조화함수

수학적 분석 → 복합적 분석
복합분석
콤플렉스
실수 상수 복합면 콤플렉스 결합체 단위복합번호
복합함수
복합값함수 분석함수 홀로모르픽 함수 코치-리만 방정식 포멀 파워 시리즈
기본 이론
0과 극 코치의 적분 정리 지역 원시 코치의 적분식 권선번호 로랑 시리즈 절연 특이점 잔류 정리 등각도 슈바르츠 보조정리 조화함수 라플라스 방정식
기하함수 이론
사람
아우구스틴루이코치 레온하르트 오일러 카를 프리드리히 가우스 자크 하다마르 오카 기요시 베른하르트 리만 카를 위어스트라스
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수학, 수학물리학, 확률과정의 이론에서 조화함수는 연속적으로 2배씩 다른 함수 f : U → R, 여기서 U는 R의ⁿ 오픈 서브셋으로 라플레이스의 방정식을 만족시키는, 즉,

${\displaystyle {\frac {\fract {\f}{2}f}{\frac x_{1}^{1}:{2}}:}+{\frac x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\f}{\frac x_{n}}}}}}}}}}}}=0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

U.의 모든 곳. 이것은 보통 다음과 같이 쓰여진다.

${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

또는

${\displaystyle \Delta f=0}$

"화합적"이라는 용어의 어원

고조파 함수의 설명자 "조화학적"은 고조파 운동을 하고 있는 taut 문자열의 한 점에서 유래한다. 이러한 유형의 운동에 대한 미분 방정식의 해법은 고조파라고 하는 함수인 사인(sine)과 코사인(cosin)의 관점에서 쓰여질 수 있다. 푸리에 분석은 일련의 고조파 측면에서 단위 원에서의 기능을 확장하는 것을 포함한다. 단위 n-sphere에 있는 고조파 고차원 유사성을 고려하면 구면 고조파에 도달한다. 이러한 함수는 라플레이스의 방정식을 만족시키고 시간이 지남에 따라 "화합"을 사용하여 라플레이스의 방정식을 만족시키는 모든 함수를 언급하였다.^[1]

예

두 변수의 고조파 함수의 예는 다음과 같다.

• 모든 홀로모르프 함수의 실제와 상상적 부분
• The function ${\displaystyle \,\!f(x,y)=e^{x}\sin y}$; this is a special case of the example above, as ${\displaystyle f(x,y)=\operatorname {Im} \left(e^{x+iy}\right)}$, and ${\displaystyle e^{x+iy}}$ is a holomorphic function.
• The function ${\displaystyle \,\!f(x,y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ defined on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \lbrace 0\rbrace }$. This can describe the electric potential due to a line charge or the gravity potential due to a long cylindrical mass.

세 변수의 고조파 함수의 예는 $아래{\displaystyle {}^{}}$ 표에 r ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$2 {\$displaystyle$ r$^{$2}=$x^{2}=$x^{$2}+y^{2}+z^{2$}}$$:

함수	특이점
${\displaystyle {\frac {1}{r}}$	출발지에서의 단위 포인트 충전
${\displaystyle {\frac}{x}{r^{3}}}}}$	x 방향 쌍극선 원점
${\displaystyle -\ln \left(r^{2}-z^{2}\2}\오른쪽)\,}$	전체 z축의 단위 전하 밀도 라인
$[\displaystyle -\ln(r+z)\,}$	음의 z축에 대한 단위 전하 밀도 라인
${\displaystyle {\frac {x}{r^{2}-z^{2}}\,}$	전체 z축의 x 방향 쌍극선
${\displaystyle {\frac {x}{r(r+z)}\,}$	음의 z축에 있는 x 방향 쌍극선

물리학에서 발생하는 조화 함수는 그 특이점과 경계 조건(Dirichlet 경계 조건 또는 Neuman 경계 조건 등)에 의해 결정된다. 경계가 없는 지역에서는 전체 함수의 실제 또는 가상 부분을 추가하면 동일한 특이점을 가진 고조파 함수가 생성되므로, 이 경우 고조파 함수는 그 특이점에 의해 결정되지 않지만, r이 접근함에 따라 솔루션이 0에 근접하도록 요구함으로써 물리적 상황에서 고유한 솔루션을 만들 수 있다. 무한대의 이 경우 유니크함은 리우빌의 정리에 따른다.

