진짜 트리

수학에서 실제 트리(R $\$ -tree라고도 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ )는 단순 트리를 일반화하는 메트릭 공간의 클래스입니다.그것들은 많은 수학적 맥락, 특히 기하학적 군 이론과 확률 이론에서 자연스럽게 발생한다.그것들은 또한 그로모프 쌍곡선 공간의 가장 단순한 예입니다.

정의와 예시

형식적 정의

진짜 나무의 삼각형

모든 $X$ 이 삼각대인 측지선 공간인 경우 미터법 공간X(\ $displaystyle$ X $)$ 는 $X$ 실제 트리입니다.즉, x $x,y,\rho \in X$ $x,y,\rho \in X$ $y$ , x $,$ x, $, rho \in$ X의 3개 $x,y,\rho \in X$ 마다 점 $c=x\wedge y$ = ${\$ $c=x\wedge y$ (\ $displaystyle$ $x,y,\rho \in X$ c $=x\display$ y $[\rho ,x],[\rho ,y]$ 가 존재합니다.이 점 c $[\rho ,c]$ $c=x\wedge y$ x {\ y such $c=x\wedge y$ 、 [ 、 $x$ , [ $display$ $[\rho ,x],[\rho ,y]$ ] , x 、 x $[\rho ,x],[\rho ,y]$ 、 \ r $[\rho ,x],[\rho ,y]$ $[\rho ,c]$ $、$ [ \ $hoy$ ]\ $displaystyle$ c $\in [x,y$ 이 정의는 X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ 그로모브(모든 삼각형이 "0-thin")의 의미에서 "제로 하이퍼볼릭 공간"인 것과 $동일합니다$ $.$ 실제 나무는 또한 토폴로지 특성에 의해 특징지어질 수 있다.미터법 $공간$ X $({$ $displaystyle$ X})는 $X$ x $x,y\in X$ $x,y\in X$ $\sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y$ $x,y\in X$ X({ $displaystyle$ x $,y\$ $in$ $x,y\in X$ X})의 $x, y \in X$ 임의의 포인트 쌍에 대해 $\sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y$ $[0,1]$ [ $[0,1]$ $\sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y$ $1]({displaystyle$ X})의 모든 위상 임베딩 $\sigma$ {\({ $displaystyle$ $\sigma$ \displaystyle X $})$ 을 $\sigma$ X $\sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y$ $displaystyle$ $X$ $\sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y$ 로 $X$ 변환하는 $[0,1]$ 경우 $실제$ 트리입니다 $\sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y$ $\display(1)=y}$ 는 $\sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y$ 동일한 이미지를 가집니다(x $(\displaystyle$ x $)$ 에서 $x$ y $(\displaystyle$ y $)$ 까지의 측지선 세그먼트).

간단한 예

X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ 조합 메트릭을 사용하는 그래프인 $경우$ 트리(즉, 사이클이 없는 경우)에만 실제 트리가 됩니다.그런 나무는 종종 단순한 나무라고 불린다.이러한 토폴로지 특성은 다음과 같습니다.실제 $트리 T$ 는 $T$ $X$ 의 $단수점$ 집합( $X의$ 이 3개 이상의 컴포넌트를 $가지는$ 점) $X$ 이X에이산되어 있는 경우에만 단순합니다.
다음 방법으로 얻은 R-tree는 유해하지 않습니다.구간 [0, 2]에서 시작하여 각 양의 정수 n에 대해 원래 구간에서 점 1 - 1/n까지의 길이 구간 1/n으로 시작합니다.특이점 집합은 이산적이지만 1이 이 R-트리의 일반 점이기 때문에 닫히지 않습니다.간격을 1로 붙이면 단일 점의 닫힌 집합이 생성되지만, 그 결과 일관성이 저하됩니다.
파리 미터법은 비행기를 진짜 나무로 만든다. $원점$ P(\ $displaystyle$ P $P$ 를 고정하고 두 점이 P $(\displaystyle$ P $P$ 에서 동일한 광선에 있는 경우 거리는 유클리드 거리로 정의됩니다. $그렇지$ 않은 경우, 거리는 $원점$ P에 대한이 두 점의 $유클리드$ 거리의 합으로 정의됩니다 $P$
더 일반적으로 어떤 고슴도치 공간도 진짜 나무의 한 예이다.

