q-message

수학에서 정리, 정체성 또는 표현의 q-아날로그는 q → 1로 한계에 있는 원래의 정리, 정체성 또는 표현을 반환하는 새로운 매개변수 q를 포함하는 일반화다. 일반적으로 수학자들은 알려진 결과의 q-아날로그를 임의로 조작하기보다는 자연적으로 발생하는 q-아날로그에 관심이 있다. 세부적으로 연구된 가장 초기의 q-아날로그는 19세기에 도입된 기초초기하학 계열이다.^[1]

q-수학은 조합학 및 특수 함수의 수학 분야에서 가장 많이 연구된다. 이러한 설정에서 한계치 q → 1은 종종 이산값(예를 들어, 원시 힘을 나타낼 수 있음)이 되기 때문에 형식적인 경우가 많다. q-170s는 프랙탈과 다중분할 측정의 연구, 그리고 혼란스러운 동적 시스템의 엔트로피에 대한 표현 등 여러 영역에서 응용 분야를 찾는다. 프랙탈과 동적 시스템과의 관계는 많은 프랙탈 패턴이 일반적으로 푸흐시안 그룹들의 대칭성을 가지고 있다는 사실(예: 인드라의 진주 및 아폴로니아 개스킷 참조)과 특히 모듈 그룹으로부터 비롯된다. 이 연결은 타원형 통합과 모듈형 형태가 두드러진 역할을 하는 쌍곡 기하학 및 에고다이즘 이론을 통과한다. q 시리즈 자체는 타원형 통합과 밀접하게 관련되어 있다.

q-messages는 양자 그룹 연구와 q-multi 슈퍼algebras에서도 나타난다. 여기서의 연결은 유사하며, 많은 끈 이론이 리만 표면의 언어로 설정되어 타원곡선에 연결되고, 이는 다시 q-시리즈와 관련된다.

"클래식" Q-이론

고전적인 Q-이론은 음이 아닌 정수의 Q-아날로그로부터 시작된다.^[2] 평등

${\displaystyle \lim_{q\오른쪽 화살표 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}=n}$

n의 q-multi 또는 q-number라고도 하는 n의 q-multi를 정의할 것을 제안한다.

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$

그 자체로, 가능한 많은 옵션들 중에서 이 특정한 q-analog의 선택은 동기가 없다. 그러나 그것은 몇 가지 맥락에서 자연스럽게 나타난다. 예를 들어, n의 q-아날로그로서 [n]_q을 사용하기로 결정했을 때, 다음과 같이 q-요인이라고 알려진 요인의 q-아날로그를 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{정렬}}}$

이 q-아날로그는 몇 가지 맥락에서 자연스럽게 나타난다. 특히, n!는 길이 n의 순열 수를 세는 반면, [n]!_q는 역전 횟수를 추적하면서 순열 수를 세고 있다. 즉, inv(w)가 permution w의 inversion 수를 나타내고 S가_n length n의 permution set를 나타내는 경우, 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}q^{{\text{inv}}}}=[n]_{q}!}$

특히 $q{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q\rightarrow 1$로 한도를 취함으로써 통상적인 요인을 회복한다.

또한 q-요소는 모든 q-theory의 기본 구성 요소인 q-Pochhammer 기호에 대한 간결한 정의를 가지고 있다.

${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}{{n}{(1-q)^{n}}}.}$

q-요인으로부터 다음 단계로 넘어가 가우스 계수, 가우스 다항식 계수 또는 가우스 이항 계수라고도 하는 q 이항 계수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}$

q-exponential은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

q-트리거 변환과 함께 q-트리거 함수가 이 맥락에서 정의되었다.

결합 q-아날로그

가우스 계수는 유한 벡터 공간의 서브스페이스를 카운트한다. q를 유한한 분야의 원소의 숫자로 하자.(그러면 숫자 q는 소수인 q = p의^e 힘이므로 q자를 사용하는 것이 특히 적절하다.) 그 다음, q-element 필드 위에 놓인 n-차원 벡터 공간의 k-차원 서브스페이스의 수가 같다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}_{q}.}$

q가 1에 접근하게 하면, 우리는 이항계수를 얻는다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}},}$

또는 다시 말하면, n-118 집합의 k-165 하위 집합 수입니다.

따라서 유한 벡터 공간은 집합의 q일반화로, 하위공간은 집합의 서브셋의 q일반화로 볼 수 있다. 이것은 흥미로운 새로운 이론들을 찾는데 있어서 유익한 관점이 되었다. 예를 들어, 슈페너의 정리나 램지 이론의 q-아날로그가 있다.^{[citation needed]}

주기 체이빙

q = (e^2πi/n)^d 원시 n번째 통합 근원의 d번째 힘이 되게 한다. C는 요소 c에 의해 생성되는 주기적인 순서 그룹이다. X를 n-element 집합 {1, 2, ..., n}의 k-element 하위 집합 집합 집합으로 한다. 그룹 C는 c를 주기적 순열 (1, 2, ..., n)으로 보내 주어지는 X에 대해 표준적인 작용을 한다. 그러면 X에 대한^d c의 고정점 수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}_{q}.}$

q → 1

반대로 q를 변화시키고 q-아날로그를 변형으로 보면 q = 1의 결합사례를 q → 1로 q-아날로그의 한계로 생각할 수 있다(흔히 공식에 q = 1을 단순히 q = 1로 둘 수 없으므로 한계가 필요하다).

이것은 한 개의 원소로 현장에서 공식화할 수 있으며, 이 원소는 한 개의 원소를 가진 필드 위에 콤비네이터학을 선형 대수로서 회복시킨다. 예를 들어, Weyl 그룹은 한 개의 원소를 가진 필드 위에 있는 단순한 대수 그룹이다.

물리 과학 분야 응용 프로그램

q-messages는 종종 많은 신체 문제들의 정확한 해결책에서 발견된다.^{[citation needed]} 이 경우, q → 1 한계는 일반적으로 비선형 상호작용 없이 비교적 단순한 역학관계에 해당하는 반면, q < 1은 피드백으로 복잡한 비선형 체계에 대한 통찰력을 제공한다.

원자물리학의 한 예가 페시바흐 공명을 통해 외부 자기장을 쓸 때 초저온 페르미온 원자 가스에서 나오는 분자 응축수 생성 모델이다.^[3] 이 과정은 연산자의 SU(2) 대수 q형 버전을 가진 모델에서 설명되며, 그 해법은 q형 지수 분포와 이항 분포로 설명된다.

참고 항목

• q-아날로그 목록
• 스털링 수
• 영 탁아

참조

• Andrews, G. E., A. & Roy, R. (1999), Cambridge University Press, Cambridge의 Special Functions, Cambridge.
• 가스퍼, G. & Rahman, M. (2004), 베이직 초지질계 시리즈, 캠브리지 대학 출판부, ISBN0521833574.
• Ismail, M. E. H. (2005) Cambridge University Press의 One Variable에서 Classic 및 Quantum Orthogonal Polyomials.
• Koekoek, R. & Swarttou, R. F. (1998) 초기 직교 다항식 및 그 q-alogue 98-17 델프트 공과대학, 정보기술 및 시스템 교수, 기술 수학 및 정보학과

외부 링크

• "Umbral calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• MathWorld의 q-analog
• 수학월드에서 온 q-브래킷
• q-요인 / mathWorld
• mathWorld의 q-이항 계수