위의 고조파 함수의 단수점은 전기학 용어를 사용하여 "차지"와 "충전 밀도"로 표현되며, 따라서 해당 고조파 함수는 이러한 전하 분포로 인해 정전기 전위에 비례하게 된다. 위의 각 함수는 상수로 곱하고 회전하며/또는 상수가 추가된 경우 또 다른 고조파 함수를 산출한다. 각 함수의 역전은 구면 "미러"에 있는 원래 특이점의 이미지인 특이점을 갖는 또 다른 조화 함수를 산출할 것이다. 또한, 두 개의 고조파 함수의 합은 또 다른 고조파 함수를 산출할 것이다.

마지막으로 n 변수의 고조파 함수의 예는 다음과 같다.

• 상수, 선형 및 아핀은 모든 R에서ⁿ 기능한다(예: 콘덴서의 플레이트 사이의 전위 및 슬래브의 중력 전위)
• The function ${\displaystyle \,\!f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)^{1-n/2}}$ on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \lbrace 0\rbrace }$ for n > 2.

특성.

주어진 오픈 세트 U의 고조파 함수 집합은 라플라스 연산자 Δ의 커널로 볼 수 있으며, 따라서 R: 고조파 함수의 선형 조합은 다시 고조파다.

만약 f가 U의 고조파 함수라면, f의 모든 부분파생상품도 U의 조화함수다. 라플라스 연산자 Δ와 부분파생상품 연산자는 이 종류의 함수에서 통근하게 된다.

여러 가지 면에서 조화 함수는 홀로모르픽 함수와 실제 유사하다. 모든 고조파 함수는 분석적, 즉 전력 직렬로 국소적으로 표현할 수 있다. 이것은 타원 연산자에 대한 일반적인 사실이며, 그 중 라플라시안(Laplacian)이 주요 예다.

조화함수의 수렴 시퀀스의 균일한 한계는 여전히 조화롭다. 이는 평균값 특성을 만족하는 모든 연속 함수가 조화롭기 때문에 사실이다. $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{1n}}{}}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ x ) ${\displaystyle \cos }$ cos (${\displaystyle }$n${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$에 의해 정의된 (-16, 0) × R의 순서를 고려하십시오. $\$ 이 순서는 조화적이며 0 함수에 균일하게 수렴되지만, 부분파생상품이 0함수(영함수의 파생상품)에 균일하게 수렴되지 않는다는 점에 유의한다. 이 예는 한도가 조화롭다고 주장하기 위해 평균값 속성과 연속성에 의존하는 것의 중요성을 보여준다.

복합기능이론을 가진 연결

모든 홀모형 함수의 실제 부분과 가상 부분은 R에² 고조파 함수를 산출한다(이들은 조화 결합함수의 한 쌍이라고 한다). 반대로, R의² 개방된 부분 집합 Ω에 대한 고조파 함수 u는 국소적으로 홀로모르픽 함수의 실제 부분이다. 이는 z = x + iy를 쓰면서 복합함수 g(z) := u_x - i u가_y Cauchy-Remann 방정식을 만족하기 때문에 Ω으로 홀로모르픽임을 즉시 관찰할 수 있다. 따라서 g는 로컬로 원시적인 f를 가지고 있으며, u는_x $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle g}$ ${\$}=$g}$의 실제 부분이기 때문에 상수까지 f의 실제 부분이다.

위와 같은 홀로모르픽 함수와의 대응은 두 개의 실제 변수의 함수만을 가지고 있지만, n 변수의 조화 함수는 여전히 홀로모르픽 함수의 전형적인 많은 특성들을 누리고 있다. 그것들은 (실제) 분석적인 것이다; 그들은 최대 원리와 평균 가치 원리를 가지고 있다; Louville 정리뿐만 아니라 특이점의 제거의 정리는 그들을 복잡한 기능 이론에서 상응하는 이론들과 유사하게 유지한다.

고조파 함수의 속성

고조파 함수의 몇 가지 중요한 성질은 라플레이스의 방정식에서 추론할 수 있다.

조화함수에 대한 규칙성 정리

조화 함수는 오픈 세트에서 무한히 다르다. 사실 조화 함수는 실제 분석적이다.

