준마인장

수학에서 준결승전은^[1] 유한 분야의 일반화다.표준 지역 계급장 이론은 일반적으로 잔여장이 유한한 완전 평가된 분야(즉, 비정부적 지역 분야)를 다루지만, 잔류장을 준-마인드로만 가정할 때 그 이론은 동등하게 잘 적용된다.^[2]

형식 정의

준마인장은 위상학 집단의 이형성과 함께 완벽한 필드 K이다.

${\displaystyle \phi :{\hat {\mathbf {Z}}}}}}}\to \operatorname {Gal}(K_{s}/K),}$

여기서 K는_s K의 대수적 폐쇄(K가 완벽하기 때문에 필수적으로 분리할 수 있음)이다.필드 확장 K_s/K는 무한하며, 이에 따라 Galois 그룹은 Krull 토폴로지가 주어진다.$그룹{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ Z ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$은(는) 유한 지수의 하위 그룹에 대한 정수의 확실한 완성이다.

이 정의는 K가 각각의 정수 n 1 1에 대해 n 도(필요적으로 순환)의 고유한 확장자_n K를 가지고 있으며, 이러한 확장자의 결합은 K와_s 동일하다고 말하는 것과 같다.^[3]더욱이 준마인장 구조의 일부로서 각 Gal(K_n/K)에 대해 발전기 F가_n 존재하며, n이 m를 나누면 F에서_m K까지의_n 제한이 F와_n 같다는 의미에서 발전기가 일관성이 있어야 한다.

예

정의에 동기를 부여하는 가장 기본적인 예는 유한장 K = GF(q)이다.도_n n의 고유한 주기적 확장, 즉 K = GF(qⁿ)를 가지고 있다.K의_n 결합은 대수적 폐쇄 K이다_s.우리는 F를_n 프로베니우스 요소로 받아들인다; 즉 F_n(x) = x^q.

또 다른 예는 K = C((T)이다. 복잡한 숫자의 필드 C를 넘어 T에 있는 정식 Laurent 시리즈의 링이다. (이것들은 단순히 우리가 음의 많은 용어들을 허용하는 형식적인 파워 시리즈들이다.그러면 K는 독특한 순환 확장을 가지고 있다.

${\displaystyle K_{n}=\mathbf {C}((T^{1/n})}$

각 n ux 1에 대한 n 도의 n으로, 조합은 푸이섹스 계열의 분야라고 불리는 K의 대수적 폐쇄이며, Gal(K_n/K)의 발전기는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle F_{n}(T^{1/n})=e^{2\pi i/n}T^{1/n}.}$

이 구조는 C가 특성 0의 대수적으로 닫힌 필드 C로 대체되는 경우에 작동한다.^[4]

메모들

참조

• Artin, Emil; Tate, John (2009) [1967], Class field theory, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155, Zbl 1179.11040
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, translated by Greenberg, Marvin Jay, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237, Zbl 0423.12016