실요소

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그룹 이론, 현대 대수학 내의 부문, $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 요소 $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $g}$이(가) 역 $x{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ x$^{-1$와 동일한 결합 등급에 속하면$$ $G{\displaystyle }$$$${\$$displaystytle$ $G$$}$의 $실제{\displaystyle }$ 요소라고 한다$$.어디)g{\displaystyle x^{g}}g1⋅)⋅ g{\displaystyle g^{)}\cdot x\cdot g}.[1] 요소) 퇴축 tG{G\displaystyle}강력하게 진짜이라고 불리는 그룹의{\displaystyle)}{\displa − 정의된다 Displaystyle G}xg와 같이)− 1{\displaystyle x^{g}=x^{)}},.yst$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ = x${\displaystyle {}^{}}$-$$ $displaystyle x^{t}=x^{-1}$ 가 있는$$ $yle t}$$$^[2].

$G{\displaystyle }$ $그룹{\displaystyle }$$$${\$$displaystyle$ $G$$}$의 모든 표현 $display$ {\$displaystyle$ $\rho$ $}$에 대해 해당 $매트릭스$의 $트레이스$ T r($$$\rho {\displaystyle }$ (${\displaystyle g}$ ) {\$displaystyle$ \$mathrmatr$ {$Tr$$rho (g)}이($가$)$인 경우에만 요소 $x{\displaystyle }$ ${\$displaystystystystystystymatform g}이$($실제${\displaystyle )}$가 현실이다.즉${\displaystyle ,}$ 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $G}$의 요소$$ $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $G}$이($가)$ $모든{\displaystyle }$ 문자 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi }$에 대한 실제 번호인$$ 경우에만 실제인$$ 것이다$.$^[3]

모든 요소가 진짜인 그룹을 양면적인 그룹이라고 부른다.모든 양면적인 그룹에는 진짜 캐릭터 테이블이 있다.$어느{\displaystyle }$ 정도 n ${\displaystyle$ n$}$의 대칭$$ 그룹 ${\displaystyle S_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 양면적이다$$.

특성.

정체성 요소 이외의 실제 요소를 가진 집단은 반드시 짝수다.^[3]

그룹 G{G\displaystyle}의 현실적인 요소){\displaystyle)} 들어, 그룹 요소의 개수 xg와 같이)}CG로 어디 CG({\displaystyle C_{G}())({\displaystyle\left C_{G}())\right},[1]}은 같다{\displaystyle g}− 1{\displaystyle x^{g}=x^{)}요. cen$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 Tralizer$,$

${\displaystyle {}_{}C}$ ${\displaystyle G{}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ g ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle x}$} ${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(x)=\{g\in G\mid$ x$^{g}=x$

모든 비자발성은 매우 현실적이다.게다가, 두 개의 비자발성의 산물인 모든 요소들은 강하게 현실적이다.반대로, 모든 강한 진짜 요소는 두 개의 비자발성의 산물이다.

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle x\neq e}$ $및$ x ${\displaystyle x}$이(가) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 실제이고$$ C $x$ ) $displaystyle \{G}(x)\$right}이$(가$$)$ 이상이면$$ $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystystylease$ x$}$가 $G\}$에서 강하게 현실이다$$.

확장 중앙집중기

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 확장된 중앙 집중 장치는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}^{*}(x)=\{g\in G\mid x^{g}=x\lor x^{g}=x^{-1}\}}}}$

요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 확장된 중앙집중기를 세트${\displaystyle }${${\displaystyle x}$, ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$의 일반집중기와 동일하게$$ 만드십시오$.$^[4]

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 요소의 확장 중앙집중기는 항상 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 하위 그룹이다$.$ 비자발 또는 비실제 요소의 경우 중앙집중기와 확장 중앙집중기가 동일하다.^[1]$비자발성$이$$아닌 G {\$displaystyle G}$ 그룹의$$ 실제 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해,

${\displaystyle \left \mathrm {C} _{G}^{*(x):\mathrm {C} _{G}(x)\right =2.}$

참고 항목

• 브라워-파울러

메모들

참조

• Gorenstein, Daniel (2007) [reprint of a work originally published in 1980]. Finite Groups. AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821843420.
• Isaacs, I. Martin (1994) [unabridged, corrected republication of the work first published by Academic Press, New York in 1976]. Character Theory of Finite Groups. Dover Publications. ISBN 978-0486680149.
• Rose, John S. (2012) [unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978]. A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.