최대 원리

고조파 함수는 다음과 같은 최대 원리를 만족시킨다: K가 U의 비빈 소형 서브셋인 경우, K로 제한된 f는 K의 경계에서 최대와 최소값을 얻는다. U가 연결되면 f가 일정한 예외적인 경우를 제외하고는 f가 로컬 maxima나 minima를 가질 수 없다는 뜻이다. 하위 고조파 함수에 대해서도 유사한 특성을 나타낼 수 있다.

평균값 속성

B(x, r)가 오픈 세트 Ω ⊂ R에ⁿ 완전히 포함된 중심 x와 반지름 r을 가진 공이라면, 공의 중심에 있는 고조파 함수 u: Ω → R의 값은 공의 표면에 있는 u의 평균값으로 주어진다. 이 평균값은 공의 내부에서의 u의 평균값과도 같다. 바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{n\omega _{n1}r^{n-1}\int_{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{n1}{n1}r^{n}}}\int_{B(x,r)\dV}$

여기서 Ω은_n n차원 단위볼의 부피, σ은 (n - 1)차원 표면 측정값이다.

반대로, (볼륨) 평균값 특성을 만족하는 모든 국소적 통합 함수는 무한히 다를 수 있고 조화롭다.

경련이라는 측면에서 본다면.

${\displaystyle \chi_{r}={\frac {1}{B(0,r)}}\{B(0,r)}={\frac {n}{n1}오메가 _{n}r^{n}}}}}}}\chi _{B(0,r)}}}}}}}}}}}}}}$

origin${\displaystyle {}_{R{\mathbf{}}^{}}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 1 ${\$^{$n}\chi$ _${r}\,dx=1$ u 함수는 Ω에 대해 조화가 된다(만약의 경우).

${\displaystyle u(x)=u*\chi _{r}(x)\;}$

B(x, r) ⊂ Ω 즉시

증거의 스케치. 고조파 함수의 평균값 특성과 그 반대의 증거에 따르면 0 < s < r에 대해 비균형 방정식이 있다는 것을 즉시 관찰한다.

${\displaystyle \Delta w=\chi _{r}-\chi _{s}\;}$

B(0, r)의 콤팩트한 지원을 통해 클래스^1,1 C의_r,s 쉬운 명시적 솔루션을 인정한다. 따라서 u가 Ω으로 고조파인 경우

${\displaystyle 0=\Delta u*w_{r},s}=u*\Delta w_{r,s}=u*_{r-u*\chi_{s}$

($x$ , )> ${\displaystyle$$\Oomega }$의 모든 포인트 x의 설정 Ω에서_r holds in $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ (x,\$partial \Oomega )>r}.$

u는 Ω으로 연속하므로 u∗χ은_r Ω으로 u에 대한 평균값 속성을 나타내는 s → 0으로 수렴한다. 반대로 u가 Ω의 평균 값 속성을 만족하는 $L{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {l\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}^{}}$ c ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}^{}}$ $displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}\;}$ 함수라면$$, 즉,

$u*\chi _{r}=u*\chi _{s}\;}$

그러면 0 < 초 > r에 대해 모두 Ω으로_r 유지되며, 1이 다음과 같은 χ으로_r convolution을 곱한 m를 반복한다.

$\displaystyle u=u*\chi _{r}=u*\chi _{r}*\cdots *\chi _{r}\r}\cdots *\chi _\r}\cd x\in \i \Oomega _{mr}}}}$

따라서 of의_r m-접합된 경련이 B(0, mr)가 지원되는$$ $C{\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {\mathrm{1급}}^{}}$(class C ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ 1 $displaystyle C^{m-1}\;}$이기 때문에 $u$는${\displaystyle {\mathrm{C}}^{}}$ - 1${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}_{}}$ m ${\displaystyle r_{}}$) ${\$이다. r과 m은 임의적이기 때문에 u도 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ $){\$이다. 게다가

${\displaystyle \Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u**\chi _{r}-u**\chi _{s}=0\;}$

변동 미적분학의 기본 정리에 의해 Δu = 0 in Ω으로 0이 되도록 모든 0 < < r >에 대해, 조화 속성과 평균값 속성 사이의 등가성을 증명한다.

