양자군

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학과 이론 물리학에서 양자 그룹이라는 용어는 추가적인 구조를 가진 몇 가지 다른 종류의 비확실성 알헤브라를 의미한다. 이러한 그룹에는 드린펠트-짐보형 양자 그룹(Quasitriangular Hopf Algebras), 컴팩트 매트릭스 양자 그룹(유니탈 분리형 C*-algebras의 구조), 바이크로스제품 양자 그룹이 포함된다.

양자 통합형 시스템 이론에 '양자 그룹'이라는 용어가 처음 등장했는데, 그 후 블라디미르 드린펠트와 미치오 짐보가 홉프 대수학의 특정 등급으로 공식화했다. 드린펠트와 짐보의 작업 후 샨 마지드가 도입한 양자 그룹의 '바이크로스 제품' 등급과 같이 고전적인 리 그룹이나 리알헤브라에 변형되거나 가까운 다른 홉프 알헤브라스에도 같은 용어가 사용된다.

드린펠트의 접근법에서 양자군은 보조 매개변수 q 또는 h에 따라 홉프 알헤브라로 발생하는데, 이것은 특정 리 대수학의 알헤브라를 범용적으로 감싸게 되며, q = 1 또는 h = 0일 때 자주 반실행하거나 붙게 된다. 밀접하게 관련되는 어떤 이중 개체인 홉프 알헤브라와 재미의 대수학을 변형시키기도 한다.해당 반실행 대수 그룹 또는 컴팩트 Lie 그룹에 대한 ction.

직관적 의미

양자 집단의 발견은 콤팩트 그룹과 반실행 리 알헤브라가 '강성' 물체라는 사실이 오래 전부터 알려져 있었기 때문에 상당히 의외였다. 양자 집단의 이면에 있는 생각들 중 하나는 우리가 어떤 의미에서는 등가지만 더 큰 구조, 즉 집단대수나 보편적 포락대수 등을 고려한다면, 비록 변형이 더 이상 집단이나 포락대수로 남아 있지는 않겠지만, 집단대수나 포락대수는 "형식"될 수 있다는 것이다. 보다 정확히 말하면, 변형은 교화 또는 코코메트리가 필요하지 않은 홉프 알제브라 범주 내에서 이루어질 수 있다. 기형적인 물체는 알랭 콘의 비기형 기하학의 정신으로, 「비기형 공간」의 함수의 대수라고 생각할 수 있다. 그러나 이러한 직관은 레닌그라드 학파(Ludwig Faddeev, Leon Takhtajan, Evgeny Sklyanin, Nicolai Resetikin, Vladimir Korepin)가 개발한 양자-백스터 방정식과 양자 역분산법의 연구에서 이미 그 유용성을 입증하고 난 뒤에 나온 것이다.안식 ^[1]학교 두 번째, 바이크로스 제품, 양자 집단의 계급 뒤에 숨겨진 직관은 서로 달랐고 양자 중력에 대한 접근으로서 자기 이중 물체를 찾는 데서 비롯되었다.^[2]

Drinfeld–Jimbo type quantum groups

One type of objects commonly called a "quantum group" appeared in the work of Vladimir Drinfeld and Michio Jimbo as a deformation of the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra or, more generally, a Kac–Moody algebra, in the category of Hopf algebras. The resulting algebra has additional structure, making it into a quasitriangular Hopf algebra.

Let A = (a_ij) be the Cartan matrix of the Kac–Moody algebra, and let q ≠ 0, 1 be a complex number, then the quantum group, U_q(G), where G is the Lie algebra whose Cartan matrix is A, is defined as the unital associative algebra with generators k_λ (where λ is an element of the weight lattice, i.e. 2(λ, α_i)/(α_i, α_i) is an integer for all i), and e_i and f_i (for simple roots, α_i), subject to the following relations:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{0}&=1\\k_{\lambda }k_{\mu }&=k_{\lambda +\mu }\\k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}\\k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}\\\left[e_{i},f_{j}\right]&=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}&&k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})}\\\end{aligned}}}$

