상승 코사인 필터

상승 코사인 필터는 ISI(Intermbol intermbol interference, ISI)를 최소화하는 능력 때문에 디지털 변조에서 펄스 형성에 자주 사용되는 필터다. $그것$의 이름은 가장 단순한 형태의 주파수 스펙트럼(${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle$ $\beta =1}$)이 0이 아닌 부분이 $cosine{\displaystyle }$ 함수라는 사실에서 유래했다$.$

수학적 설명

상승 코사인 필터는 저역-통과 나이키스트 필터, 즉 전정 대칭의 속성을 가진 필터를 구현한 것이다. 즉, 스펙트럼은 약 1 $2{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{T}{}}$ ${\$}에 대해 홀수 대칭을 나타낸다.$T$ 여기서 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은(는) 통신 시스템의 기호 기간이다.

주파수 영역 설명은 다음과 같이 조각으로 정의된 함수다.

${\displaystyle H(f)={\begin{case}1,&f \leq {\frac {1-\beta }{2}T}\\\\frac {1}{1}:{2}}: 왼쪽[1+\cos \왼쪽({\frac {\pi T}{\beta }}}}\왼쪽[f -\frac {1-\beta }}{2}T}}\오른쪽]\오른쪽),&#{\frac {1-\beta }{2T}< f \leq {\frac {1+\beta }{2T}\\\0,&#{\text}\otherwise}\end{case}}$

또는 havercosines의 관점에서:

${\displaystyle H(f)={\begin{case}1,&f \leq {\frac {1-\beta }{2}T}\\\operatorname {hvc} \좌({\frac {\pi T}{\beta }}) \좌(f -{\fract {1-\beta }{2).T}}\오른쪽]\오른쪽)&#{\frac {1-\beta }{2T}< f \leq {\frac {1+\beta }{2T}\\\0,&#{\text}\otherwise}\end{case}}$

을 위해

${\displaystyle 0\leq \cHB \leq 1}$

그리고$\beta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \beta$ $\},$ 롤오프 계수 및 $기호{\displaystyle }$ 속도의 역수인$$T ${\displaystyle T}$의 두 값으로 특징지어진다.

그러한 필터의^[1] 임펄스 응답은 다음과 같이 한다.

${\displaystyle h(t)={\fract{\pi}{4}{\fract}{\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }\오른쪽),&t=\pm {\frac {T}{2\beta}\\\\\frac {1}{1}{\frac {1}{1}{}}}}}{\fl}}}{{}}}}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\오른쪽){\frac {\cos \frac({\frac {\pi \beta t}{T}}}{1-\왼쪽({\frac {2\beta t}{T}}\오른쪽)^{2}}},&{\text{otherwise}\end{case}}}$

정상화된 sinc 함수의 측면에서 여기서, 이것은 수학적 것이 아닌$$ "커뮤니케이션 sinc" ${\displaystyle \mathrm{sinc}}$ ${\displaystyle (\pi }$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$/ (${\displaystyle )}$ ${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle \sin(\pi x)/(\pi$ x$)}$이다.

롤오프 계수

롤오프 계수 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta$ $\}$은 필터의 초과 대역폭, 즉 Nyquist 대역폭 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{2T}}{}}${\$displaystyle${\$frac${1$}{2$}을 초과하는 점유 대역폭의 측정값이다.$T$ 일부 $저자$는 α${\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha$ =\$beta }$을(를) 사용한다$.$^[2]

초과 대역폭을 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta f}$로 나타내는 경우$,$ 다음 작업을 수행하십시오.

${\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\\refac {1}{2}T}\오른쪽)}}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\\Delta f}$

여기서 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{T}{}}$ ${\$$T}}}$이(가) 기호율이다.

그래프는 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 0과 1 사이에 변화하고, 해당 효과가 임펄스 반응에 미치는 영향을 보여 준다. 보시다시피 시간 영역 리플 수준은 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 감소함에$$ 따라 증가한다. 이는 필터의 초과 대역폭이 감소할 수 있지만, 긴 임펄스 응답을 희생해야 함을 보여준다.

β = 0

$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 0에 가까워지면$$, 롤오프 구역이 무한대로 좁아지기 때문에, 다음과 같다.

${\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect}(fT)}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{직장}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle \operatorname {rect}(\cdot )$은 직사각형 함수이므로, 임펄스 ${\displaystyle \mathrm{응답}}$은 $h{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{T}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{sinc}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{T}{}}$) ${\$ h$(t)={\frac {1}{}{}$$T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{$$T}}\오른쪽$그러므로 이 경우 이상적인 필터나 벽돌벽 필터로 수렴한다.

β = 1

$\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta =$1}인$$경우 스펙트럼의 0이 아닌 부분은 순수하게 상승된 코사인 것으로서 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle H(f) _{\begin{matrix}{\frac {1}{1}{1}{{\frac{1}{1}}}}{\frac[1}}}}\pi fT\right}\cos \leq {1}{1}}}}{\frac {1}{{{{\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\fracT}\\\0,&gt;{\text{otherwise}\end{matrix}\오른쪽.}$

또는

${\displaystyle H(f) _{\beta =1}=\left\{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&f \leq {\frac {1}{}T}\\\0,&gt;{\text{otherwise}\end{matrix}\오른쪽.}$

대역폭

상승된 코사인 필터의 대역폭은 스펙트럼에서 0이 아닌 주파수 양성 부분의 너비로 가장 일반적으로 정의된다.

${\displaystyle BW={\frac {R_{S}{2}}(\베타 +1),\quad(0<\베타 <1))}$

자동상관함수

상승 코사인 함수의 자동 상관 기능은 다음과 같다.

$(\displaystyle R\left(\tau \오른쪽)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}$

자동상관 결과는 자동상관 분석 시 다양한 샘플링 오프셋 결과를 분석하는 데 사용할 수 있다.

적용

기호 스트림을 필터링하는 데 사용할 때 Nyquist 필터는 충격 응답이 ${\displaystyle \mathrm{n}}$= 0 ${\displaystyle nT$$}($여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 정수)를 제외한 모든 n {\displaystyle n$=0$}에서 0이므로 ISI를 제거하는 속성을 갖는다$.$

따라서 전송된 파형이 수신기에서 올바르게 샘플링되면 원래의 기호 값을 완전히 복구할 수 있다.

그러나 많은 실제 통신 시스템에서는 백색 노이즈의 영향으로 수신기에 일치하는 필터가 사용된다. 0 ISI의 경우, $H{\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle H(f)}$과 같아야 하는 송신 및 수신 필터의 순 응답이다$.$

${\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)}$

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle H_{R}(f) = H_{T}(f) ={\sqrt{H(f)}}}}$

이러한 필터는 뿌리 배양 코사인 필터라고 불린다.

상승 코사인은 섬유 Bragg greating에 흔히 사용되는 아포다이징 필터다.

참조

• 글로버, 아이.; 그랜트, P. (2004) 디지털 통신(2차 개정) Pearson Education Ltd. ISBN0-13-089399-4.
• 프로아키스, J. (1995년). 디지털 통신(3차 개정) 맥그로힐 주식회사 ISBN 0-07-113814-5.
• Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) "비동기 대역 제한 DS/SSMA 시스템의 성능"에 대한 논평. IEICE Transfer. 코뮌, 제9권 E81-B

외부 링크

• Ken Gentile이 작성한 RF Design에 원래 게재된 "디지털, 펄스 쉐이핑 필터의 관리 및 공급"이라는 제목의 기술 기사.