실물구조

수학에서 복잡한 벡터 공간의 실제 구조는 두 개의 실제 벡터 공간의 직접 합에서 복잡한 벡터 공간을 분해하는 방법이다. The prototype of such a structure is the field of complex numbers itself, considered as a complex vector space over itself and with the conjugation map ${\displaystyle \sigma :{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }\,}$, with ${\displaystyle \sigma (z)={\bar {z}}}$, giving the "canonical" real structure $C{\displaystyle \mathbb{}}$ $displaystyle {\mathb {C$${\displaystyle }즉{\displaystyle \mathbb{}}$ C = ${\displaystyle R}${ ${\displaystyle I\mathbb{}}$R {\$displaystyle${\$mathb {C}}={\mathb {$R}}={\mathb {$R}\plus$i{\$mathb${R$\}\backslash \}\backslash ,\},\}.$

The conjugation map is antilinear: ${\displaystyle \sigma (\lambda z)={\bar {\lambda }}\sigma (z)\,}$ and ${\displaystyle \sigma (z_{1}+z_{2})=\sigma (z_{1})+\sigma (z_{2})\,}$.

벡터 공간

복합 벡터 공간 V의 실제 구조는 반선형 비자발 $is{\displaystyle }$ :${\displaystyle V}$→ V ${\$ $스타일 \sigma$:$V\to V$ 실제 구조는 실제 하위 공간 V ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\subset }_{}}$ V ${\displaystyle V_{\mathb {R} }\subset$ V$\},$ 고정 위치 및 자연 지도를 정의한다.

${\displaystyle V_{\mathb {R}}번 _{\mathb {R}{\mathb {C}\to V}$

이소모르프다. 반대로 실제 벡터 공간의 복잡화인 벡터 공간은 자연적인 실제 구조를 가지고 있다.

먼저 모든 복잡한 공간 V는 원래 세트와 동일한 벡터를 취하여 스칼라를 실제로 제한함으로써 얻은 실현을 가지고 있다는 점에 주목한다. $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\$ V$\}$ 및 t${\displaystyle }t{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t\neq$ 0$}$인 경우 $벡터{\displaystyle }$ t ${\$ 및 $i$ ${\displaystyle t}$ ${\$ it$\}$은 V의 실현에 선형 독립적이다. 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle \dim _{\mathb {R} }V=2\dim _{\mathb {C}V}$

당연히, 사람들은 V를 "V의 실제와 가상의 부분"이라는 두 개의 실제 벡터 공간의 직접적인 합으로 표현하기를 원할 것이다. 표준적인 방법은 없다: 그러한 분열은 V의 추가적인 실제 구조다. 다음과 같이 도입할 수 있다.^[1] Let $\sigma {\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle V}$ ${\$:$V\to V\}$은(는) 복잡한 공간 V의 반선형 지도로서, $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D}$ V $displaystyle \sigma \circl \sigma =id_{V$ 이는 복잡한 공간 V의 반선형 비자발적인 것이다. Any vector ${\displaystyle v\in V\,}$ can be written ${\displaystyle {v=v^{+}+v^{-}}\,}$, where ${\displaystyle v^{+}={1 \over {2}}(v+\sigma v)}$ and ${\displaystyle v^{-}={1 \over {2}}(v-\sigma v)\,}$.

따라서 $벡터{\displaystyle {}^{}}$V =${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}}${${\displaystyle {}^{}}$V - {\$displaystyle V$=V^{+}\$oplus$ V$^{-}\$의 직접 합계를 얻는다. 여기서$$:

${\displaystyle V^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \sigma }$ v${\displaystyle }$= ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ V$^{+}=\{v\in$V$\sigma v=v\}}$ 및$$ $V{\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \in }$ V \ ${\displaystyle v}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle v}$ \ v = - v ${\displaystyle \}}$ ${\$ V$^{-}=\{v\in V$ .

$V{\displaystyle {}^{}}$+ $displaystyle V^{+}\,}$ 및$$ $V{\displaystyle {}^{}}$- $displaystyle V^{-}\,}$ 세트 모두 실제 벡터 공간이다. ${\displaystyle {}^{}}$ 지도 $K{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$→ V${\displaystyle {}^{}}$- $디스플레이$ 스타일 $K:$$V^{+}\to V^{-}\,}$여기서 $K{\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$ ${\$은$($는) 실제 벡터 공간의 이형성이다. 이때:

${\displaystyle {딤}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ V${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {딤}_{}}$ ${\displaystyle {C\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ V ${\$

The first factor ${\displaystyle V^{+}\,}$ is also denoted by ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$ and is left invariant by ${\displaystyle \sigma \,}$, that is ${\displaystyle \sigma (V_{\mathbb {R} })\subset V_{\mathbb {R} }\,}$. The second factor ${\display$$스타일 V^{-}\,}$은(는) $일반적$으로 I ${\displaystyle {V\mathbb{}}_{}}$ R $displaystyle iV_{\mathb {R}\,}$에 의해 표시되며$,$ 직접 합계 ${\displaystyle {}^{}}$= V${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- $displaystyle V=V^{+}\oplus$ V$^{-}\}\}$는 다음과 같이 읽힌다$$.

