라도-케네세르-초케 정리

수학에서 티보르 라도, 헬무트 크네서, 구스타브 초케의 이름을 딴 라도-케세르-초케 정리에서는 단위 원의 동형성의 포아송 적분은 오픈 단위 원반의 조화적 차이점형성이라고 기술하고 있다.그 결과는 라도에 의해 문제로 언급되었고 1926년 크네세르에 의해 곧 해결되었다.라도와 크네세르의 일을 모르고 있던 초케는 1945년 다른 증거로 그 결과를 재발견했다.초케트는 또한 단위 원으로부터 볼록한 지역을 경계하는 간단한 요르단 곡선에 이르기까지 동형성의 포아송 적분으로 결과를 일반화했다.

성명서

f는 단위 원 z = 1 in C의 방향을 유지하는 동형성이 되도록 하고 f의 포아송 적분을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \f}(re^{i\theta })={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(\varphi )\cdot {1-r^{2} \ta -\varphi )+r^{2}}:$

r < 1. 포아송 적분의 표준 특성은 F가_f z = 1의 연속성에 의해 확장되는 z < 1의 조화 함수임을 보여준다. f가 이 원의 방향을 보존하는 동형성이라는 추가적인 가정과 함께, F는_f 오픈 유닛 원반의 차이점성을 보존하는 방향이다.

증명

F가_f 지역적으로 방향을 보존하는 차이점형이라는 것을 증명하기 위해서는 단위 원반에서 a 지점의 자코비안이 양성이라는 것을 보여주기에 충분하다.이 자코비안은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle \displaystyle {J_{f}(a)= \partial _{z}F_{f}(a) ^{2}- \partial _{\overline{z}F_{f}(a) ^{2}.}}$

반면에, 저 g는 단위 원과 단위 원반을 보존하는 뫼비우스의 변형이다.

${\displaystyle \displaystyle {F_{f\circle g}=F_{f}\circle g.}}$

g(a) = 0이 되도록 g를 취하고 변수 ζ = g(z)의 변화를 취하면 체인 규칙이 다음을 제공한다.

${\displaystyle \displaystyle {(F_{f}\circ g)_{z}=[(F_{f})_{\zeta }\circ g]\cdot g_{z},\,\,(F_{f}\circ g)_{\overline {z}}=[(F_{f})_{\overline {\zeta }}\circ g]\cdot {\overline {g_{z}}}.}}$

그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle \displaystyle {J_{f\circle g}(a)=J_{f}(0)\cdot g_{z}(a) ^{2}.}}$

따라서 a = 0일 때 자코비안의 긍정을 증명하기에 충분하다.그 경우에는

${\displaystyle \j_{f}(0)= a_{1} ^{2}- a_{-1} ^{2},}}$

여기서 a는_n f의 푸리에 계수:

${\displaystyle \displaystyle {a_{n}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\theta })^{-in\theta }\,d\ta.}}$

두아디앤얼(1986년)에 이어 0의 자코비안은 이중 적분으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \displaystyle { a_{1} ^{2}- a_{-1} ^{2}={1 \over 4\pi ^{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\Re [f(e^{i\theta }){\overline {f(e^{i\varphi })}}(e^{i(\theta -\varphi )}-e^{-i(\theta -\varphi )})]\,d\theta \,d\varphi .}}$

글쓰기

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{i\theta }})=e^{ih(\theta )}}}}}$

여기서 h는 엄격히 증가하는 연속함수 만족도

${\displaystyle \displaystyle {h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi }}}$

이중 적분자는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle \displaystyle { a_{1} ^{2}- a_{-1} ^{2}={1 \over 2\pi ^{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin(\theta -\varphi )\sin(h(\theta )-h(\varphi ))\,d\theta \,d\varphi ={1 \over 2\pi ^{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin(\theta )\sin(h(\theta +\varphi )-h(\varphi ))\,d\theta \,d\varphi .}}$

그러므로

${\displaystyle \displaystyle a_{1} ^{2}- a_{-1} ^{2}={1 \over 2\pi ^{2}}\int _{0}^{\pi \theta \{0}^{0}^{}R(\ta ,\varphi )\d\varphi \,d\d\d\theta ,d\ta ,d\ta .}}}}}$

어디에

${\displaystyle R(\theta ,\varphi )=\sin(h(\varphi +\theta )-h(\varphi ))+\sin(h(\varphi +2\pi )-h(\varphi +\theta +\pi ))+\sin(h(\varphi +\theta +\pi )-h(\varphi +\pi ))+\sin(h(\varphi +\pi )-h(\varphi +\theta )).}$

이 공식은 R을 4개의 음이 아닌 각도의 합과 합 2㎛의 합으로 주기 때문에 항상 음이 아닌 것이다.^[1]그러나 0의 자코비안은 엄격히 긍정적이고 따라서 F는_f 국소적으로 차이점형이다.

F가_f 동형상이라고 추론하는 것은 남아있다.연속성에 의해 그것의 이미지는 매우 폐쇄적이다.Jacobian의 비 바니싱은 F가_f 유닛 디스크의 오픈 매핑이므로 오픈 디스크의 이미지가 열려 있음을 암시한다.따라서 닫힌 디스크의 이미지는 닫힌 디스크의 열린 부분집합이다.연결에 의해 전체 디스크여야 한다.w < 1의 경우 w의 역영상은 닫히고, 매우 컴팩트하며, 완전히 열린 디스크에 포함되어 있다.F는_f 국소적으로 동형상이기 때문에 유한 집합이어야 한다.사전 이미지가 정확하게 n개인 열린 디스크의 w 지점 세트가 열려 있다.연결에 의해 모든 점에는 동일한 수의 사전 이미지 N이 있다.열린 디스크는 간단히 연결되기 때문에 N = 1이다.사실 원점의 어떤 프리이미지를 취하면, 모든 레이디얼 라인은 프리이미지로의 독특한 리프팅을 가지고 있고, 그래서 유닛 디스크 매핑의 오픈 서브셋이 오픈 디스크로 고정되어 있다.N > 1일 경우, 그것의 보완물도 개방되어야 하며, 연결성과 모순된다.

메모들

참조

• Kneser, Hellmuth (1926), "Lösung der Aufgabe 41" (PDF), Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 35: 123–124
• Choquet, Gustave (1945), "Sur un type de transformation analytique généralisant la représentation conforme et définie au moyen de fonctions harmoniques", Bull. Sci. Math., 69: 156–165
• Douady, Adrien; Earle, Clifford J. (1986), "Conformally natural extension of homeomorphisms of the circle", Acta Math., 157: 23–48, doi:10.1007/bf02392590
• Duren, Peter (2004), Harmonic mappings in the plane, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 156, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64121-7
• Sheil-Small, T. (1985), On the Fourier series of a finitely described convex curve and a conjecture of H. S. Shapiro, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 98, pp. 513–527