레일리-플레셋 방정식

유체역학에서, 레일리-플레셋 방정식 또는 베산트-레일리-플레셋 방정식은 압축할 수 없는 ^[1][2][3][4]유체의 무한 물체에서 구면 기포의 역학을 지배하는 일반적인 미분 방정식이다.그 일반적인 형식은 보통 다음과 같이 쓰여진다.

${\displaystyle R{\frac {d^{2}R}+{\frac {3}{dR}\right}^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}}+{\frac {dR}}\frac {frac}\frac {dR2}}$

어디에

${\displaystyle {}_{}}$∙$L$ \$displaystyle$ \$rho _$ { L$$$}$은 주변 액체의 농도를 일정하게 가정한 ${\displaystyle {값}_{}}$이다.

${\displaystyle R}$(${\displaystyle t}$) { $displaystyle$R ($t$ )는$$ 버블의 반지름입니다.

${\displaystyle {}_{}}$∙$L {\displaystyle \nu$ _${$L$$}}은 주변 액체의 운동학적 점도로 일정하다고 가정함

$§$ $(\displaystyle$\displaystyle$)$은 버블-스탠딩 계면의 ${\displaystyle \mathrm{표면장력}}$입니다.

$displaystyle$$$$P_{\$$infty$$}(t)-P_$${$$B}(t)}.$ 여기서 ${\displaystyle P_{}}$ B${\displaystyle {}_{}}$ $)$는 버블 내의 압력으로 균일하다고 $가정$하고 P${\displaystyle {}_{}}$δ( $)$는 버블에서 무한히 먼 외부 압력이다.

${\displaystyle P_{}}$ B${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$) { $display style$ P _ { $B$（ $t$${\displaystyle }$） ${\displaystyle {}_{}}$ ( $t$ ) { $display style$ P _ { \ $infty$} ($t$ )이 주어져 있는 경우, Rayleigh-Plesset 방정식을 사용하여 시변 버블 $반지름{\displaystyle }$R ( $t$를 풀 수 있습니다.

레일리-플레셋 방정식은 Navier에서 파생됩니다.-구면 ^[4]대칭을 가정한 방정식을 강조합니다.

역사

표면 장력과 점도를 무시한 채, 방정식은 1859년 그의 책에서 W. H. 베산트에 의해 처음 도출되었습니다. 어떠한 힘도 작용하지 않는 균질 비압축성 유체의 무한 질량은 정지되어 있지 않으며 유체의 구형 부분은 갑자기 소멸됩니다; pr의 순간적인 변화를 찾는 것이 필요합니다.질량의 어떤 지점에서든, 그리고 충치가 채워지는 시간에, 무한 거리에서의 압력은 일정하게 유지되어야 한다(사실, 베산트는 이 문제를 ^[5]1847년의 캠브리지 상·하원 문제에 기인한다).버블 내부의 압력 변동을 무시한 채, Besant는 캐비티를 채우는 데 필요한 시간을 예측했습니다.

${\displaystyle {displaystyle} t&=frac {6\rho} {p_{\infty } {1/2}\int _{0} {\frac {z^{4},dz} {\frcrcrt {1-z^{6}}}}\&a\frcrcrcrcrpi {6}\f} {\frcrcrc} {\rcrc} {6} {p} {\rc}$

1917년 에너지 균형에서 방정식을 도출한 레일리 경에 의해 통합이 수행되었다.Rayleigh는 또한 반경이 감소함에 따라 캐비티 내부의 일정한 압력에 대한 가정이 잘못된다는 것을 깨달았으며, 그는 보일의 법칙을 사용하여 캐비티 반경이 ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ 1/$({$ 4$^{1/$3$\}\})$의 계수만큼 감소하면 캐비티 경계 근처의 압력이 주변 압력보다 커짐을 보여줍니다.이 방정식은 Milton S에 의해 이동 캐비테이션 기포에 처음 적용되었다. 표면 ^[6]장력의 영향을 포함하여 1949년에 플리셋.