And for i ≠ j we have the q-Serre relations, which are deformations of the Serre relations:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\\[6pt]\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\end{aligned}}}$

where the q-factorial, the q-analog of the ordinary factorial, is defined recursively using q-number:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[0]}_{q_{i}}!&=1\\{[n]}_{q_{i}}!&=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}},&&[m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}\end{aligned}}}$

In the limit as q → 1, these relations approach the relations for the universal enveloping algebra U(G), where

${\displaystyle k_{\lambda }\to 1,\qquad {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{q-q^{-1}}}\to t_{\lambda }}$

and t_λ is the element of the Cartan subalgebra satisfying (t_λ, h) = λ(h) for all h in the Cartan subalgebra.

There are various coassociative coproducts under which these algebras are Hopf algebras, for example,

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}&\Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1\\\Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1&\Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}\\\Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}&\Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

where the set of generators has been extended, if required, to include k_λ for λ which is expressible as the sum of an element of the weight lattice and half an element of the root lattice.

In addition, any Hopf algebra leads to another with reversed coproduct T o Δ, where T is given by T(x ⊗ y) = y ⊗ x, giving three more possible versions.

The counit on U_q(A) is the same for all these coproducts: ε(k_λ) = 1, ε(e_i) = ε(f_i) = 0, and the respective antipodes for the above coproducts are given by

${\displaystyle {\begin{array}{lll}S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1}&S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}\\S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i}&S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}\\S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i}&S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}\end{array}}}$

Alternatively, the quantum group U_q(G) can be regarded as an algebra over the field C(q), the field of all rational functions of an indeterminate q over C.

마찬가지로 양자군 U_q(G)는 Q에 대한 불확실한 Q의 모든 합리적 함수의 분야인 Q(q) 분야에 대한 대수(q = 0의 양자군 섹션 아래 참조)로 간주할 수 있다. 양자 그룹의 중심은 양자 결정 인자에 의해 설명될 수 있다.

표현 이론

Kac-Moody Algebras와 그들의 보편적인 둘러싸인 Algebras에 많은 다른 종류의 표현들이 있듯이, 양자 그룹에도 많은 다른 종류의 표현들이 있다.

모든 홉프 알제브라의 경우와 마찬가지로 U_q(G)는 스스로 모듈로서 조정된 표현을 가지고 있으며, 그 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{x}\cdot y=\sum _{(x)x_{(1)yS(x_{(2)}),}$

어디에

${\displaystyle \Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)\times x_{(2)}}}$

사례 1: q는 통합의 뿌리가 아니다.

한 가지 중요한 유형의 표현은 중량 표현이며, 해당 모듈을 중량 모듈이라고 한다. 중량 모듈은 중량 벡터의 기초가 되는 모듈이다. 중량 벡터는 모든 λ에 대해_λ k · v = dv를_λ 나타내는 0이 아닌 벡터 v이며, 여기서 d는_λ 다음과 같은 모든 가중치에 대한 복잡한 숫자다.

${\displaystyle d_{0}=1,}$

${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ μ = d ${\displaystyle {\mu }_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_${\ dda$}d_{\mu }=d_{\lambda +\mu }}},$ 모든 가중치 μ에 대해.

e와_i f의_i 작업이 로컬로 nilpotent인 경우(즉, 모듈의 벡터 v의 경우, 모든 i에 대해$$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$.${\displaystyle {}_{}^{}v}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle v}$ = f. v${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle e_{i}^{k=f_{i}.v=0})$ 중량 모듈을 통합 가능이라고 한다. 통합형 모듈의 경우 중량 벡터와 관련된 복잡한 숫자 ${\displaystyle d_{}}$는_λ $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ (${\displaystyle {\lambda }^{}}$,${\displaystyle {\nu }^{}}$ $){\$,\$nu$ $)\}\}\}\}$^{[citation needed]}를 만족시키는데 여기서 ν은 중량 격자의 요소로서 c는_λ 복잡수이다.

