퍼펙트 필드

대수학에서, 필드 k는 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 유지되는 경우 완벽하다.

k에 대한 모든 돌이킬 수 없는 다항식은 뚜렷한 뿌리를 가지고 있다.
k에 대한 모든 수정 불가능한 다항식은 분리할 수 있다.
k의 모든 유한한 연장은 분리할 수 있다.
k의 모든 대수적 확장은 분리할 수 있다.
k는 특성 0을 가지거나, k가 특성 p > 0을 가질 때, k의 모든 원소는 pth 파워가 된다.
어느 한 k가 특성 0을 가지고 있거나, 또는 k가 특성 p > 0을 가지고 있을 때 프로베니우스 내형성 x ↦ x는^p k의 자동형성이다.
k의 분리 가능한 폐쇄는 대수적으로 닫힌다.
모든 감소된 교호 k-algebra A는 분리 가능한 대수다. 즉, 모든 $A\otimes _{k}F$ 확장자 F/k에 대해 A $A\otimes _{k}F$ for k F $A\otimes _{k}F$ 가 감소된다 $A\otimes _{k}F$ (아래 참조).

그렇지 않으면 k를 불완전하다고 한다.null

특히 특징 0의 모든 분야와 유한한 모든 분야가 완벽하다.null

필드 확장이 분리 가능하다는 일반적인 갈루아 가정은 이러한 필드(위의 세 번째 조건 참조)에 대해 자동으로 충족되기 때문에, 이러한 필드에 대한 갈루아 이론이 더 단순해지기 때문에 완벽한 필드가 중요하다.null

완벽한 분야의 또 다른 중요한 특성은 위트 벡터를 인정하는 것이다.null

보다 일반적으로 특성 p(p a prime)의 링은 프로베니우스 내형성이 자동형성이라면 완전체라고 불린다.^[1](적분된 영역으로 제한되는 경우, 이는 위의 조건 "k의 모든 요소는 pth 전력"과 동일하다.)

예

완벽한 필드의 예는 다음과 같다.

특성 0의 모든 필드, $\mathbb {Q}$ Q ${\$ 및 $\mathbb {Q}$ 모든 유한 확장 및 $\mathbb {C}$ ${\$ ^[2]
모든 유한 필드 $\mathbb {F} _{q}$ $\mathbb {F} _{q}$ ${\$ ^[3]
모든 대수적으로 닫힌 영역
연장자에 의해 완전히 주문된 일련의 완벽한 필드 조합.
완벽한 분야에 대한 필드 대수학

실전에서 접하는 대부분의 분야는 완벽하다.불완전한 경우는 특징 p > 0의 대수 기하학에서 주로 발생한다. 모든 불완전한 장은 그 주요한 하위 영역(최소 하위 영역)보다 초월해야 하는데, 이는 후자가 완벽하기 때문이다.불완전한 필드의 예로는 $\mathbf {F} _{q}(x)$ 가 $x\mapsto x^{p}$ $display$ x p {\ $displaystyle \mathbf {F$ } _{q $}(x)}$ 필드가 있는데 $\mathbf {F} _{q}(x)$ 따라서 X $x\mapsto x^{p}$ $x\mapsto x^{p}$ $x\mapsto x^{p}$ ${\$ 를 보내므로 $x\mapsto x^{p}$ , $\mathbf {F} _{q}(x)$ 는 굴절적이지 않다.그것은 완벽한 분야로 스며든다.

\mathbf {F} _{q}(x,x^{1/p},x^{1/p^{2}},\ldots )

완벽하다고 했어불완전한 필드는 기준 필드의 대수적 닫힘에서 돌이킬 수 없는 다항식이 축소될 수 있기 때문에 기술적 어려움을 야기한다. $예$ 를 들어, $k$ $k$ 특성 $p$ {\ $displaystyle$ k $f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]$ 의 $k$ 불완전한 필드인 p $p$ 에 $p$ 대해 $f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]$ $f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]$ ( $x$ , $y$ ) $f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]$ = x $p$ + $f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]$ $f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]$ = $f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]$ $p$ + y $f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]$ $=$ x $p$ 를 고려하십시오.^[4]그 후 대수학적 폐쇄 $k^{\operatorname {alg} }[x,y]$ , y $k^{\operatorname {alg} }[x,y]$ ${\displaystyle$ k $^{\operatorname {alg}} }[x,y$ 에서 다음과 같은 평등이 유지된다.

f(x,y)=(x+by)^{p}

여기서 b^p = a 및 그러한 b는 이 대수적 폐쇄에 존재한다.기하학적으로, $f$ 은 f{\ $displaystyle$ f}이(가) $k[x,y]$ k [ $k[x,y]$ , $k[x,y]$ ] $k[x,y]$ {\ $displaystyle$ k[ $x,y]}$ 에서 부속 평면 곡선을 정의하지 않는다는 $f$ 것을 의미한다 $k[x,y]$

