콰터니온-케흘러 다지관

Quaternion-Kähler manifold

In differential geometry, a quaternion-Kähler manifold (or quaternionic Kähler manifold) is a Riemannian 4n-manifold whose Riemannian holonomy group is a subgroup of Sp(n)·Sp(1) for some . Here Sp(n) is the sub-group of consisting of those orthogonal transformations that arise by left-multiplication by some quaternionic matrix, while the group of unit-length quaternions instead acts on quaternionic -space 우측 스칼라 곱셈으로The Lie group generated by combining these actions is then abstractly isomorphic to .

위와 같은 느슨한 버전의 정의는 하이퍼케일러 다지관을 포함하지만, 이들을 제외하는 표준 규약은 또한 스칼라 곡면성을 0이 아닌 것으로 요구될 것이다(홀로노미 그룹이 전체 그룹 Sp(n)/Sp(1)과 동일한 경우 자동으로 참인 경우).

초기 역사

마르셀 버거가 1955년 발표한 리만니안 홀로노미 그룹 분류 논문에서는[1] 1980년대까지 그러한 다지관의 예가 구축되지 않았지만 먼저 홀로노미 Sp(n)·Sp(1)를 가진 비대칭 다지관의 존재에 대한 문제가 제기되었다.그러나, 사례가 전혀 없음에도 불구하고, 1960년대 중반 에드먼드 보난, 알프레드 그레이, 비비안 크레이인스의 선구적인 작업에서 어떤 흥미로운 결과가 증명되었다.예를 들어, 보난과[2] 크라인스는[3] 그러한 다지관이 평행 4-형식을 인정한다는 것을 독립적으로 증명했다.

베르거가 리만 홀로노미를 분류하는 맥락에서 콰터니온-켈러 다지관은 자동으로 아인슈타인이지만 자동으로 리치 플랫이 아닌 특수한 홀로노미의 무적칭 다지관의 유일한 부류를 구성한다. ( ) S ( 1) p ( ) 에서 홀노미를 가진 단순 연결 다지관의 아인슈타인 상수가 0이면, 서 n 2{\ 2 홀노미는 S ( ){\에 포함되며, 다지붕어는 hy)이다 경우는 Holonomy 그룹이 S p( ) ( 1) p ( ) 에 포함되어 있을 뿐만 아니라 다지관의 스칼라 곡률이 0이 아닌 (정수)임을 의미하는 quaternion-Kahler를 선언함으로써 정의에서 제외된다.

따라서 쿼터니온-케흘러 다지관은 자연스럽게 리치 곡률의 양성인 다지관과 그 대신 음성인 다지관으로 나눌 수 있다.

국소 대칭이 아닌 컴팩트 쿼터니온-케흘러 다지관의 알려진 예는 없다. (Again, hyperkheler 다지관은 fiat에 의한 논의에서 제외된다.)반면에 대칭 쿼터니온-케를러 다지관은 많다; 이것들은 처음에 조셉 A에 의해 분류되었다. 울프,[4] 그리고 그렇게도 울프 스페이스로 알려져 있다.For any simple Lie group G, there is a unique Wolf space G/K obtained as a quotient of G by a subgroup , where is the subgroup associated with the highest root of G, and K0 is its centralizer in G.리치 곡률 양성의 울프 공간은 콤팩트하고 간단하게 연결된다.For example, if , the corresponding Wolf space is the quaternionic projective space of (right) quaternionic lines through the origin in .

흔히 르브룬과 살라몬(아래 참조)에 기인하는 추측에 따르면 양의 스칼라 곡률의 모든 완전한 쿼터니온-케흘러 다지관은 대칭이라고 주장한다.그러나 이와는 대조적으로 갈릭-로손과 르브룬의[6] 구조는 완전한 비대칭 쿼터니온-케흘러 다지관의 의 스칼라 곡면성이 매우 많이 존재한다는 것을 보여준다.방금 인용한 갈릭키-로슨 건축은 또한 아인슈타인 상수성을 가진 작고 비대칭적인 오비시폴드 예들을 만들어 내고, 이들 중 다수는 차원 + 의 콤팩트한 비-사사키 아인슈타인 다지관을 낳는다[7]