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ μ = c ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle c_{\$_da $}c_{\mu }=c_{\lambda +\mu }}},$ 모든 가중치$$ μ,
• ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\alpha }_{}}_{}}$ i${\displaystyle {{}_{}}_{}}$= 1$$ i에 대해$$ 1 {\displaystyle $c_{2\properties _{i}=1}.$

특히 관심 있는 것은 최고 중량 표시와 그에 상응하는 최고 중량 모듈이다. 최고 중량 모듈은 중량 벡터 v에 의해 생성된 모듈이며, 모든 중량 μ에 대해서는_λ k · v = dv_λ, 모든 i에 대해서는_i e · v = 0이 적용된다. 마찬가지로, 양자 그룹은 가장 낮은 중량 표현과 가장 낮은 중량 모듈, 즉 k_λ · v = 모든 중량에 대해 dv_λ, 그리고 모든_i i에 대해 f · v = 0에 따라 중량 벡터 v에 의해 생성된 모듈을 가질 수 있다.

중량 격자의 모든 λ에 대해$$ $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {}_{}}$ v${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {\lambda }^{}}$ ,${\displaystyle {\nu }^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ v$${\$displaystyle k_{\lambda$}\$cdot$v=$q^{(\lambda$,\$nu$)}$v}$이(가)이면 벡터 v를 정의하십시오.

G가 Kac-Moody 대수인 경우, U(G_q)의 중량이 가장 높은 경우, 가중치의 곱셈은 U(G)의 중량이 같은 중량이 있는 U(G)의 중량을 측정할 수 없는 표현에서 그들의 곱셈과 같다. 최고 중량이 우세하고 적분(${\displaystyle \mu }$,${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ )${\displaystyle }$/${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $)[\displaystyle 2(\mu,\alpha _{i}/(\alpha _{i},\alpha _{i})]$이라는 조건을 만족하는 경우, μ가 우세하고 적분할 경우, 적분할 수 없는 대표성의 중량 스펙트럼은 불변량이다. Weyl 그룹 for G, 그리고 표현은 통합이 가능하다.

Conversely, if a highest weight module is integrable, then its highest weight vector v satisfies ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v}$, where c_λ · v = d_λv are complex numbers such that

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$ for all weights λ and μ,
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$ for all i,

and ν is dominant and integral.

As is the case for all Hopf algebras, the tensor product of two modules is another module. For an element x of U_q(G), and for vectors v and w in the respective modules, x ⋅ (v ⊗ w) = Δ(x) ⋅ (v ⊗ w), so that ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot (v\otimes w)=k_{\lambda }\cdot v\otimes k_{\lambda }.w}$, and in the case of coproduct Δ₁, ${\displaystyle e_{i}\cdot (v\otimes w)=k_{i}\cdot v\otimes e_{i}\cdot w+e_{i}\cdot v\otimes w}$ and ${\displaystyle f_{i}\cdot (v\otimes w)=v\otimes f_{i}\cdot w+f_{i}\cdot v\otimes k_{i}^{-1}\cdot w.}$

1차원 모듈(모든 λ에 kλ)cλ, ei)충실도.)0모든 i에)과 높은 무게 모듈은 조금이라도 벡터 v0 의해 생성된 그 가적분의 높은 무게 모듈 위에 기술된 텐서 제품, kλ ⋅ v0q(λ, ν)v0{\displaystyle k_{\lambda}\cdot v_{0}=q^{(\lambda ,\nu)}v_{0}}에 의거한다.모든 가중치 λ, $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$= 0 ${\displaystyle e_{i}\cdot v_{0}=0$$}.$

G가 유한차원 리 대수인 특정한 경우(Kac-Moody 대수학의 특별한 경우로서), 지배적인 적분 최고 체중을 가진 불가역적 표현도 유한 차원이다.

최고 중량 모듈의 텐서 생산물의 경우, 하위 모듈로 분해되는 것은 Kac-Moody 대수학의 해당 모듈의 텐서 생산물과 동일하다(최고 중량은 그 곱셈과 동일하다).

사례 2: q는 통합의 뿌리

콰시트리각도

사례 1: q는 통합의 뿌리가 아니다.

