 시퀀스가 완전히 정확함

${\displaystyle 0\longrightarrow A_{i}\longrightarrow B_{i}\longrightarrow C_{i}\longrightarrow 0.}$^[1]

예

• M의 모든 직접 합계는 M으로 순수하다.결과적으로, 필드 위에 있는 벡터 공간의 모든 하위 공간은 순수하다.

특성.

(Lam & 1999, 페이지 154) harv 오류: 대상 없음: CITREFLam1999,_p.154 (도움말) 가정해 보십시오.

${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\\\stackrel {f}{\longrightarrow }\\longrightarrow 0}$

R-모듈의 짧은 정확한 시퀀스:

1. 모든 A와 B에 대해 정확한 순서가 정확한 경우에만 C는 플랫 모듈이다.이것으로부터 우리는 폰 노이만 일반 링을 통해 모든 R-모듈의 모든 하위 모듈이 순수하다는 것을 추론할 수 있다.폰 노이만 일반 링 위의 모든 모듈이 평평하기 때문이다.그 반대도 역시 사실이다. (Lam & 1999, 페이지.162) harv error: no target: CITREFLam1999,_p.162 (도움말)
2. B가 평평하다고 가정하자.그러면 C가 평평한 경우에만 순서가 정확하다.이것으로부터는 평평한 모듈의 순수한 하위종이 평평하다는 것을 추론할 수 있다.
3. C가 평평하다고 가정하자.그러면 A가 평평한 경우에만 B가 평평하다.

If ${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$ is pure-exact, and F is a finitely presentedR-module, then every homomorphism from F to C can be lifted to B, i.e. to every u : F → C there exists v : F→ B 그러한 gv=u.

참조

• Fuchs, László (2015), Abelian Groups, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 9783319194226

• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294