하이퍼켈러 다지관

차동 기하학에서 하이퍼켈러 다지관은 치수 $4k$ k $[\displaystyle 4k}$ 의 리만 다지관이며, $(\displaystyle 4k}$ $k)$ 에 포함된 홀로노미(holonomy) 그룹으로서, $k$ ${\displaysty k}$ - 차원 $k$ quaternionic Hermiti의 quarternion-line unitical inteorphistics 그룹과 동일하다.한 칸 하이퍼켈러 다지관은 칼러 다지관의 특별한 등급이다. 그것들은 Kahler 다지관의 쿼터니온적 유사점이라고 생각할 수 있다. 모든 하이퍼켈러 다지관은 Ricci-flat이며 따라서 Calabi–Yau 다지관( $Sp(k)$ 이 특수 단일 그룹 $SU(2k$ )의 하위 그룹이라는 점에 주목하면 쉽게 알 수 있다.

하이퍼켈러 다지관은 1978년 유제니오 칼라비에 의해 정의되었다.

쿼터니온 구조

모든 하이퍼켈러 다지관 $M$ 은 측정 기준이 Kahler인 복잡한 구조(즉, 통합 가능한 거의 복잡한 구조)의 2-sphere를 가지고 있다.

특히 하이퍼 복합 다지관으로서, $I$ , $J$ , $K$ 라는 뚜렷한 3개의 복잡한 구조가 있어 쿼터니언 관계를 만족시킨다.

I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1.\,

임의의 선형 조합

aI+bJ+cK\,

$a,b,c$ 과 같은, $b$ , $c$ {\ $displaystyle$ a $,b,c}$ 개의 $a,b,c$ 실수와 함께

a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,

$또한$ M의 복잡한 구조물이다. 특히 접선 공간 $TM$ 은_x M $Sp(k)$ 의 각 지점 $x$ 에 대한 쿼터니온 벡터 공간으로서 $I$ , $J$ , $K$ 에 대해 선형인 R $\mathbb {R} ^{4k}=\mathbb {H} ^{k}$ $\mathbb {R} ^{4k}=\mathbb {H} ^{k}$ = $\mathbb {R} ^{4k}=\mathbb {H} ^{k}$ k ${\$ { $R}^{4k}=\mathb$ { $H} ^{k$ }}}}{k $}}}}}}$ 의 직교 변환 그룹으로 간주할 수 있다. 이로부터 다지관의 홀노미가 $Sp(k$ )에 포함된 것을 따른다 $.$ 반대로 리만 매니폴드 $M$ 의 홀노노미 그룹이 $Sp(k$ )에 포함되어 있다면 $TM$ 에서_x $TM$ 을_x 쿼터니온 벡터 공간으로 만드는 복잡한 구조 $I x$ , J, $K$ 를_x_x 선택한다 $.$ 이러한 복잡한 구조물의 병렬 수송은 $M$ 에 필요한 쿼터니온 구조를 제공한다.