파생

레일리-플레셋 방정식은 버블 반경을 동적 매개변수로 ^[3]사용하는 첫 번째 원리에서 전적으로 도출할 수 있다.시간 의존 $반지름{\displaystyle }$R ( ${\displaystyle t}$) \ $displaystyle$R ($t$$$)$$。$여기$서 t\$displaystyle$t는$$ 시간입니다.버블에 균일한 $온도{\displaystyle {}_{}}$ $t)$ {${\displaystyle {style}_{}}$ T_${B}(t)}$와 $압력{\displaystyle {}_{}}$ P$)$ {\$displaystyle P_{B}(t$의 균일한 분포의 증기/가스가 포함되어 있다고 가정합니다. 버블 외부에는 일정한 밀도 $δ$L {style \$rho_},$ 동적 $점도{\displaystyle {}_{}}$ μ}의$$ 액체가 무한히 분포되어 있습니다.${\displaystyle L_{}}${\$displaystyle \mu$ _${L$ 버블에서 멀리 떨어진 온도와 $압력$을 T ${\$ {\$displaystyle T_{\infty$}}, $P$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle t}$) { $displaystyle P_{\infty$}($t$로 합니다.$온도{\displaystyle {}_{}}$ T ${\$ { \ $display style$ T _ { \ $infty$}}는$$ 일정하다고 가정합니다.버블 중심에서 반경 $거리{\displaystyle }$ r$\displaystyle$ r$\displaystyle$ p$(r,$$t$$)\},$ $온도{\displaystyle }$$(r$$)$ 및 반경 외향 $속도{\displaystyle }$u($r,$ ${\displaystyle t})$의 다양한 액체 특성은 정의된 액체뿐입니다.$r{\displaystyle r}$R ( ${\displaystyle t}$) \ $displaystyle$r \ $geq$R ($t$ )$$。

질량 보존

질량을 보존함으로써, 역제곱 법칙은 반지름 $방향{\displaystyle }$외향 ${\displaystyle \mathrm{속도}}$u${\displaystyle (}$r, $)({displaystyle$u($r, t)}$가 원점(거품의 ^[6]중심)으로부터의 거리의 제곱에 반비례해야 한다고 요구한다.따라서 F$)$ {$style$ F$(t)}$을(를) 시간의 함수로 $삼는{\displaystyle }$ 것은

${\displaystyle u(r,t)=sublicfrac {F(t)}{r^{2}}}}$

버블 표면을 가로지르는 제로 질량 수송의 경우, 계면에서의 속도는 다음과 같아야 한다.

${\displaystyle u(R,t)=black {dR}{dt}=black {F(t)}{R^{2}}}$

그렇다는 것을 알 수 있는 것은

${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$

질량 수송이 발생하는 경우, 거품 내부의 질량 증가 속도는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {dm_{V}}=\rho _{V}{\frac {dV}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3}}{dt}=4\pi \rho _V}R^{2}{dAC}{d}$

$(\displaystyle$ V$)$가 버블의 부피입니다.${\displaystyle U_{}}$ L$(\$이 r ${\displaystyle =}$ R(\$displaystyle$ r$=R$에서$$기포에 상대적인 액체의 속도라면 기포에 들어가는 질량은 다음과 같습니다.

${\displaystyle\frac {dm_}L}}{dt}=\rho_{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2}u_{L}}$

$표시$ 스타일 A가 버블의 표면적입니다$.$$질량{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ m${\displaystyle {}_{}{v}_{}}$ / ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m_{}}$L / ${\displaystyle d}$ t ( \$$displaystyle $dm _$ { v } / $dt$=$dm _$ { L } / $dt$ $\}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle l{}_{}}$ ${\displaystyle l_{}(}$ l ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle dR}$ /$display$ style $u$_ { $L$} = ( \ $rho _$ {${\displaystyle {}_{}}$V } / { L$$} / $dt$$$） _ $ho$ { R } ) $_$ dr } $。$

${\displaystyle u(R,t)=vsecfrac {dR}{dt}}-u_{L}=sq frac {dR}{dt}-{\frac {rho _{V}}{\rho _{DR}}{\frac {dt}}=\left(1-{\frac {rho _{V}}}{\rho _{L}}}}{\frac {D}}}{\frac {D}}}{\frac {D}}}}}}{\frac {\frac}}}}}}$

그러므로

${\displaystyle F(t)=\left(1-{\frac {rho _{V}}}{\rho _{L}}\오른쪽)R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$

많은 경우 액체밀도는 증기밀도 ${\displaystyle {\theta }_{}}$ L${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ {$displaystyle \rho$_{$L}\g \rho$ _${V$보다 훨씬 높기 $때문$에 F${\displaystyle (}$$t$${\displaystyle )}$ {$displaystyle$ F$(t$) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}D}$/${\displaystyle tyle}$ D(t)$style$F($t)$ style ${\displaystyle \mathrm{display}}$ displaystyle displyle F(t)로 근사할 수 있다.$R^{2}dR/dt$ 다음과^[6] 같이 합니다.

