서수 한계

최대 Ω의^ω 서수 번호 표시. 나선형의 각 회전은 Ω의 1개의 힘을 나타낸다. 한계 서수란 0이 아니고 Ω 또는² Ω과 같이 전신이 없는 것을 말한다.

집합 이론에서 한계 서수는 0도, 후속 서수도 아닌 서수 번호다. 또는 λ보다 작은 서수가 있는 경우 서수 λ은 한계 서수이며, β가 λ보다 작은 서수일 때마다, β < < < γ < λ. 모든 서수 번호는 0이거나, 후속 서수이거나, 한계 서수일 때 존재한다.

예를 들어, Ω, 모든 자연수보다 큰 가장 작은 서수는 한계 서수(즉, 모든 자연수) n에 대해 우리는 그것보다 더 큰 다른 자연수(예: n+1)를 찾을 수 있지만 여전히 Ω보다 작기 때문이다.

폰 노이만(Von Neumannan)의 서수 정의를 사용하여, 모든 서수들은 모든 작은 서수들의 잘 정렬된 집합이다. 최대 요소가 없는 비어 있지 않은 서수의 조합은 항상 한계 서수가 된다. 폰 노이만 추기경 배정을 사용하면 모든 무한 추기경 숫자 또한 한계 서수형이다.

대체 정의

한계 서수를 정의하는 다양한 다른 방법은 다음과 같다.

그것은 그 아래의 모든 서수들의 우수와 같으나 0은 아니다. (후계 서수들과 비교했을 때, 그 아래의 서수들의 집합은 최대치를 가지기 때문에, 이 최대치, 이전의 서수)
0이 아니고 최대 원소가 없다.
α > 0에 대해서는 Ωα 형태로 표기할 수 있다. 즉, 칸토어 정규 형태에서는 마지막 기간과 같이 유한한 수가 없으며, 서수형은 0이 아니다.
순서 위상에 관한 순서형 번호 클래스의 한계점이다. (다른 서수들은 고립된 점들이다.)

0을 한계 서수로 분류해야 하는지에 대한 일부 논쟁은 존재한다. 교과서는 한계 서수 등급에^[1] 0을 포함하지만 다른 교과서는 이를 제외한다.^[2]

예

서수수의 등급은 순서가 잘 되어 있기 때문에 Ω(오메가)으로 표기된 최소 무한 한계 서수가 있다. 서수 Ω은 자연수의 최소 상한이기 때문에 가장 작은 무한 서수(한계)이기도 하다. 따라서 Ω은 자연수의 순서 유형을 나타낸다. 첫 번째 한계보다 높은 다음 한계 서수는 Ω + Ω = Ω/2이며, 이는 자연수 n에 대해 Ω/n으로 일반화된다. 모든 Ω·n의 조합(임의의 서수 집합에 대한 우월적 연산)을 취하면, 우리는 Ω·Ω² = Ω을 얻게 되는데, 이것은 어떤 자연수 n에 대해서도 Ω으로ⁿ 일반화된다. 이 과정은 다음과 같이 더 반복하여 다음과 같이 생산할 수 있다.

\omega ^{3},\dots,\dots,\dots,\domega ^{\omega },\dots,\epsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{~\cdot ^{~}}},\dots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

일반적으로, 이러한 모든 재귀적 정의는 곱하기, 지수, 반복 지수 등을 통해 한계 서수수를 산출한다. 지금까지 논의된 서수들은 모두 아직 계수가 가능한 서수들이다. 그러나 교회-클레인 서수보다 적은 모든 서수들의 이름을 체계적으로 세어 세어볼 수 있는 서수인 교회-클레인 서수(Church-Kleene 서수)는 셀 수 있는 서수(countable 서수이다.

셀 수 있는 범위를 넘어서면, 첫 번째 비할 수 없는 서수는 보통₁ Ω으로 표시된다. 그것은 또한 한계 서수형이다.

계속하면 다음과 같은 것을 얻을 수 있다(현재 모두 카디널리티가 증가하고 있다).

\omega _{2},\omega _{3},\dotes,\dotes,\omega _{\omega +1},\dotes, {\omega _{\omega },\dotes

일반적으로 우리는 최대 요소가 없는 비빈 서수의 조합을 취할 때 항상 한계 서수를 받는다.

Ω²α 형식의 서수(α > 0)는 한계 등의 한계다.

특성.

