랜덤 그룹

수학에서 랜덤 그룹은 확률론적 구조에 의해 얻은 특정 그룹이다.이들은 미샤 그로모프로부터 "일반적인 집단은 어떤 모습인가?"와 같은 질문에 답하기 위해 소개되었다.

일단 정확한 정의가 주어지면, 랜덤 그룹은 매우 높은 확률로 일부 속성을 만족시키는 반면, 다른 속성들은 매우 높은 확률로 실패한다.예를 들어, 거의 무작위 그룹은 쌍곡선 그룹일 것이다.이런 의미에서 '대부분의 집단은 쌍곡선'이라고 말할 수 있다.

정의

무작위 그룹의 정의는 가능한 그룹의 집합에 대한 확률론적 모델에 따라 달라진다.다양한 확률론적 모델은 무작위 그룹에 대해 서로 다른 개념(그러나 관련)을 산출한다.

모든 그룹은 발전기와 관계를 포함하는 그룹 프리젠테이션에 의해 정의될 수 있다.For instance, the Abelian group ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ has a presentation with two generators ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$, and the relation ${\displaystyle ab=ba}$, or equivalently ${\displaystyle aba^{-1}b^{-1}=1}$.The main idea of random groups is to start with a fixed number of group generators ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{m}}$, and imposing relations of the form ${\displaystyle r_{1}=1,\,r_{2}=1,\,\ldots ,\,r_{k}=1}$ where each ${\dis$$playstyle r_{j}}$는 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 포함하는 임의의 단어로, ${\displaystyle i_{}^{}}$- 1 ${\$ 무작위 그룹의 모델을 지정하는 $것$은 m$${\$displaystym m$$${\$displaystystysty k}$ 및 $r$ $j{\displaystyle {}_{}}$ ${\$} ${\displaystyle {랜덤}_{}}$ 관계 r {\disk}을 정확하게 지정하는 것이다.$스타일 r_{j}}$이 선택된다.

$무작위{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {관계}_{}}$r k {\$displaystyle$r_{$k}$를 선택한$$ 후 그룹 프레젠테이션의 표준 $방법$으로 결과$$랜덤 $그룹$ G {\$displaystyle$ G$}$을(를) 정의한다$$. 즉, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은 ${\displaystyle {생성자}_{}}$가 1,${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$,${\displaystyle a}$인 $F$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$의 몫이다.${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{m}}$, by the normal subgroup ${\displaystyle R\subset F_{m}}$ generated by the relations ${\displaystyle r_{1}\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}}$ seen as elements of ${\displaystyle F_{m}}$:

${\displaystyle G=F_{m}/\langle r_{1},\,r_{2},\dots,\,r_{k}\angle .}$

랜덤 그룹의 소수 관계 모형

무작위 그룹의 가장 단순한 모델은 소수 관계자의 모델이다.이 모델에서는 ${\displaystyle \mathrm{다수}}$의 발전기 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle m\geq$ 2$}$ 및$$ 다수의 관계 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\geq 1}$이(가) 고정되어 있다$$.일반적으로 매우 크게 사용되는 추가 매개 변수 $parameter{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }($관계 길이)를 수정하십시오.

그런 다음, 모델은 $관계{\displaystyle {}_{}}$ r 1 ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle ...}$ , r ${\displaystyle k_{}}$ ${\$를 임의로$$, 균일하게, 독립적으로 선택하는 것으로 구성된다. ${\displaystyle {most}_{}}$ ${\$ 그리고$$$$ 형식 invers.${\displaystyle a_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$

이 모델은 특히 관계 길이 $\ell {\displaystyle }$${\$$displaystyle \ell }$이(가) 무한대 경향이$$ 있을 때 흥미롭다: $1{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle$ 1$}$이(가) $\ell {\displaystyle }$→ $∞$ →$display$ {\displaystyle $\ell$\to \$infty$}으로$$ 변환되는 확률에서 이 모델의$$ 랜덤 그룹은 쌍곡성이며 다른 좋은 특성을 만족한다.

추가 발언

무작위 그룹의 보다 정교한 모델이 정의되었다.

예를 들어 밀도 모델에서 관계의 수는 관계의 길이에 따라 증가하도록 허용된다.그 다음 급격한 "위상 전이" 현상이 있는데, 관계 수가 어떤 임계값보다 크면 임의 집단이 "충돌"하는 것이다(관계 때문에 어떤 단어가 다른 단어와 동등하다는 것을 보여줄 수 있기 때문이다). 반면에 그 한계치 이하에서는 결과 랜덤 집단이 무한하고 쌍곡적인 것이다.

무작위 그룹의 구성도 특정 특성을 가진 그룹을 형성하기 위해 특정 방법으로 꼬일 수 있다.예를 들어 그로모프는 바움-콘스 추측의 연장에 반증하는 새로운 집단을 만들기 위해 이 기법을 사용했다.

참조

• 미하일 그로모프.쌍곡선 그룹.집단 이론의 에세이 75–263, 수학.Sci. Res.1987년 뉴욕 스프링거 8번지 인스트 퍼블리셔
• 미하일 그로모프.무작위로 무리지어 걷는다"고 말했다.검. 펑트. 논어, 제13권(2003), 73–146.