트위스터 스페이스

Quaternion-Kahler 다지관에 대한 질문은 트위스터 이론의 방법을 사용하여 복잡한 기하학의 언어로 번역될 수 있다; 이 사실은 살라몬과 베라드-베르크리에 의해 독립적으로 발견되는 정리 속에 캡슐화되어 있고, 펜로즈의 초기 작품에서 영감을 얻는다.Let be a quaternion-Kähler manifold, and be the sub-bundle of arising from the holonomy action of . 다음 H 에는 j =- }}-분들레 Z M H}로된 S 2 j^{2}=-가 들어 있다 Z 의 점은 의 접선 공간에 대한 복잡한 구조를 나타낸다 이를 통해 총 Z Z은(는) 거의 tautological에 가까운 복잡한 구조를 갖출 수 있다.살라몬[8](그리고 독립적으로 베라드-베르게리[9])은 이 거의 복잡한 구조가 통합이 가능하다는 것을 증명하여 을 복잡한 다지관으로 만들었다.

M의 리치 곡률이 양수일 때 Z는 파노다지관(Fano dargin)이므로, 특히 부드러운 투영 대수 복합 품종이다.더구나 케를러-아인슈타인 지표를 인정하고 있으며, 더 중요한 은 H에 있는 리만 연결의 수평 공간에 해당하는 홀로모픽 접촉 구조를 갖추고 있다.이 사실들은 르브룬과 살라몬에[10] 의해 등축과 재포장까지 어떤 주어진 차원에서도 미세하게 많은 양의 양의 스카라-커버처 콤팩트 쿼터니온-케흘러 다지관만이 존재한다는 것을 증명하기 위해 사용되었다.또한 이 논문은 두 번째 호몰로지(homology)가 비종교적 2-torsion을 가진 유한 집단이 아니라면 그러한 다지관은 실제로 대칭적인 공간이라는 것을 보여준다.앞서 포온과 살라몬은[11] 차원 8에 비대칭적인 예가 전혀 없다는 것을 보여주기 위해 관련 기법도 사용했었다.

반대 방향에서, LeBrun의[12] 결과는 Kahler-Ainstein 계량계와 홀모픽 접촉 구조를 모두 인정하는 Fano 다지관은 사실 양의 스칼라 곡률의 쿼터니온-Kahler 다지관의 트위스터 공간이며, 더 나아가 이등분율과 재분산까지 고유하다.

참조

  1. ^ Berger, Marcel (1955). "Sur les groups d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes" (PDF). Bull. Soc. Math. France. 83: 279–330. doi:10.24033/bsmf.1464.
  2. ^ Bonan, Edmond (1965). "Structure presque quaternale sur une variété differentiable". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 261: 5445–8.
  3. ^ Kraines, Vivian Yoh (1966). "Topology of quaternionic manifolds" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 122 (2): 357–367. doi:10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X. JSTOR 1994553.
  4. ^ Wolf, Joseph A. (1965). "Complex homogeneous contact manifolds and quaternionic symmetric spaces". J. Math. Mech. 14 (6): 1033–47. JSTOR 24901319.
  5. ^ Galicki, K.; Lawson, H.B., Jr. (1988). "Quaternionic reduction and quaternionic orbifolds" (PDF). Math. Ann. 282: 1–21. doi:10.1007/BF01457009. S2CID 120748113.
  6. ^ LeBrun, Claude (1991). "On complete quaternionic-Kähler manifolds" (PDF). Duke Math. J. 63 (3): 723–743. doi:10.1215/S0012-7094-91-06331-3.
  7. ^ Boyer, Charles; Galicki, Krzysztof (2008). Sasakian Geometry. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856495-9.
  8. ^ Salamon, Simon (1982). "Quaternionic Kähler manifolds". Invent. Math. 67: 143–171. Bibcode:1982InMat..67..143S. doi:10.1007/BF01393378. S2CID 118575943.
  9. ^ 베세 1987
  10. ^ LeBrun, Claude; Salamon, Simon (1994). "Strong rigidity of positive quaternion-Kähler manifolds". Invent. Math. 118: 109–132. Bibcode:1994InMat.118..109L. doi:10.1007/BF01231528. S2CID 121184428.
  11. ^ Poon, Y.S.; Salamon, S.M. (1991). "Quaternionic Kähler 8-manifolds with positive scalar curvature". J. Differential Geom. 33 (2): 363–378. doi:10.4310/jdg/1214446322.
  12. ^ LeBrun, Claude (1995). "Fano manifolds, contact structures, and quaternionic geometry". Internat. J. Math. 6 (3): 419–437. arXiv:dg-ga/9409001. CiteSeerX 10.1.1.251.3603. doi:10.1142/S0129167X95000146. S2CID 18361986.