홀로모르프성결합형식

복합다지관 $(M, I$ )으로간주되는 하이퍼켈러 다지관 $(M, I, J, K$ $)$ 은 홀로모형적으로 동질성이 있다(홀로모르픽,비탈출성 2형식 장착). 콤팩트 다지관의 경우에도 마찬가지인데, 칼라비 추측에 대한 신퉁 야우의 증명 때문이다: 콤팩트, 케를러, 홀로몰형적으로 동질감 있는 $다지관 (M$ ,I $)$ 을 감안할 때, 항상 호환 가능한 하이퍼 케흘러 메트릭을 갖추고 있다. 그러한 측정기준은 주어진 Kahler 클래스에서 독특하다. 소형 하이퍼켈러 다지관은 대수 기하학에서 나온 기법을 사용하여 광범위하게 연구되어 왔으며, 때로는 홀로모형으로 동질성 다지관이라는 이름으로 연구되었다. 모든 칼라비-의 홀로노미 그룹 $H^{2,0}(M)=1$ $H^{2,0}(M)=1$ , $H^{2,0}(M)=1$ ( $H^{2,0}(M)=1$ ) $H^{2,0}(M)=1$ = 1 ${\displaystyle$ H $^{2,0}(M)=1$ }이 $($ 가) 있는 단순 연결 콤팩트 홀로모르픽 다지관의 Yau 메트릭은 정확히 $Sp(k)$ 이며 $H^{2,0}(M)=1$ , 단순 연결 Calabi–Yau 매니폴드는 $H^{2,0}(M)\geq 2$ $H^{2,0}(M)\geq 2$ , $H^{2,0}(M)\geq 2$ 0 ( $H^{2,0}(M)\geq 2$ ) $H^{2,0}(M)\geq 2$ 2 $H^{2,0}(M)\geq 2$ {\ $displaystyle$ H $^{2$ ,0 $}(M)\geq$ 2 $}$ 을(를) 가지고 있는데 $H^{2,0}(M)\geq 2$ 이것은 단지 저차원 하이퍼켈러 다지관의 리만 산물일 뿐이다. 이 사실은 즉시 Kahler 다지관의 홀로모르프 형태에 대한 Bochner 공식에서 따르며, Holonomy 집단의 버거 분류와 함께, 아이러니하게도, 그것은 종종 보고몰로프에게 기인한다. 그는 같은 논문에서 콤팩트한 하이퍼켈러 다지관이 실제로 존재하지 않는다고 잘못 주장하기 때문이다!

예

고다이라 구니히코의 복잡한 표면 분류 때문에, 우리는 어떤 콤팩트한 하이퍼케일러 4 매니폴드도 K3 표면이거나 콤팩트한 $T^{4}$ T $T^{4}$ 4{\ $displaystyle T^{$ 4 $T^{4}$ (매 칼라비–) $4$ ( $실제$ ) $치수$ 의 Yau 매니폴드는 하이퍼켈러 다지관이다. 왜냐하면 SU(2 $)$ 는 $Sp($ 1)와 이형이기 때문이다.

보빌에 의해 발견되었듯이, 힐버트 체계는 소형 하이퍼켈러 4-매니폴드 위에 $있는$ k 포인트의 입체 $4k$ 의 하이퍼켈러 다지관이다. 이렇게 하면 다음과 같은 두 가지 일련의 콤팩트한 예가 나온다. Hilbert는 K3 표면과 일반화된 Kummer 변종들의 점들을 계획한다.

$H / G$ 에 점증하지 않는 비-컴팩트, 완전, 하이퍼케일러 4-매니폴드( $H$ 는 쿼터니온을 의미하며 $G$ 는 $Sp($ 1)의 유한 부분군이며국소적으로 국소적으로 유클리드(ELE) 공간이라고 알려져 있다. 이러한 공간과 서로 다른 무증상 행동을 포함하는 다양한 일반화는 중력 인스턴스(instance)라는 이름으로 물리학에서 연구된다. 기븐스-호킹 안사츠는 원 액션을 통해 불변적인 예를 제시한다.

많은 비컴팩트 하이퍼켈러 다지관의 예는 반자체 이중 양-밀스 방정식의 치수 감소에서 발생하는 특정 게이지 이론 방정식에 대한 해법의 모듈리 공간(인스턴트론 모듈리 공간, 단극 모듈리 공간, 니겔 히친의 리만 표면의 자기 이중성 방정식에 대한 해법 공간, 그 공간)으로 나타난다.나옴 방정식에 대한 리액션. 또 다른 종류의 예로는 대표이론에서 매우 중요한 나카지마 흔들기 품종이 있다.

코호몰로지

Kurnosov, Sandatenkov & Verbitsky(2019년)는 모든 소형 하이퍼켈러 다지관의 코호몰리학이 토러스 코호몰리에 내장됨을 보여주는데, 이는 호지 구조를 보존하는 방식이다.

