랭크 인투 랭크

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수학의 한 분야인 세트 이론에서, 랭크 인 랭크 임베딩은 일관성 강도를 증가시키기 위해 주어진 다음의 네 가지 공리 중 하나에 의해 정의되는 큰 기본 속성이다. (등급 < λ의 집합은 폰 노이만 계급의 집합 V의_λ 요소 중 하나이다.)

• Axiom I3: 그 자체에 V가_λ 들어 있는 것은 비종교적인 초등적 내장형이다.
• Axiom I2: V를_λ 포함하는 Transitive Class M에 V를 포함시키는 비경쟁적 초등 임베딩이 있으며, 여기서 λ은 임계점 위의 첫 번째 고정점이다.
• Axiom I1: 그 자체에 V가_λ+1 들어 있는 것은 비종교적인 초등적 내장형이다.
• Axiom I0: L(V_λ+1)이 그 자체로 내재되어 있고, λ 이하의 임계점이 있다.

이것들은 본질적으로 ZFC에서 일관성이 없는 것으로 알려져 있지 않은 가장 강하게 알려진 큰 추기경 공리들이다; 라인하르트 추기경들에 대한 공리는 더 강하지만 선택의 공리와 일치하지 않는다.

만약 j가 이러한 공리들 중 하나에서 언급된 초등 임베딩이고 κ이 그 임계점이라면, λ은 n Ω으로 가는$$ j ${\displaystyle n^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\kappa }$) ${\displaystyle$ j$^{n}(\kappa )}$의 한계점이다.보다 일반적으로 선택의 공리가 유지된다면, V를_α 그 자체에 내장하는 비종교적 기초가 있다면 α는 공완성 Ω의 한계 서수이거나 그러한 서수의 후속이라는 것을 증명할 수 있다.

공리 I0, I1, I2, I3는 라인하르트 추기경들이 선택의 공리와 일치하지 않는다는 쿠넨의 모순된 정리가 자신들에게까지 확대될 수 있다고 생각했기 때문에 처음에는 (ZFC에서) 일관성이 없다고 의심받았으나, 아직 이런 일이 일어나지 않았고, 현재는 대체로 일관성이 있다고 믿어지고 있다.

모든 I0 추기경 κ(여기서 j의 임계점을 말하고 있다)은 I1 추기경이다.

모든 I1 추기경(때로는 Ω-houge 추기경)은 I2 추기경이며 그 아래에는 고정된 I2 추기경 세트가 있다.

모든 I2 추기경 κ은 I3 추기경이며 그 아래에는 고정된 I3 추기경 세트가 있다.

모든 I3 추기경 κ에는 그 위에 또 다른 I3 추기경이 있고 n<Ω마다 n-hige 추기경이 있다.

Axiom I1은 V_λ+1(동일하게, H(λ⁺))가 V=HOD를 만족시키지 못한다는 것을 암시한다.λ과 S <λ>의 S 코파이널과 V에서_λ+1 정의 가능한 세트 S⊂은 없다(변수 V와_λ 서수 <λ⁺>에서도), 즉 λ이 단수라는 S의 증인은 없다.그리고 유사하게 Axiom I0 및 L(V_λ+1)의 순서 정의 가능성의 경우_λ(V의 매개변수에서도 가능).그러나 세계적으로, 그리고 V에서도_λ ^[1]V=HOD는 Axiom I1과 비교적 일치한다.

I0는 때때로 "이카루스 세트"를 추가함으로써 더욱 강화되는 것을 주목한다.

• Axiom Icarus 세트:λ 이하의 임계점과 함께 L(V_λ+1, Icarus)을 그 자체로 내장하는 비종교적 초등부가 있다.

Icarus 세트는 V_λ+2 - L(V_λ+1)에 있어야 하지만 불일치가 발생하지 않도록 선택되어야 한다.그래서 예를 들어, V의_λ+1 순서가 잘 되어 있는 것을 인코딩할 수 없다.자세한 내용은 Dimonte의 섹션 10을 참조하십시오.

메모들

참조

• Dimonte, Vincenzo (2017), "I0 and rank-into-rank axioms", arXiv:1707.02613 [math.LO].
• Gaifman, Haim (1974), "Elementary embeddings of models of set-theory and certain subtheories", Axiomatic set theory, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, Part II, Providence R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 33–101, MR 0376347
• Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
• Laver, Richard (1997), "Implications between strong large cardinal axioms", Ann. Pure Appl. Logic, 90 (1–3): 79–90, doi:10.1016/S0168-0072(97)00031-6, MR 1489305.
• Solovay, Robert M.; Reinhardt, William N.; Kanamori, Akihiro (1978), "Strong axioms of infinity and elementary embeddings", Annals of Mathematical Logic, 13 (1): 73–116, doi:10.1016/0003-4843(78)90031-1.