완벽한 필드에 대한 필드 확장

완벽한 필드 k에 대해 미세하게 생성된 필드 확장자 K는 분리적으로 생성된다. 즉, K가 k(()에 대해 분리 가능한 대수인 분리 초월성 베이스인 γ을 인정한다.^[5]null

완벽한 클로즈업과 완벽함

이와 동등한 조건 중 하나는 특성 p에서 모든 p-th^r 뿌리(r ≥ 1)와 결합한 밭이 완벽하다고 하며, k의 완벽한 폐쇄라고 하며, 보통 $k^{p^{-\infty }}$ - $k^{p^{-\infty }}$ - $k^{p^{-\infty }}$ ${\$ k $^{p^{-\inft }}}$ 로 표시된다 $k^{p^{-\infty }}$

완벽한 닫힘은 분리 가능성 테스트에 사용될 수 있다.더 정확히 말하면, 역행 k-algebra A는 $A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}$ $A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}$ $A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}$ $A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}$ - $A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}$ ${\$ 이(가) 감소된 $A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}$ 경우에만 분리가 가능하다.^[6]null

보편적 특성에서 특성 p의 링 A의 완벽한 닫힘은 특성 p의 완벽한 링 A와_p 고리 동형성 u : A → A의_p 완벽한 링으로서, 동형성 v : A → B의 특징 p의 다른 완벽한 링 B의 경우, u를 통한 v 인자(즉_p v = fu)가 있는 고유한 동형성 f : A → B가 있다.완벽한 폐쇄성은 항상 존재한다; 그 증거는 밭의 경우와 유사하게 "A의 원소들의 p-th 뿌리와 결합"을 포함한다.^[7]null

특성 p의 반지 A의 완벽성은 이중 개념이다(이 용어는 때때로 완벽한 폐쇄를 위해 사용된다).즉, A의 완벽 R(A)은 지도 θ : R(A) → 지도 φ : B → A가 장착된 특성 p의 어떤 완벽한 링 B에 대해서도 θ을 통한 요소(즉 φ = θf)가 있는 독특한 맵 f : B → R(A)가 있다.A의 완성도는 다음과 같이 구성될 수 있다.투영 시스템 고려

\displaystyle \cdots \오른쪽 화살표 A\오른쪽 화살표 A\오른쪽 화살표 A\오른쪽 화살표 \cdots }

과도기 지도는 프로베니우스 내형성이다.이 시스템의 역한계는 R(A)이며 모든 i에 대해 $x_{i+1}^{p}=x_{i}$ $x_{i+1}^{p}=x_{i}$ i + $x_{i+1}^{p}=x_{i}$ $x_{i+1}^{p}=x_{i}$ = $x_{i+1}^{p}=x_{i}$ $x_{i+1}^{p}=x_{i}$ ${\$ x_{ $i+1}^{p}=x_{i}}}$ 와 같은 A 요소의 시퀀스(x₀, x₁, ... )로 구성된다.지도 θ : R(A) → A는 (x_i)를 x로₀ 보낸다.^[8]

참고 항목

메모들

^ 세레 1979, 섹션 2.4
^ 특성 0의 필드의 예로는 합리적인 수의 필드, 실수의 필드 또는 복잡한 수의 필드가 있다.
^ 임의의 유한한 순서 q의 $\mathbf {F} _{q}$ 는 $\mathbf {F} _{q}$ q $\mathbf {F} _{q}$ {\ $displaystyle \mathbf {F$ } $_{q$ 로 나타낼 수 있다. 여기서 q = p 일부^k p와 양의 정수 k.
^ Milne, James. Elliptic Curves (PDF). p. 6.
^ 마쓰무라, 정리 26.2
^ Cohn 2003, 정리 11.6.10
^ 부르바키 2003, 섹션 V.5.1.4, 페이지 111
^ Brinon & Conrad 2009, 섹션 4.2

참조

Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II, Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory (PDF), retrieved 2010-02-05
Cohn, P.M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings and Fields
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
Matsumura, H (2003), Commutative ring theory, Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.)
Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67 (2 ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90424-5, MR 0554237

외부 링크

"Perfect field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] 세레 1979, 섹션 2.4

[2] 특성 0의 필드의 예로는 합리적인 수의 필드, 실수의 필드 또는 복잡한 수의 필드가 있다.

[3] 임의의 유한한 순서 q의 $\mathbf {F} _{q}$ 는 $\mathbf {F} _{q}$ q $\mathbf {F} _{q}$ {\ $displaystyle \mathbf {F$ } $_{q$ 로 나타낼 수 있다. 여기서 q = p 일부^k p와 양의 정수 k.

[4] Milne, James. Elliptic Curves (PDF). p. 6.

[5] 마쓰무라, 정리 26.2

[6] Cohn 2003, 정리 11.6.10

[7] 부르바키 2003, 섹션 V.5.1.4, 페이지 111

[8] Brinon & Conrad 2009, 섹션 4.2

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