참고 항목

외부 링크

Dunajski, Maciej; Mason, Lionel J. (2000), "Hyper-Kähler hierarchies and their twistor theory", Communications in Mathematical Physics, 213 (3): 641–672, arXiv:math/0001008, Bibcode:2000CMaPh.213..641D, doi:10.1007/PL00005532, MR 1785432, S2CID 17884816
키런 G. 오그라디, (2011) "K3 표면의 고차원 유사점" MR2931873
Hitchin, Nigel (1991–1992), "Hyperkähler manifolds", Séminaire N. Bourbaki, 34 (Talk no. 748): 137–166, MR 1206066
Kurnosov, Nikon; Soldatenkov, Andrey; Verbitsky, Misha (2019), "Kuga-Satake construction and cohomology of hyperkähler manifolds", Advances in Mathematics, 351: 275–295, arXiv:1703.07477, doi:10.1016/j.aim.2019.04.060, MR 3952121, S2CID 119124485

v t 끈 이론
배경	줄들 우주 현 끈 이론의 역사 제1차 슈퍼스트링 제2차 슈퍼스트링 혁명 끈 이론 풍경
이론	난부-고토 액션 폴리아코프 작용 보소닉 끈 이론 슈퍼스트링 이론 I타입 문자열 II형 문자열 IIA 문자열 유형 IIB 문자열 유형 이성질 끈 N=2 슈퍼스트링 F-이론 끈장 이론 매트릭스 문자열 이론 비중요 문자열 이론 비선형 시그마 모형 타키온 응축 RNS 형식주의 GS 포멀리즘
스트링 이중성	T-이중성 S-이중성 U-이중성 몬토넨-올리브 이중성
입자 및 필드	그라비톤 딜라톤 타키온 라몬드-라몬드 필드 칼브-라몬드 필드 자기 단극 이중 그라비톤 이중 광자
브란스	디브레인 NS5-브레인 M2-브레인 M5-브레인 에스브레인 블랙브레인 블랙홀 블랙 스트링 브레인 우주론 떨림 다이어그램 하나니-위튼 전환
등각장 이론	비라소로 대수 거울 대칭 등정 이상 등각대수학 과적합 대수학 정점 연산자 대수 루프 대수 카크무디 대수 베스-주미노-위튼 모형
게이지 이론	이상 징후 인스턴트온 체르-시몬스 양식 보고몰니-프라사드-소머필드 바인딩 예외적인 Lie 그룹(G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE 분류 디락 문자열 p-형 전자역학
기하학	칼루자-클레인 이론 압축 왜 10차원이야? 칼러 다지관 리치-플랫 다지관 칼라비-야우 다지관 하이퍼켈러 다지관 K3면 G다지관₂ 스핀(7)-매니폴드 일반화 복합 다지관 오비폴드 코니폴드 오리엔티폴드 모둘리 공간 호하바-위튼 도메인 벽 K-이론(물리학) 꼬인 K이론
초대칭	초중력 초공간 리 수페르게브라 리 슈퍼그룹
홀로그래피	홀로그래피 원리 ADS/CFT 통신
엠이론	매트릭스 M-이론 소개
끈 이론가	아가나기치 아르카니하메드 아티야 은행 베렌슈타인 부소 클리버 커트라이트 딕크라프 디슬러 더글러스 더프 드발리 페라라 피슐러 프리단 게이츠 글리오찌 고파쿠마르 녹색 그린 징그럽다 거버 쿠코프 구스 핸슨 하비 호하바 기븐스 카흐루 카쿠 칼로스 칼루자 카푸스틴 클레바노프 크니즈니크 콘체비치 클라인 린데 몰다세나 만델스탐 마롤프 마르티네크 민왈라 무어 모틀 묵히 마이어스 나노풀로스 네스타세 네크라소프 네베우 닐슨 판 니에우웬후이젠 노비코프 올리브 오오구리 오브루트 폴친스키 폴리아코프 라자라만 라몬드 랜들 랜지바르대미 로체크 롬 사그노티 셰르크 슈바르츠 세이베르크 센 선커 시겔 실버스타인 신 스토다허 스타인하르트 스트로밍거 선드럼 서스킨드 't 후프트' 타운센드 트리베디 투록 바파 베네치아노 베린데 베린데 웨스 비튼 야우 요네아 자몰로드치코프 자몰로드치코프 자슬로 주미노 즈위바흐

Search