엄밀히 말하면 양자군 U_q(G)는 quasitriangular가 아니라, R 매트릭스의 역할을 하는 무한정 형식적인 합이 존재한다는 점에서 "거의 quasitriangular"라고 생각할 수 있다. 이 무한정 공식 합계는 발전기 e와_i f_i, 그리고 k가_λ 공식적으로 q로^t_λ 식별되는 Cartan 발전기_λ t 측면에서 표현할 수 있다. 무한정 형식적인 합은 두 가지 요인의 산물이다.^{[citation needed]}

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\jda _{j}\otimes t_{\mu _{j}}}}}}}$

그리고 무한정 형식 합, 여기서 λ은_j 카르탄 하위격자(Cartan subalgebra)에 대한 이중공간의 기초가 되고, μ는_j 이중기준, η = ±1이다.

R 매트릭스의 일부를 재생하는 공식 무한 합은 두 개의 수정 불가능한 최고 중량 모듈의 텐서 제품 및 두 개의 최저 중량 모듈의 텐서 제품에도 잘 정의된 작용을 가지고 있다. 구체적으로는 v가 중량 α를 가지고 있고 w가 중량 β를 가지고 있다면,

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}{j}\otime t_{j}}\cdot(v\otimes w)=q^{\eta(\display,\eta )}v\otimes w,},}$

그리고 모듈들이 둘 다 최고 중량 모듈이거나 둘 다 최저 중량 모듈이라는 사실은 v on W에 대한 다른 인자의 작용을 유한한 합으로 감소시킨다.

Specifically, if V is a highest weight module, then the formal infinite sum, R, has a well-defined, and invertible, action on V ⊗ V, and this value of R (as an element of End(V ⊗ V)) satisfies the Yang–Baxter equation, and therefore allows us to determine a representation of the braid group, and to define quasi-invariants for knots, links and braids.

사례 2: q는 통합의 뿌리

q = 0의 양자 그룹

가시와라 마사키는 양자 집단의 제한 행동을 q → 0으로 연구해 왔으며, 특히 수정기초라고 불리는 잘 동작하는 기초를 발견했다.

루트 시스템 및 Dynkin 다이어그램별 설명 및 분류

위의 U_q(g)와 같은 양자 집단의 유한한 quot를ⁿ q = 1에 대해 설명하는 데 상당한 진전이 있었다; 보통은 모든 부코이데올로기가 1차원적이므로 다음과 같은 집합이 있다는 것을 의미하는 뾰족한 홉프 알헤브라의 부류를 고려한다.

• In 2002 H.-J. Schneider and N. Andruskiewitsch ^[3] finished their classification of pointed Hopf algebras with an abelian co-radical group (excluding primes 2, 3, 5, 7), especially as the above finite quotients of U_q(g) decompose into E′s (Borel part), dual F′s and K′s (Cartan algebra) just like ordinary Semisimple Lie algebras:

${\displaystyle \left({\mathfrak {B})(V)\otimes k[\mathbf {Z}^}\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\\ma }}$

여기서 고전 이론에서와 같이 V는 Ess에 의해 확장된 차원 n의 땋은 벡터 공간이며, σ(일명 cocylce twist)는 E′s와 F′s 사이의 비종교적 연결을 생성한다. 고전 이론과 대조적으로, 세 개 이상의 연결된 구성요소가 나타날 수 있다는 점에 유의하십시오. 양자 보렐 대수학의 역할은 땋은 벡터스페이스의$$ 니콜스 대수 ${\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle (V}$) ${\displaystyle {\mathfrak{B}(V)}$가 맡는다.

A3 4부를 연결하는 점 호프 대수용 일반화된 Dynkin 도표

• 결정적인 요소는 나였다. 헤켄베르거는 일반화된 Dynkin 도표 관점에서 아벨리아 그룹을 위한 유한한 니콜스 알헤브라를 분류했다.^[4] 작은 소수점이 존재할 때 삼각형과 같은 일부 이국적인 예가 발생한다(단킨 도표 3위 참조).

