Q-기능

통계에서 Q-함수는 표준 정규 분포의 꼬리 분포 함수다.^[1][2] 즉 $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle Q(x)}$은 정규(가우스) 랜덤 변수가 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 표준$$ 편차보다 큰 값을 얻을 확률이다$$. 동등하게 $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle Q(x)}$은 표준 정규 랜덤 변수가 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$보다 큰 값을 가질 확률이다$.$

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 평균 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$mu }$과(${\displaystyle {와\mathrm{}}^{}}$) 분산 ≤$$2 {\$displaystyle$ \sigma$^{2$}}인${\displaystyle \frac{}{}}$가우스 ${\displaystyle \frac{\mathrm{랜덤}}{}}$ 변수라면$,$ $X{\displaystyle }$= Y - ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$ X$={\Y-\ma }{\$ma $}}}}}}}}}}}}}$은 표준 정상이며, $시그마$이다.

${\displaystyle P(Y)=P(X)=Q(x)}$

여기서 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle y\frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$

Q-함수의 다른 정의들, 모두 정상 누적분포함수의 단순한 변형인 Q-함수의 정의도 가끔 사용된다.^[3]

정규 분포의 누적분포함수와 관계가 있기 때문에 Q함수는 응용수학과 물리학의 중요한 함수인 오차함수 측면에서도 표현할 수 있다.

정의 및 기본 속성

공식적으로 Q-기능은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }\int_{x}^{\inflt }\exp \left(-{\frac {u^{2}}\오른쪽)\,du.}$

그러므로,

${\displaystyle Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi(x)\,\!,}$

여기서 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Phi (x)}$은 표준 가우스 분포의 누적 분포 함수다.

Q-함수는 다음과 같이^[2] 에러함수 또는 보완 에러함수로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\begin}Q(x)&={\frac {1}{1}{1}{1}{2}}: 왼쪽({\frac {2}\pi }}\int _{x/{\sqrt{2}}:}^{\put \left(-t^{2}\rig)\,d\right)\cright)\cright)\cright)\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{1}:{2}}\propername {erf} \left\frac}{x}{\sqrt{2}}\오른쪽)~~{\text{ -or-}\\&={\frac {1}{1}:{2}}\\frcname {erfc} \left\frac}{x}{\sqrt{2}}}\오른쪽).\end{정렬}}}$

크레이그의 공식으로 알려진 Q-함수의 다른 형태는 발견자의 뒤에 다음과 같이 표현된다.^[4]

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\pi }\int _{0}^{0}{0}^{\pi }}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}:{2}\sin ^{}\ta }d\ta.}}}}$

이 식은 x의 양의 값에만 유효하지만, Q(x) = 1 - Q(-x)와 함께 사용하여 음의 값에 대한 Q(x)를 얻을 수 있다. 통합의 범위가 고정적이고 유한하다는 점에서 이 형식이 유리하다.

크레이그의 공식은 이후 베나드(2020)^[5]에 의해 다음과 같이 두 개의 비음성 변수 합계의 Q-함수에 대해 확장되었다.

${\displaystyle Q(x+y)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{2\cos ^{2}\theta }}\right)d\theta ,\quad x,y\geqslant 0.}$

한계 및 근사치

• Q 기능은 기본 기능이 아니다. 그러나 $where{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \pi (x)}$이(가) 표준 정규 분포의 밀도 함수인$$ ^[6]Borjesson-Sundberg 경계는

${\displaystyle \left\frac {x}{1+x^{2}}}\phi(x)\phi(x)<{\frac {\phi(x)}{x}}}},\qquad x>0,}$

large x에 대해 점점 더 빡빡해지고 종종 유용하다.

대체 v =u²/2를 사용하여 상한은 다음과 같이 도출된다.

${\displaystyle Q(x)=\int _{x}^{\infty }\phi (u)\,du<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\phi (u)\,du=\int _{\frac {x^{2}}{2}}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}}{\frac{e^{-v}{x{\sqrt{2\pi }}}{{\biggr}}{\biggr}{\frac{x^{2}}:{}}={\frac {\pi(x)}}}}}.}$

마찬가지로 $\varphi {\displaystyle {}^{}(u}$)${\displaystyle }$= -${\displaystyle u\varphi (u}$ ) ${\displaystyle \pi '(u)=-u\pi(u)}$ 및$$ quotient rule을 사용하여

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)Q(x)=\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\phi (u)\,du>\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)\phi (u)\,du=-{\biggl .}}{\frac {\fi(u)}{u}}{{\biggr }_{x}^{\inflt }={\frac {\phi(x)}{x}}}.}$

Q(x)에 대한 해결은 하한을 제공한다.