후계 서수 및 한계 서수(다양한 공동 결승)의 종류는 전체 서수 클래스를 0으로 배출하므로, 이러한 경우는 종종 트랜스파이널 유도 또는 트랜스파이널 재귀에 의한 정의에 의해 증명에 사용된다. 한계 서수란 그러한 절차에서 일종의 "전환점"을 나타내며, 이러한 절차에서 조합이 이전의 모든 서수들을 대체하는 것과 같은 제한 작업을 사용해야 한다. 원칙적으로 제한 서수대로라면 무엇이든 할 수 있지만 조합의 취지는 순서의 위상에서도 연속적이고 이는 대개 바람직한 일이다.

폰 노이만 추기경 배정을 사용한다면 모든 무한 추기경 숫자는 한계 서수(그리고 이것은 적절한 관측이다, 추기경이 힌지 또는 터닝포인트를 의미하는 라틴 카도에서 유래한다): 이 사실의 증거는 모든 무한 후계 서수들이 호텔 인을 통해 한계 서수들과 동일하다는 것을 단순히 보여주는 것으로 이루어진다.온건한 주장

추기경 숫자들은 그들만의 후계자 개념과 한계(모든 것이 한 단계 업그레이드됨)를 가지고 있다.

강제징용서류

가식적으로 외설적인.

한계 서수 α는 β < α 서수의 합이 α 미만인 경우 덧셈적으로 외설적이라고 한다. 이 숫자는 β에 대한 $\omega ^{\beta }$ $\omega ^{\beta }$ $\omega ^{\beta }$ ${\$ ^{\ $beta }}$ 형식의 임의의 순서형이다. 가장 작은 것은 $\gamma _{0}$ ${\$ 두 번째는 $\gamma _{1}$ $\gamma _{1}$ ${\$ } 등이다 $\gamma _{1}$ ^[3]

복합적으로 외설적일 수 있음

한계 서수 α는 β < α 서수의 산물로 표현할 수 없는 경우 곱셈적으로 외설적이라고 한다. 이 숫자는 β $\omega ^{\omega ^{\beta }}$ Ω $\omega ^{\omega ^{\beta }}$ Ω $\omega ^{\omega ^{\beta }}$ {\ $displaystyle \omega ^{\omega ^{\beta }}}$ 형식의 임의 순서형이다 $\omega ^{\omega ^{\beta }}$ . 가장 작은 것은 $\delta _{0}$ $\delta _{0}$ ${\$ 두 번째는 $\delta _{1}$ $\delta _{1}$ ${\$ } $\delta _{1}$ 등이다.^[3]

기하급수적으로 외설적이고 그 이상이다.

"exponsely expositionable"이란 용어는 β < α 서수의 지수적 산물(?)으로 표현할 수 없는 서수(?)를 가리키는 것이 아니라, 엡실론 수, 엡실론 수(tetital unexpositionable)는 제타 번호를 가리키며, "영리적으로 외설적인 서수"는 에타 숫자 등을 가리킨다.^[3]

참고 항목

참조

^ 예를 들어, 토마스 제흐, 세트 이론. 밀레니엄 3판. 스프링거.
^ 예를 들어, 케네스 쿠넨, 세트 이론. 독립성 증명에 대한 소개. 노스홀랜드.
^ ^a ^b ^c "Limit ordinal - Cantor's Attic". cantorsattic.info. Retrieved 2021-08-10.

추가 읽기

칸토르, G, (1897년), 베이트그라거 주르 베그룬둥 데르 트란스 피니텐 멘겐레르. II(tr.: Transfinite Number II 이론의 창설에 대한 기여), Mathetische Annalen 49, 207-246 영어 번역.
콘웨이, J. H. 그리고 가이 R. K. "캔터의 서수 번호" <숫자의 책>에서. 뉴욕: Springer-Verlag, 페이지 266–267 및 1996, 274.
시에르피에스키, W. (1965) 추기경 및 서수 번호(2차 개정) 와르자와:파우스트와우 와이다우닉토우 나우코우. 또한 칸토어 정상 형태 측면에서 순서형 연산을 정의한다.

[1] 예를 들어, 토마스 제흐, 세트 이론. 밀레니엄 3판. 스프링거.

[2] 예를 들어, 케네스 쿠넨, 세트 이론. 독립성 증명에 대한 소개. 노스홀랜드.

[:0-3] "Limit ordinal - Cantor's Attic". cantorsattic.info. Retrieved 2021-08-10.

[1]

[2]

[3]

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참고 항목

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