${\displaystyle u(r,t)=syslogfrac {F(t)}{r^{2}}=syslogfrac {R^{2}}{\frac {dR}{dt}}}$

운동량 보존

이 액체가 뉴턴의 유체라고 가정하면, 비압축성 나비에가–직경 방향의 움직임에 대한 구면 좌표의 스토크스 방정식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \rho _{L}\left({\frac {\frac u}{\frac r}}\right)=-{\frac {\frac P}{\partial r}+mu _{L}\left[\frac {1}{r^2}}\frac {\frac r}$

운동학적 점도 ${\displaystyle {\theta }_{}}$ L ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$L / ${\displaystyle l_{}}$L { $displaystyle \nu$_ { L } = \ $mu$_ { L$$} / \ $rho$_ {$L$ } rear$$ gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives ranging ranging ranging substit substit substit substit substit ${\displaystyle {}_{}}$ substit substit substit substit substit substit

$\displaystyle - {\frac {1} {\rho _{L}} {\frac P} {\partial r} = frac {\partial t} + ufrac {\frac u} {\frac {\frac {1} {r^2} {\frac {\fr}$

따라서 대량 보존 수율에서${\displaystyle }$u ( ${\displaystyle r}$,${\displaystyle t}$) {$style$ u(r, t$)$ {$style$ u$(r,$t)}

${\displaystyle - {\frac {1} {\rho _{L}} {\frac {\partial r}} = flac {2R} {r^{2} } \ left ( {\frac {dR} {dt}}} {\right} + {\frac {\frac {R^2} } {\frac {2}eft({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

비스코스 항은 ^[6]치환 중에 취소됩니다.변수를 분리하고 버블 $경계{\displaystyle }$ r ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$ r$=R}$에서 r ${\displaystyle \to }$ r ${\displaystyle \mathrm{\to }}${\ {\$displaystyle r\rightarrow$ \$infty }$로 통합하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle - {\frac {1}{\rho _{L}}\int _{P(R)}{\infty}}dP=\int _{R}{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}\left(2R\frac {D}}}}\left (오른쪽) {D}}}$

${{displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty}}}{\rho _{L}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^2}+R^{D}{D}}}{\left}}{R}^{\infty}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}+{\frac {3}{2}\leftfrac {dR}{dt}}\right}^2}$

경계 조건

${\displaystyle {\delta }_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$r \ $displaystyle \sigma$_ {$rr}$을(를) 기포의 중심에서 방사상으로 바깥쪽으로 향하는 액체의 정상적인 응력으로 한다.구면 좌표에서 일정한 밀도와 점도를 가진 유체의 경우,

${\displaystyle _{r}=-P+2\mu _{L}{\frac {\frac u}{\frac r}}$

따라서 버블 표면의 일부에서 라미나에 작용하는 단위 면적당 순 힘은

${\displaystyle\begin{aligned}\sigma_{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2\frac }{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac u}{\frac r}\오른쪽 _{r=R}+P_{B}-{\frac {2\frac}-{R}\&=P(R)+2\mu _{L}{\frac }{\frac }{\frac } {\fr}$

여기서$\gamma {\displaystyle }$(\$displaystyle\display)$은 표면 장력입니다.^[6]경계를 가로지르는 질량 전달이 없는 경우 단위 면적당 이 힘은 0이어야 합니다. 따라서

${\displaystyle P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\frac }{R}}}}$

운동량 보존의 결과는

${\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty}}{\rho _{L}}=blac {P_{B}-P_{\infty }}-{\frac {4\mu _{L}}}-{\frac {\frac {L}}{\frac {\frac {\fr}}{\frac {\fr}}} {\fr}$

따라서 ${\displaystyle {\delta }_{}}$ L ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$L / ${\displaystyle {\delta }_{}}$L { $displaystyle \nu$_ { L } = \ $mu$_ { L$$} / \ $rho$_ {$L$ } the$$ whereby 、 Rayleigh - Plesset^[6] 방정식을 제공한다.

${\displaystyle {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho_{L}}=R{\frac {d^2}{d2}+{\frac {3}{2}}+{\frac {dR}{d}{{d}}}^{{\f}}{{\f}}}{\frac {\f}}}{{{{\f}}}}}}}}}}}{\frac {\frac {\frac {\f}}}}}}}}}$

시간에 대한 도트 표기법을 사용하여 Rayleigh-Plesset 방정식은 다음과 같이 더 간결하게 쓸 수 있다.

${\displaystyle {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho_{L}}=R{\dot {R}}+{{\dot {3}{2}}({\dot {R})^{2}+{\{\frac {4\nu_L}{R}}}{Dot {R}}}}}} {Dot}$

솔루션

최근에는 빈 기포와^[7] 가스가 채워진 기포에 대한 레일리-플레셋 방정식에 대한 분석적 폐쇄형 솔루션이 발견되었고 N차원 ^[8]사례로 일반화되었다.모세혈관의 영향으로 표면 장력이 존재하는 사례도 ^[8][9]연구되었다.

또한 표면장력 및 점도가 무시되는 특수한 경우에는 고차 해석근사도 알려져 있다.^[10]

정적 사례에서 레일리-플레스셋 방정식은 단순화되어 영-라플라스 방정식이 생성된다.

${\displaystyle P_{B}-P_{\infty}=blac {2\display}{R}}$

버블 반지름과 압력의 극히 작은 주기적 변화만을 고려할 때, RP 방정식은 버블 진동의 고유 주파수 표현도 산출합니다.

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