${\displaystyle \mathrm{상한}}$과 하한의 기하 평균은${\displaystyle }$Q${\displaystyle }$($$x ) {\$displaystyle Q(x)}$에 대해 적절한 근사치를 제공한다$.$

${\displaystyle Q(x)\약간 {\frac {\phi(x)}{\sqrt {1+x^{2}}},\qquad x\geq 0.}$

• $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle Q(x)}$의 보다 엄격한 범위 및 근사치도 다음 식을 최적화하여 얻을 수 있다$$.

${\displaystyle {\tilde{Q}}(x)={\frac {\phi(x)}{{(1-a)x+a{\sqrt{x^{2}+b}}}}}}.}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\geq$ 0$}$의 경우$,$ $최대{\displaystyle }$ 절대 상대 오류 0.44%인 a$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.344}$ ${\$$displaystyle$ $a=0.344}$ 및 b$$${\displaystyle }$= $.334}$이(가$) 최적$의 상한을 제공한다. 마찬가지로, 최대 절대 상대 오차 0.27%인${\displaystyle }$a = $(\displaystyle a=0.339})$와${\displaystyle }$b = ${\displaystyle 5}$.510$(\displaystyle b=5$.510}이$($가) 최상의 근사치를 제공한다. 마지막으로, 최대 절대 상대 오차가 1.${\displaystyle 17\%}$인 a$$ ${\displaystyle =}$ 1 /$display$ {\$displaystyle$ a=1$/\pi }$ $및$ b${\displaystyle }$= $display$ {\$displaystyle$ b=$2\pi }$에 의해 최상의 하한이 주어진다.

• Q기능의 체르노프 바운드는

${\displaystyle Q(x)\leq e^{-{\frac {x^{2}}:},\qquad x>0}$

• 향상된 지수 한계와 순수한 지수 근사치는

${\displaystyle Q(x)\leq {\tfrac {1}{4}}e^{-x^{2}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\leq {\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0}$

${\displaystyle Q(x)\cHB {1}{12}e^{-{\frac {x^{2}}:}+{\frac {1}{1}{1}{4}e^{{}{{3}}}{3}x^,\qquad x>0}$

• 위의 내용은 Tanash & Rihonen(2020)에 의해 일반화되었는데,^[8] 그는 $Q{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ Q$(x)}$이(가) 정확하게 근사치 또는 경계가 될 수 있음을$$ 보여주었다.

${\displaystyle {\tilde{Q}}(x)=\sum _{n=1}^{{n}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}.}$

In particular, they presented a systematic methodology to solve the numerical coefficients ${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}$ that yield a minimax approximation or bound: ${\displaystyle Q(x)\approx {\tilde {Q}}(x)}$, ${\displayst$$yle Q(x)\leq {\tilde {Q}}(x)}$, or ${\displaystyle Q(x)\geq {\tilde {Q}}(x)}$ for ${\displaystyle x\geq 0}$. With the example coefficients tabulated in the paper for ${\displaystyle N=20}$, the relative and absolute approximation errors are less than ${\displaystyle 2.$$831\cdot 10^{-6},$ $1$.416 ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle 6^{}}$ ${\$ 1$.416\cdot 10^{-6}$ 각각$.$ $지수{\displaystyle }$ 근사치 및 한계$$ N${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle 25}$ ${\displaystyle$ $\{(a_{n},b_{n$}}\}_${n=1}^{$$N}}}$ 계수${\displaystyle \{(}$$n$, ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$$)$는 포괄적인 데이터 집합으로 액세스를 열기 위해 릴리스되었다$$.^[9]

• $X{\displaystyle [[0}$ , ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle x\in[0,\infit )}$에 대한 $Q{\displaystyle }$($){\displaystyle Q(x)}$의 다른 근사치는 파라미터${\displaystyle }${${\displaystyle A}$ , B ${\displaystyle \}}$ ${\displaystystyle \{A,B\}}}$의 적절한 선택에 대해 보여준 카라지안니디스 & 리움파스(2007)에 의해 주어진다$$.^[10]

${\displaystyle f(x;A,B)={\frac {\좌측(1-e^{-Ax}\우측)e^{-x^{-x^{2}}:{B{\\sqrt {\pi }}}}}}}}관련 \erfc(x\우측)}$

$[{\displaystyle 0}$, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$$f(x;A,B)}$와 [0${\displaystyle ,}$R] 범위를 넘는$$$$ )(${\displaystyle x}$) {\$displaystyle$ \$operatorname$ {$erfc}(x$) 사이의 절대 오차는 [$0,R]$을 평가하여 최소화한다$$.

