직사각형 함수

직사각형 함수(사각형 함수, 직선 함수, Pi 함수, 게이트 함수, 단위 펄스 또는 정규화된 박스카 함수라고도 함)는 다음과 같이 정의됩니다^[1].

\operatorname {rect}(t)=\Pi(t)=\left\{\flac{array}{array}0,&{\text{f}}} t>{\frac {1}{2}},&{\text}\frac {1}{2}},\text},{{text}.\end { array } } \ right 。

함수의 다른 정의에서는 rect ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$ θ ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$ ( ± ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$ 2 ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$ )(\ $textstyle$ \ $operatorname {rect}$ \ $left(\pm {frac {1}{2}}\right))$ 를 ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$ 0,^[2] ^[3]^[4]1 또는 정의되지 않음으로 ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$ 합니다.단, 이 중간점 속성은 여기서 정의한 바와 같이 필요합니다(예: 참조).의 정리 2, 페이지 241은 푸리에 변환 이론과 일치해야 하며, 그렇지 않으면 직류 함수는 sync 함수의 푸리에 변환이 아닙니다.

역사

Woodward는^[6] 이상적인 보간 연산자로서의 sync^[8]^[9] 함수 및 샘플링(콤 연산자)과 복제(rep 연산자)인 카운터 연산자와 함께 이상적인 컷아웃 연산자로 에 도입했습니다.

박스카 기능과의 관계

직사각형 함수는 보다 일반적인 박스카 함수의 특수한 경우입니다.

\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-X}){Y}\right)=u(t-(X-Y/2)-u(t-(X+Y/2)=u(t-X+Y/2)-u(t-X-Y/2)}

$u$ 서u(\ $displaystyle$ u)는 $u$ 헤비사이드 함수입니다. 이 함수는 $X-Y/2$ (\ $displaystyle$ X $)$ 를 $X$ $X$ 으로 하며 $지속$ 시간은 $X-Y/2$ Y(\ $displaystyle$ Y $/$ 에서 $X-Y/2$ X $Y/$ 2(\ $displaystyle X-Y/$ 2)까지입니다 $.$ $}$

직사각형 함수의 푸리에 변환

스펙트럼 주파수 성분과 함께

\mathrm {sinc} (x)

된

\mathrm {sinc} (x)

n

\mathrm {sinc} (x)

c (

\mathrm {sinc} (x)

) \

displaystyle \mathrm {sinc}

(

x)

함수

\mathrm {sinc} (x)

(

\mathrm {sinc} (\pi x)

,

\mathrm {sinc} (\pi x)

\mathrm {sinc} (\pi x)

c (

\mathrm {sinc} (\pi x)

x

)

\

displaystyle \mathrm {sinc}(\pi

x

\mathrm {sinc} (\pi x)

의 플롯.

직사각형 함수의^[1] 유니터리 푸리에 변환은 다음과 같습니다.

{\displaystyle \int _{-\infty}^{\infty}\mathrm {rect}(t)\cdot e^{-i2\pi ft},dt=mathrm {\pi f},

일반

주파수

f를 사용하여

{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty}^{\infty }\mathrm {rect}(t)\cdot e^{-i\ope t},dt=frac {1}{\pi }}\cd frac {\frac {\frac {\sin } \ope} \ope right } {\in } \ } \ } \ int int } \ int {-right } } } } int {

각 주파수

\omega

(\

displaystyle

\obega

를 사용합니다.

\mathrm {sinc}

서

\mathrm {sinc}

c \displaystyle \

mathrm

{

sync}

는

\mathrm{sinc}

sinc 함수의 정규화되지 않은 형식입니다.

펄스 함수의 정의가 시간 영역 경험에서의 동작에 의해서만 동기 부여되는 한, 진동 해석(즉, 푸리에 변환 함수)이 직관적이거나 인간이 직접 이해해야 한다고 믿을 이유가 없다는 점에 유의하십시오.그러나 시간 영역의 미세도는 무한 주파수 응답에 해당하므로 이론적 결과의 일부 측면은 직관적으로 이해될 수 있습니다.(반대로 유한 푸리에 변환은 무한 시간 영역 응답에 해당합니다.)

삼각함수와의 관계

삼각형 함수를 두 개의 직사각형 함수의 제곱으로 정의할 수 있습니다.

\mathrm {tri} =\mathrm {rect} *\mathrm {rect} .,

확률로 사용

직사각형 함수를 확률 밀도 함수로 볼 때, $a=-1/2,b=1/2.$ $a=-1/2,b=1/2.$ - $a=-1/2,b=1/2.$ 1 / $a=-1/2,b=1/2.$ , b $a=-1/2,b=1/2.$ / $a=-1/2,b=1/2.$ 2의 $a=-1/2,b=1/2.$ 균일한 분포의 특수한 경우입니다 $.$ {{ $display$ a $= 1$ / $2$ , b $= 1$ / 2 $}$ $a=-1/2,b=1/2.$ 특징적인 기능은

\varphi (k) = flac {sin (k/2)} {k/2}

모멘트를 생성하는 함수는

M(k)=synh(k/2)}{k/2}

$\sinh(t)$ 서 sinh $\sinh(t)$ ( $\sinh(t)$ ) { $displaystyle \sinh(t)}$ 는 $\sinh(t)$ 쌍곡선 사인 함수입니다.

합리적 근사

펄스 함수는 합리적인 함수의 한계로 표현될 수도 있습니다.