• 한편 슈나이더와 헤켄베르거는^[5] 일반적으로 비아벨리안의 경우에도 산술 루트 시스템의 존재를 증명하여, (유한 치수에 대한 가정 없이) 아벨리안의 사례에서 Kharcheko에 의해 입증된 PBW 기준을 생성하였다. 이것은 특정 사례 U_q(g)에 사용될^[6] 수 있으며, 예를 들어, 이러한 양자 그룹의 특정 공상하위 유전자와 Lie 대수 g의 Weyl 그룹 순서 사이의 수치적 우연성을 설명한다.

콤팩트 행렬 양자 그룹

S. L. Woronowicz는 콤팩트 매트릭스 양자 그룹을 도입했다. 콤팩트 매트릭스 양자 그룹은 구조물의 "연속 함수"가 C*-알지브라 요소들에 의해 주어지는 추상적인 구조다. 콤팩트 매트릭스 양자 그룹의 기하학은 비확정 기하학의 특별한 경우다.

콤팩트한 Hausdorff 위상학적 공간에서의 연속적인 복합 값은 정류적 C*-algebra를 형성한다. Gelfand 정리에 의해, 정류 C*-algebra는 콤팩트한 Hausdorff 위상학적 공간에서 연속적인 복합 가치 함수의 C*-algebra에 이형성을 가지며, 위상학적 공간은 C*-algebra에 의해 동형성에 이르기까지 독특하게 결정된다.

For a compact topological group, G, there exists a C*-algebra homomorphism Δ: C(G) → C(G) ⊗ C(G) (where C(G) ⊗ C(G) is the C*-algebra tensor product - the completion of the algebraic tensor product of C(G) and C(G)), such that Δ(f)(x, y) = f(xy) for all f ∈ C(G), and for all x, y ∈ G (where (f ⊗ g)(x, y) = f(x)g(y) for all f, g ∈ C(G) and all x, y ∈ G. 또한 모든 f ∈ C(G)와 모든 x ∈ G에 대해 κ(f)(x) = f(x⁻¹) = f(x)가 되는 선형 승법 지도 κ: C(G) → C(G)가 존재한다. 엄격히 말해서 G가 유한하지 않는 한 이것은 C(G)를 Hopf 대수학으로 만들지 않는다. 반면에 G의 유한차원 표현은 또한 Hopf *-algebra인 C(G)의 *-subalgebra를 생성하는데 사용될 수 있다. 구체적으로 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$( ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle i_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$( g${\displaystyle }$)${\displaystyle {}_{i,}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$가 G의 n차원 표현이라면$$, 모든 i에 대해, j u_ij ∈ C(G) 및

${\displaystyle \Delta (u_{ij}}=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}}}$

따라서 u가_ij 모든 i, j, al(u_ij)에 대해 생성하는 *-알지브라(Hopf *-algebra)는 모든 i에 대해 ε(u_ij) = Δ로_ij 카운티가 결정되며(여기서 Δ는_ij 크로네커 델타), 대척점은 κ로 결정되며, 단위는 κ로 주어진다.

${\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa(u_{1k}})=\sum _{k1}.$

일반적 정의

일반화로서 콤팩트 매트릭스 양자 그룹은 쌍${\displaystyle {}_{}{}_{}{C}_{}}$, u)으로 정의되는데, 여기서 C는 C*-algebra이고${\displaystyle u_{}}$= ${\displaystyle 1_{}}$, j${\displaystyle {}_{}}$= 1 ,${\displaystyle {\dots ,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 C에 입력된 행렬이다.

• u의 매트릭스 요소에 의해 생성되는 C의 *-subalgebra C는₀ C에 밀도가 있다.

• C*-알제브라 동형성(C*-algebra Δ: C → C ⊗ C)이 존재하는데, 여기서 C ⊗ C는 C*-알제브라 텐서 제품이다 - C와 C의 대수 텐서 제품의 완성이다) 이 모든 것을 위해 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있다.

${\displaystyle \Delta (u_{ij}}=\sum _{k}{ik}\otimes u_{kj}}}}}$

• κ(κ(v*)*) = 모든 v ∈ C에₀ 대해 v가 되도록 선형항복지도 κ: C₀ → C(코인버스)가₀ 존재한다.