수학적 맥락에서

실제 트리는 다양한 상황에서 보다 고전적인 메트릭 공간의 한계로 나타나는 경우가 많습니다.

갈색 나무

브라운 나무는^[1] 거의 틀림없이 진짜 나무이다.갈색 나무는 유한한 ^[2]나무에서 다양한 무작위 과정의 한계로 발생합니다.

미터법 공간의 초경계

$\delta _{i}\to 0$ i $\delta _{i}\to 0$ \ $displaystyle$ \ $displaystyle$ $\delta _{i}\to 0$ _ ${i}$ - olic $\delta _{i}$ i $\delta _{i}$ → 0 \ displaystyle \ $displaystyle$ _ { $i}$ \ $to$ 0 의 $\delta _{i}\to 0$ 시퀀스 $X_{i})$ 의 $(X_{i})$ 울트라리밋은 모두 실제 트리이다.특히, 쌍곡선 공간의 점근 원추는 실제 나무이다.

그룹 액션 제한

G $(Displaystyle$ G $)$ 를 $G$ 그룹으로 $만들자$ . $베이스$ G $($ $(X_{i},*_{i},\rho _{i})$ $stylei$ , gi $G$ $(X_{i},*_{i},\rho _{i})$ $)$ 의 일련의 $(X_{i},*_{i},\rho _{i})$ displaystyle $(X_{i},*_{i},\rho_{i})$ 에 $(X_{i},*_{i},\rho _{i})$ 대해서는 $베이스$ G $X$ , X $,,$ ρ $,$ _{i $})$ 로의 $G$ 컨버전스 개념이 있습니다.베스트비나랑 에프폴린.공간이 쌍곡선이고 동작에 제한이 없는 경우 한계(존재하는 경우)는 실제 ^[3]트리가 됩니다.

$G=\pi _{1}(S)$ 예는 G $G=\pi _{1}(S)$ $G=\pi _{1}(S)$ 1 ( $S$ ) $G=\pi _{1}(S)$ \ $displaystyle$ G = \ $pi _$ { $1$ （ S $G=\pi _{1}(S)$ ）。 $\rho$ 서S { $displaystyle$ S $}$ 는 $G=\pi _{1}(S)$ $S$ $S$ 콤팩트한 $X_{i}$ 이고 $X_{i}$ i $i\rho$ { $displaystyle$ $X_{$ $i$ $}$ 는 $X_{i}$ S\ $displaystyle$ 의 $유니버설$ 커버입니다.볼릭 $미터법($ S\displaystyle S $)$ 을 사용합니다.

이는 실제 트리에서 쌍곡선 그룹의 동작을 생성하는 데 유용합니다.이러한 동작은 이른바 립스 머신을 사용하여 분석됩니다.특히 관심 있는 사례는 실제 쌍곡선 공간에서 적절히 불연속적으로 작용하는 그룹의 퇴화 연구이다(이것은 립스, 베스트비나, 폴린의 연구보다 앞서며 J. 모건과 P에 기인한다). 샤렌^[4])

대수군

F $(\displaystyle$ F $)$ 가 $F$ 초측정치인 필드라면 Bruhat- $\mathrm {SL} _{2}(F)$ $\mathrm {SL} _{2}(F)$ 2 $\mathrm {SL} _{2}(F)$ ( $\mathrm {SL} _{2}(F)$ ) \ $displaystyle$ \ $mathrm$ { $SL$ } $_ {$ 2} $( F$ )의 $\mathrm {SL} _{2}(F)$ 가슴 $\mathrm {SL} _{2}(F)$ 은 실제 트리입니다.평가가 이산적인 경우에만 단순하다.