평균값 속성의 이 문장은 다음과 같이 일반화할 수 있다. h가 B(x, r)에서 ∫h = 1과 같이 spherically 대칭 함수인 경우, u(x) = h x u(x)이다. 즉, 1점에 대한 u의 가중평균을 취하여 u(x)를 회복할 수 있다. 특히 h를 C함수로^∞ 취함으로써 u가 어떻게 분포로 작용하는지만 알더라도 언제든지 u의 가치를 회복할 수 있다. Weyl의 보조정리 봐.

하낙의 부등식

u를 경계 도메인 Ω에서 음이 아닌 고조파 함수가 되게 하라. 연결된 모든 세트에 대해

${\displaystyle V\subset {\overline {V}\subset \Oomega ,}$

하낙의 부등식

${\displaystyle \sup _{V}u\leq C\inf _{V}u}$

V와 Ω에만 의존하는 일부 상수 C를 고정한다.

특이점 제거

특이점 제거의 다음 원리는 조화 함수에 적용된다. 만약 f가 점점이 있는 오픈 서브셋 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$Ω { ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$\script $style \Oomega \,\setminus \,\x_{0}\}\}}}$에ⁿ 정의된 고조파 함수라면, 이는 기본 솔루션(> 2 ${\displaystystyle n>2}$ 보다 x에서₀ 단수가 적다.

${\displaystyle f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\as }x\to x_{0}}}}$

그런 다음 f는 Ω으로 고조파 함수로 확장된다(복합 변수의 함수에 대한 리만의 정리 비교).

리우빌의 정리

정리: f가 R의ⁿ 모든 위에서 정의되거나 아래에서 경계되는 고조파 함수라면 f는 일정하다.

(복합 변수의 기능에 대한 리우빌의 정리 비교).

에드워드 넬슨은 위에서 언급한 평균값 특성을 이용하여 경계함수의 경우에 대해 이 정리에 대한 특히 짧은 증거를 제시했다.^[2]

두 점을 지정하면 지정된 점을 중심으로 반지름이 같은 두 개의 볼을 선택하십시오. 반지름이 충분히 크면 임의로 부피의 작은 비율을 제외하고는 두 공은 일치하게 된다. f는 경계가 있으므로 두 공에 대한 그것의 평균은 임의로 근접하므로 f는 어느 두 지점에서나 동일한 값을 가정한다.

증명서는 고조파 함수 f가 단지 위 또는 아래로 경계된 경우에 적응될 수 있다. 상수를 추가하여 -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$을 곱하면 f가 음수가 아니라고 가정할 수 있다$.$ Then for any two points ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$, and any positive number ${\displaystyle R}$, we let ${\displaystyle r=R+d(x,y)}$. We then consider the balls ${\displaystyle B_{R}(x)}$ and ${\displaystyle B_{r}(y)}$, where by the triangle 불평등, 첫 번째 공은 두 번째 공에 포함되어 있다.

평균적인 특성과 적분들의 단조로움으로,

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{R}(x)}f(z)\,dz\leq {\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{r}(y)}f(z)\,dz.}$

(Note that since ${\displaystyle \operatorname {vol} (B_{R}(x))}$ is independent of ${\displaystyle x}$, we denote it merely as ${\displaystyle \operatorname {vol} (B_{R})}$.) In the last expression, we may multiply and divide by ${\displaystyle \operatorname {vol}$$(B_{r}})$ 및 평균$$ 속성을 다시 사용하여 을(를) 얻으십시오.

${\displaystyle f(x)\leq {\frac {\operatorname {vol}(B_{r}){vol}{\operatorname {vol}(B_{R})}}f(y).}$

그러나 $R{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle R\rightarrow \infully$ 수량

${\displaystyle {\frac {\operatorname {vol}(B_{r})}{\operatorname {vol}(B_{R})}}}={\frac {(R+d(x,y))}^{n}}{R^{n}}}}}$

1인 경향이 있다. 따라서 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle f}$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)\leq f(y$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ y ${\displaystyle y}$의 역할과 동일한$$ 인수가 반전된 $경우{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$(y)\leq$ f$(x$ $따라서{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystystysty f(x)=f)(y$

일반화

약조화함수

함수(또는 더 일반적으로 분포)는 라플레이스의 방정식을 만족하는 경우 약하게 조화된다.