${\displaystyle \sum_{k}\kappa(u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_}\kappa(u_{kj}}=\delta _{ij}I,}}}$

여기서 나는 C의 정체성 요소다. κ은 반독성이므로 모든 v에 대해 κ(vw) = κ(w) κ(v)가 C에₀ w가 된다.

연속성의 결과로서, C의 복제는 공동 연관성이 있다.

일반적으로 C는 바이알지브라(bialgebra)가 아니며, C는₀ 호프 *-알지브라(Hopf *-algebra)이다.

비공식적으로 C는 콤팩트 매트릭스 양자 그룹에 걸쳐 연속적인 복합 값 함수의 *-알지브라로 볼 수 있으며, u는 콤팩트 매트릭스 양자 그룹의 유한한 차원 표현으로 볼 수 있다.

표현

A representation of the compact matrix quantum group is given by a corepresentation of the Hopf *-algebra (a corepresentation of a counital coassociative coalgebra A is a square matrix ${\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$ with entries in A (so v belongs to M(n, A)) such that

${\displaystyle \Delta (v_{ij}}=\sum _{k=1}^{nv_{ik}\otimes v_{kj}}}}}}$

all i, j 및 ε(v_ij) = Δ_ij for all i, j). 또한 표현 v는 v의 행렬이 단일(또는 동등하게 모든 i, j에 대해 κ(v_ij) = v*_ij인 경우)에 대해 단일체라고 불린다.

예

콤팩트 매트릭스 양자 그룹의 예로는 SU_μ(2)가 있는데 여기서 파라미터 μ는 양의 실수다. So_μ su(2) = (C(SU_μ(2), u), 여기서 C(SU_μ(2)는 α와 γ에 의해 생성된 C*-알게브라로, 다음과 같다.

${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}$

and

${\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

so that the comultiplication is determined by ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α*, and the coinverse is determined by κ(α) = α*, κ(γ) = −μ⁻¹γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. Note that u is a representation, but not a unitary representation. u is equivalent to the unitary representation

${\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}$

Equivalently, SU_μ(2) = (C(SU_μ(2)), w), where C(SU_μ(2)) is the C*-algebra generated by α and β, subject to

${\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,}$

${\displaystyle \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}$

and

${\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

so that the comultiplication is determined by ∆(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α*, and the coinverse is determined by κ(α) = α*, κ(β) = −μ⁻¹β, κ(β*) = −μβ*, κ(α*) = α. Note that w is a unitary representation. The realizations can be identified by equating ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }$.

When μ = 1, then SU_μ(2) is equal to the algebra C(SU(2)) of functions on the concrete compact group SU(2).

Bicrossproduct quantum groups

Whereas compact matrix pseudogroups are typically versions of Drinfeld-Jimbo quantum groups in a dual function algebra formulation, with additional structure, the bicrossproduct ones are a distinct second family of quantum groups of increasing importance as deformations of solvable rather than semisimple Lie groups. They are associated to Lie splittings of Lie algebras or local factorisations of Lie groups and can be viewed as the cross product or Mackey quantisation of one of the factors acting on the other for the algebra and a similar story for the coproduct Δ with the second factor acting back on the first.

The very simplest nontrivial example corresponds to two copies of R locally acting on each other and results in a quantum group (given here in an algebraic form) with generators p, K, K⁻¹, say, and coproduct

${\displaystyle [p,K]=hK(K-1)}$

${\displaystyle \Delta p=p\otimes K+1\otimes p}$

${\displaystyle \Delta K=K\otimes K}$

where h is the deformation parameter.

This quantum group was linked to a toy model of Planck scale physics implementing Born reciprocity when viewed as a deformation of the Heisenberg algebra of quantum mechanics. Also, starting with any compact real form of a semisimple Lie algebra g its complexification as a real Lie algebra of twice the dimension splits into g and a certain solvable Lie algebra (the Iwasawa decomposition), and this provides a canonical bicrossproduct quantum group associated to g. For su(2) one obtains a quantum group deformation of the Euclidean group E(3) of motions in 3 dimensions.

See also

• Hopf algebra
• Lie bialgebra
• Poisson–Lie group
• Quantum affine algebra

Notes

References

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