일반화

$λ \$ $displaystyle$ \ $\Lambda$ Lambda $\Lambda$ } - $\Lambda$

$\Lambda$ { $displaystyle \Lambda}$ 이 $\Lambda$ (가) 완전 순서 아벨 그룹인 경우 $, δ$ { $displaystyle$ \Lambda $}$ 의 값을 $\Lambda$ 거리에 대한 자연스러운 개념이 있습니다(표준 메트릭 공간은 $\Lambda =\mathbb {R}$ $=$ {\ $displaystyle \Lambda$ =\ $mathbb {R}).$ $\Lambda =\mathbb {Z}$ $\Lambda$ \ $displaystyle$ \ $Lambda }$ - tree $\Lambda$ ^[5] $\Lambda =\mathbb {Z}$ $\Lambda =\mathbb {Z}$ Z { \ $displaystyle$ \ $Lambda$ = \ $mathbb$ ${$ $Z }$ 일 $\Lambda =\mathbb {Z}$ 때 단순 트리를 회복하고 $\Lambda =\mathbb {R}$ $=$ $R$ { \ displaystyle \ $Lambda$ = \ $mathbb$ { Z $\Lambda =\mathbb {R}$ 일 때 실제 트리를 복원하는 개념이 있으며, FIN에서 자유롭게 작용하는 그룹의 구조를 제시한다.^[6] 특히 이러한 그룹은 일부 R $\$ 트리에서 $\mathbb {R} ^{n}$ 자유롭게 작용한다.

실제 건물

건물의 공리는 실제 건물의 정의를 제공하기 위해 일반화될 수 있습니다.예를 들어, 이것들은 상위 대칭 공간의 점근 원추형 또는 가치 있는 필드 위에 상위 그룹의 브루하트-티츠 건물로 발생한다.

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레퍼런스

^ Aldous, D. (1991), "The continuum random tree I", Annals of Probability, 19: 1–28, doi:10.1214/aop/1176990534
^ Aldous, D. (1991), "The continuum random tree III", Annals of Probability, 21: 248–289
^ Bestvina, Mladen (2002), " $\mathbb {R}$ -trees in topology, geometry and group theory", Handbook of Geometric Topology, Elsevier, pp. 55–91, ISBN 9780080532851
^ Shalen, Peter B. (1987), "Dendrology of groups: an introduction", in Gersten, S. M. (ed.), Essays in Group Theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 8, Springer-Verlag, pp. 265–319, ISBN 978-0-387-96618-2, MR 0919830
^ Chiswell, Ian (2001), Introduction to Λ-trees, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 981-02-4386-3, MR 1851337
^ O. Kharlampovich, A. Myasnikov, D. Serbin, Actions, length functions and non-archimedean words IJAC 23, No. 2, 2013.{{citation}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

[1] Aldous, D. (1991), "The continuum random tree I", Annals of Probability, 19: 1–28, doi:10.1214/aop/1176990534

[2] Aldous, D. (1991), "The continuum random tree III", Annals of Probability, 21: 248–289

[3] Bestvina, Mladen (2002), " $\mathbb {R}$ -trees in topology, geometry and group theory", Handbook of Geometric Topology, Elsevier, pp. 55–91, ISBN 9780080532851

[4] Shalen, Peter B. (1987), "Dendrology of groups: an introduction", in Gersten, S. M. (ed.), Essays in Group Theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 8, Springer-Verlag, pp. 265–319, ISBN 978-0-387-96618-2, MR 0919830

[5] Chiswell, Ian (2001), Introduction to Λ-trees, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 981-02-4386-3, MR 1851337

[6] O. Kharlampovich, A. Myasnikov, D. Serbin, Actions, length functions and non-archimedean words IJAC 23, No. 2, 2013.{{citation}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

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정의와 예시

형식적 정의

간단한 예

수학적 맥락에서

갈색 나무

미터법 공간의 초경계

그룹 액션 제한

대수군

일반화

$λ \$ $displaystyle$ \ $\Lambda$ Lambda $\Lambda$ } - $\Lambda$

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