\displaystyle \Pi(t)=\lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(}Z)}{\frac {1}{(2t)^2n}+1}}

유효성의 증명

먼저 t ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ < ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ . ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ 2 ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ . { $textstyle$ t < { \ $frac {$ 1} {2} $}$ 의 ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ 를 검토합니다.} ( ${\textstyle (2t)^{2n}}$ t ) ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ( 2 $t$ ) $2$ n ( 2 t )^ $2$ n ${\textstyle (2t)^{2n}}$ }은 정수n ( \ $displaystyle$ n $n.$ . )의 ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ $경우$ 항상 $2t<1$ 입니다. 단 $2t<1$ $2t<1$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ < 1 ( \ $displaystyle 2 t$ < 1 $2t<1$ ) ${\textstyle (2t)^{2n}}$ $、$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ t $style$ ( 2 t $)^2$ n }은 $2t<1$ n .{ $displaystyle$ n }의 경우 0에 가깝습니다 $.$

다음과 같습니다.

\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty , n\in \mathbb {(}Z)}{\frac {1}{(2t)^2n}+1}=1, t <\frac {1}{{\frac {1}{2}}

다음으로 t ${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$ > ${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$ . ${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$ 2 . ${\frac {1}{2}$ 의 ${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$ 를 검토합니다.} ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ( ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ) 2 ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ( 2 $t$ ) ${\textstyle (2t)^{2n}}$ n ( 2 t )^ $2$ n 은 항상 정수n 에 $n.$ $대해$ 양의 값입니다. $2t>1$ 2 $2t>1$ $>$ 1 ( \ $displaystyle$ 2 t $>$ 1 ${\textstyle (2t)^{2n}}$ 2 $2t>1$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ) ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ( 2 $t$ )^ $2$ n 은 큰 n $.\$ $display$ $style$ n } 에서 $매우$ 커집니다 $.$

다음과 같습니다.

\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty , n\in \mathbb {(}Z)}{\frac {1}{(2t)^2n}+1}=0, t > {\frac {1}{{1}{{{1}}}

셋째, t ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$ ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$ . 2 ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$ . ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$ { $textstyle$ t = $param$ frac ${1}{$ }인 ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$ 를 고려합니다.} 이 ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$ 방정식을 간단히 대체할 수 있습니다 $.$

{{displaystyle \lim \rightarrow \infty , n\in \mathbb { ( } Z ) } {\frac {1} {(2t)^2n} +1} = \lim _{n\rightarrow \infty , n\in \mathbb { ( } Z) } {\frightarrow {1} {{{n} + 1 } fright} {{{{{{{{n} + n } } } } {{{{{{{{{ n} } }

펄스 함수의 정의를 만족시키는 것을 알 수 있습니다.그러므로,

\mathrm {rect}(t)=\Pi(t)=\lim _{n\rightarrow \infty,n\in \mathbb {(}Z)}{\frac {1}{{{cases}+1}=parces}0&{\f}{\f}{\frac}{\f}{\frac}{\frac}{{{{\frac}}}{\f}}}{\frac}}{\frac}}{\f}}}}\\\end{case}

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Rectangle Function". MathWorld.
^ Wang, Ruye (2012). Introduction to Orthogonal Transforms: With Applications in Data Processing and Analysis. Cambridge University Press. pp. 135–136. ISBN 9780521516884.
^ Tang, K. T. (2007). Mathematical Methods for Engineers and Scientists: Fourier analysis, partial differential equations and variational models. Springer. p. 85. ISBN 9783540446958.
^ Kumar, A. Anand (2011). Signals and Systems. PHI Learning Pvt. Ltd. pp. 258–260. ISBN 9788120343108.
^ Kaplan, Wilfred (1962). Operational Methods for Linear Systems. Addison-Wesley Pub. Co.
^ Klauder, John R (1960). "The Theory and Design of Chirp Radars". Bell System Technical Journal. 39 (4): 745–808. doi:10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x.
^ Woodward, Philipp M (1953). Probability and Information Theory, with Applications to Radar. Pergamon Press. p. 29.
^ Higgins, John Rowland (1996). Sampling Theory in Fourier and Signal Analysis: Foundations. Oxford University Press Inc. p. 4. ISBN 0198596995.
^ Zayed, Ahmed I (1996). Handbook of Function and Generalized Function Transformations. CRC Press. p. 507. ISBN 9780849380761.

[wolfram-1] Weisstein, Eric W. "Rectangle Function". MathWorld.

[2] Wang, Ruye (2012). Introduction to Orthogonal Transforms: With Applications in Data Processing and Analysis. Cambridge University Press. pp. 135–136. ISBN 9780521516884.

[3] Tang, K. T. (2007). Mathematical Methods for Engineers and Scientists: Fourier analysis, partial differential equations and variational models. Springer. p. 85. ISBN 9783540446958.

[4] Kumar, A. Anand (2011). Signals and Systems. PHI Learning Pvt. Ltd. pp. 258–260. ISBN 9788120343108.

[5] Kaplan, Wilfred (1962). Operational Methods for Linear Systems. Addison-Wesley Pub. Co.

[6] Klauder, John R (1960). "The Theory and Design of Chirp Radars". Bell System Technical Journal. 39 (4): 745–808. doi:10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x.

[7] Woodward, Philipp M (1953). Probability and Information Theory, with Applications to Radar. Pergamon Press. p. 29.

[8] Higgins, John Rowland (1996). Sampling Theory in Fourier and Signal Analysis: Foundations. Oxford University Press Inc. p. 4. ISBN 0198596995.

[9] Zayed, Ahmed I (1996). Handbook of Function and Generalized Function Transformations. CRC Press. p. 507. ISBN 9780849380761.

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