${\displaystyle V}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\oplus }_{}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {V\mathbb{}}_{}}$ R $displaystyle V=V_{\mathb {R} }\\x iV_{\mathb$ {R$}\$mathb ${R$

즉, V의 "실제" $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ $displaystyle V_{\mathb {R}\,}$과(와) "상상" $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ $displaystyle iV_{\mathb {R}\,},}$의 직접적인$$ 합계로서. 이 구조는 복합 벡터 공간 V의 반선형 비자발성의 선택에 크게 좌우된다. The complexification of the real vector space ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$, i.e., ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,}$ admits a natural real structure and hence is canonically isomorphic to the direct sum of two copies of ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ $displaystyle V_{\mathb {R} }\,}$:

${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\otimes }_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle C_{}\mathbb{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle {\oplus }_{}}$ I ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ $displaystyle V_{\mathb {R}}\otimes _{\mathb {R}}\mathb {C} =V_{\mathb {R}}}\notus iV}\mathb {R}},$ {R$\},\}.$

주어진 실제 구조를 가진 복잡한 벡터 공간 사이에서$$ V ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\otimes }_{}{}_{}}$ ${\displaystyle R_{}\mathbb{}}$ C${\displaystyle }$→ ${\displaystyle V}$ ${\$번$_{\mathb {R}\$c}\$mathb {C} \to$ V$\}$번 자연 선형 이형성을 따른다.

복잡한 벡터 공간 V의 실제 구조, 즉 반선형 비자발 ${\displaystyle \sigma }$: V${\displaystyle }$→ ${\displaystyle V}$ ${\$:$V{\displaystyle \stackrel{}{}}$$\to V\,}$은$($는) 선형 지도 ^${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ :${\displaystyle V}$ → $displaystyle {\hat {\sigma }}$의 측면에서 동등하게 설명될 수 있다.$V\to$ ${\$$bar${V}, $벡터$ $공간{\displaystyle }$ V {\$displaystyle$ V$\}$에서 복합 결합 벡터 $공간{\displaystyle \stackrel{}{}}$V {\$displaystyle {\v}\},$에 의해$$ 정의됨

$displaystyle v\mapsto {\hat {\\hatma }}}(v):$$={\overline{\\bma (v)}}\,}$^[2].

대수적 품종

실제 숫자의 하위 영역에 걸쳐 정의되는 대수적 다양성의 경우, 실제 구조는 복잡한 투사적 또는 부착적 공간의 다양성의 점에 작용하는 복잡한 결합이다. 그것의 고정된 중심은 다양성의 실제 지점의 공간이다(빈 공간일 수도 있다.

계략

실제 숫자의 하위 영역에 걸쳐 정의되는 계획의 경우, 복잡한 결합은 자연적으로 베이스 필드의 대수적 폐쇄의 갈루아 그룹의 구성원이 된다. 실제 구조는 베이스 필드의 대수학적 폐쇄에 대한 계획의 확장에 대한 이 결합의 갈루아 작용이다. 실제 포인트는 잔여 필드가 고정된 포인트(비어 있을 수 있음)이다.

현실구조

수학에서, 복잡한 벡터 공간 V의 현실 구조는 V를 V의 실제 부분과 가상 부분이라고 불리는 두 개의 실제 하위 영역으로 분해하는 것이다.

${\displaystyle V=V_{\mathb {R}}}\oplus iV_{\mathb {R}}}$

여기서 V는_R V의 실제 하위 공간, 즉 실제 숫자에 대한 벡터 공간으로 간주되는 V의 하위 공간이다. V에 복잡한 치수 n(실제 치수 2n)이 있는 경우 V에는_R 실제 치수 n이 있어야 한다.

벡터 공간 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 표준 현실 구조는 분해다$$.

${\displaystyle \mathb {C} ^{n}=\mathb {R} ^{n}\oplus i\,\mathb {R} ^{n}.}$

현실 구조가 존재하는 경우, V의 모든 벡터는 실제 부분과 상상의 부분을 가지며, 각각은 V의_R 벡터:

${\displaystyle v=\operatorname {Re} \{v\}+i\,\operatorname {Im} \{v\}}}$

이 경우 벡터 v의 복잡한 결합은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {v}=\operatorname {Re} \{v\-i\,\operatorname {Im} \{v\}}}$

${\displaystyle 이\stackrel{}{}}$ 지도 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ v$'{\$은(는) 반선(反線) 비자발적이다.

${\displaystyle {\overline {v}}=v,\coverline {v+w}={\coverline {v}+{w},\coverline {\context{and}}},\computer {\computer v}={\coverline},{v}}.}$

반대로 복잡한 벡터 공간 V에서 반선형 비자발 v${\displaystyle v}$ c${\displaystyle }$(${\displaystyle v}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle v\mapsto c(v)}$을(를) 볼 때 다음과 같이 V의 현실 구조를 정의할 수 있다. 내버려두다

${\displaystyle \operatorname {Re} \{v\}={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(v+c(v)\오른쪽),}$

그리고 정의하다

${\displaystyle V_{\mathb {R}=\좌측\{\operatorname {Re} \{v\}\mid v\in V\right\}.}$

그러면

${\displaystyle V=V_{\mathb {R}}}\oplus iV_{\mathb {R}}}$

이것은 실제로 실제 선형 연산자 c의 에겐스페이스로서 V의 분해다. c의 고유값은 +1과 -1이며, 각각 eigenspaces V와_R i ${\displaystyle i}$이다_R. 전형적으로, 그것이 수반하는 아이겐스페이스 분해보다는 연산자 c 자체를 V의 리얼리티 구조라고 한다.

참고 항목

• 반선형 지도
• 표준 복합 결합도
• 콤플렉스 결합체
• 복합결합벡터공간
• 복합화
• 선형복합구조
• 선형지도
• 세실린형
• 스피너 미적분학

메모들

참조

• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN0-521-38632-2. (반선 지도는 섹션 4.6에서 논의한다.)
• 부디니치, P.와 트라우트만 A. 스피노럴 체스 보드. 스프링거-베를라크, 1988년 ISBN 0-387-19078-3 (반선 지도는 섹션 3.3에서 논의한다.)
• Penrose, Roger; Rindler, Wolfgang (1986), Spinors and space-time. Vol. 2, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-25267-6, MR 0838301