${\displaystyle \{A,B\}={\underset {\A,B\}}{\arg \min }{\frac {1}{R}\int _{0}^}f(x;A,B)-\operatorname {erfc}(x) dx.}$

Using ${\displaystyle R=20}$ and numerically integrating, they found the minimum error occurred when ${\displaystyle \{A,B\}=\{1.98,1.135\},}$ which gave a good approximation for ${\displaystyle \forall x\geq 0.}$

이러한 값을 대체하고 위의 $Q{\displaystyle }$$$${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle Q(x)}$과 ${\displaystyle \mathrm{erfc}}$ ${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle \operatorname {erfc}(x)}$ 사이의 관계를 사용하면

${\displaystyle Q(x)\cHB(약 1-e^{-1.98x}\right)e^{-{-{\frac{x^{2}}:{1.135{\sqrt{2\pi}}}}}}}}{1.135{2\sqrt{2\x\geq 0.}$

위의 '카라지안니디스-'에 대해서도 대체 계수를 사용할 수 있다.특정 용도에 대한 정확도를 맞춤화하거나 엄격한 바운드로 변환하기 위한 Lioumpas 근사치.^[11]

• 로페즈-베니테스 & 카사데발(2011)^[12]은 다음과 같은 2차 지수 함수에 기초하여 긍정적인 $인수{\displaystyle }$ x${\displaystyle [}$ [${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{})}$ ) ${\displaystyle x\in [0,\infit )}$에 $대한{\displaystyle }$ Q${\displaystyle }$($){\displaystyle Q(x)}$의 보다 엄격하고 다루기 쉬운 근사치를 제공한다$$.

${\displaystyle Q(x)\ 관련 e^{-ax^{2}-bx-c},\qquad x\geq 0.}$

The fitting coefficients ${\displaystyle (a,b,c)}$ can be optimized over any desired range of arguments in order to minimize the sum of square errors (${\displaystyle a=0.3842}$, ${\displaystyle b=0.7640}$, ${\displaystyle c=0.6964}$ for ${\displaystyle x\in$$[0,20$ 또는 최대 절대 오차($x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ $a=0.4920$ b${\displaystyle }$=${\displaystyle 0.2887}$ ${\displaystyle b=0.2887$ $c{\displaystyle }$= 1.${\displaystyle 1893}$ ${\$$displaystystyle$ $c=1.$$1893$$})$를 최소화한다$.$ 이 근사치는 정확성과 분석적 추적성 사이의 양호한 트레이드오프와 같은 일부 이점을 제공한다(예를 $들어{\displaystyle }$,${\displaystyle }$Q (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle$ Q$(x)}$의 임의 전력에 대한 확장은 사소한 것이며$$ 근사치의 대수적 형식을 변경하지 않는다).

역 Q

역 Q-함수는 역오차함수와 관련될 수 있다.

${\displaystyle Q^{-1(y)={\sqrt{2}}\\mathrm {erf}^{-1}(1-2y)={\sqrt{2}}\\mathrm {erfc}^{-1}(2y)}$

${\displaystyle {\mathrm{Q}}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ Q$^{-1}(y)}$ 함수는 디지털 통신에서 애플리케이션을$$ 찾는다. 일반적으로 dB로 표현되며 일반적으로 Q-요인(Q-factor):

${\displaystyle \mathrm {Q{\text{-}factor} =20\log _{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm {dB} }$

여기서 y는 분석 중인 디지털 변조 신호의 비트 오류 속도(BER)이다. 예를 들어, 가우스 노이즈가 첨가된 QPSK의 경우, 위에서 정의한 Q-요인은 y와 동일한 비트 오류율을 생성하는 신호 대 잡음비의 dB 값과 일치한다.

가치

Q-함수는 표에 잘 표시되어 있으며, R과 같은 대부분의 수학 소프트웨어 패키지와 파이썬, MATLAB, 매티매티카에서 이용할 수 있는 패키지에서 직접 계산할 수 있다. Q-함수의 일부 값은 참조를 위해 아래에 제시되어 있다.

높은 차원으로 일반화

Q 기능은 더 높은 차원으로 일반화할 수 있다.^[13]

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathb {P}(\mathbf {X} \geq \mathbf {x}),}$

where ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\,\Sigma )}$ follows the multivariate normal distribution with covariance ${\displaystyle \Sigma }$ and the threshold is of the form ${\displaystyle \mathbf {x} =\gamma \Sigma \mathbf {l} ^{*}}$ for some positive vector > ${\$ 및 양의 상수> > ${\displaystyle \gamma$ >$0$ 1차원 경우와 마찬가지로 Q-함수에 대한 단순한 해석 공식이 없다. 그럼에도 불구하고 Q-함수는 임의적으로 잘 추정될 수 있으며, $as{\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma$}은$($는) 점점 더 커진다$$.^[14][15]

참조