${\displaystyle \Delta f=0\,}$

약한 의미에서(또는 균등하게 분포의 관점에서) 약하게 고조되는 함수는 거의 모든 곳에서 강한 고조파 함수와 일치하며, 특히 부드럽다. 약조화분포는 정밀하게 강한 조화함수와 연관된 분포로, 또한 평활하다. 이건 웨일의 보조정리야

라플라스 방정식의 다른 약한 공식들이 종종 유용하다. 그 중 하나가 디리클레트의 원리인데, 디리클레 에너지 적분의 최소제로서 소볼레프 공간 H¹(Ω)에서 고조파 함수를 나타낸다.

$[\displaystyle J(u):=\int _{\Oomega } \nabla u ^{2}\,dx}$

with respect to local variations, that is, all functions ${\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )}$ such that J(u) ≤ J(u + v) holds for all ${\displaystyle v\in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$ or equivalently, for all ${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega ).$$}$

다지관의 조화 함수

조화 함수는 라플라스-벨트라미 연산자 Δ를 사용하여 임의 리만 다지관에서 정의할 수 있다. 이 맥락에서 함수는 다음과 같은 경우 조화라고 불린다.

$\displaystyle \Delta f=0.}$

유클리드 공간의 영역에 대한 조화 함수의 많은 특성은 평균값 정리(지오데믹 볼 초과), 최대 원리, 하르낙 불평등을 포함하여 이 보다 일반적인 설정으로 넘어간다. 평균값 정리를 제외하고, 이것들은 두 번째 순서의 일반 선형 타원 부분 미분 방정식에 대한 해당 결과의 쉬운 결과들이다.

하위 고조파 함수

Δf ≥ 0을 만족시키는 C 함수를² 하위 고조파라고 한다. 이 조건은 고조파 함수의 다른 속성은 실패할 수 있지만 최대 원리가 유지된다는 것을 보장한다. 보다 일반적으로, 함수는 그 영역 내에 있는 공의 내부에, 그 그래프가 공의 경계 값을 보간하는 고조파 함수의 그래프 아래에 있는 경우에만 하위 고조파다.

조화형식

조화함수 연구의 한 가지 일반화는 리만 다지관의 조화형태에 대한 연구로, 코호몰로지 연구와 관련이 있다. 또한 일반화된 디리클레 에너지 기능의 임계점인 두 리만 다지관의 고조파 벡터 값 함수 또는 고조파 맵을 정의할 수 있다(이것은 특수한 경우로서 고조파 함수를 포함하며, 디리클레 원리로 알려진 결과를 포함한다). 이런 종류의 조화 지도는 최소 표면 이론에 나타난다. 예를 들어, R의 간격에서 리만 다지관까지의 곡선(curve), 즉 지오데틱인 경우에만 고조파 맵이다.

다지관 사이의 조화 지도

M과 N이 두 개의 리만 다지관이라면 고조파 지도 u : M → N은 디리클레 에너지의 임계점으로 정의된다.

${\displaystyle D[u]={\frac {1}{1}:{2}}\int _{M}\du\^{2}\,d\operatorname {Vol}}}}$

여기서 : TM → TN은 u의 차등이며, 표준은 M의 미터법과 T*M의 텐서 제품 묶음 T⁻¹*M m U TN의 미터법으로 유도된다.

다지관들 사이의 조화 지도의 중요한 특별한 경우는 최소 표면을 포함하고 있는데, 이것은 정확히 3차원 유클리드 공간에 대한 표면의 조화로운 몰입이다. 더 일반적으로, 최소 서브매니폴드는 다른 다지관의 조화로운 몰입이다. 조화 좌표는 다지관에서 같은 차원의 유클리드 공간의 열린 부분 집합까지의 조화 차이점이다.

참고 항목

메모들

참조

• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil (12 January 2001), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7.
• Han, Q.; Lin, F. (2000), Elliptic Partial Differential Equations, American Mathematical Society.
• Jost, Jürgen (2005), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (4th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-25907-7.
• Axler, Sheldon; Bourdon, Paul; Ramey, Wade (2001). Harmonic function theory. Vol. 137 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-8137-3. ISBN 0-387-95218-7..

외부 링크

• "Harmonic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Harmonic Function". MathWorld.
• S에 의한 조화 함수 이론액슬러, 폴 부르던, 웨이드 레이미