가치평가(알지브라)

대수학(특히 대수 기하학이나 대수 수 이론에서)에서 평가란 그 분야의 원소의 크기나 다중의 측도를 제공하는 분야의 함수다. 복합해석에서는 극의 정도나 0의 다중성을 고려하여 내재된 크기의 개념, 수 이론에서는 소수점 1에 의한 수의 차이성 정도, 대수 기하학에서는 두 대수적 또는 분석적 다양성의 접촉 기하학적 개념을 일반화한다. 그것에 대한 평가가 있는 분야를 가치 있는 분야라고 부른다.

정의

하나는 다음과 같은 물체로 시작한다.

• 필드 K와 그 승수 그룹^× K,
• 아벨리안 완전 주문 그룹( group, +, ≥)

γ에 대한 주문 및 그룹법은 규칙에 의해 γ ∪ {∞}^[a] 집합으로 확장된다.

• ∞ 모든 α에 대하여 α,
• α = α + α = α = α = α = α = ∞.

그렇다면 K의 평가는 어느 지도다.

v : K → γ ∪ {∞}

K의 모든 a, b에 대해 다음과 같은 특성을 만족한다.

• v(a) = ∞인 경우 및 a = 0인 경우에만,
• v(ab) = v(a) + v(b)
• v(a + b) ≥ 최소(v(a), v(b)이며, v(a)가 v v(b)인 경우 동일하다.

평가 v는 모든 a in K에^× 대해 v(a) = 0이면 사소한 것이고, 그렇지 않으면 비교 대상이 아니다.

두 번째 속성은 어떤 가치평가도 집단 동형상이라고 주장한다. 세 번째 속성은 임의의 γ에 적응한 미터법 공간의 삼각형 불평등 버전이다(아래 곱셈 표기법 참조). 기하학적 용도에 사용되는 평가의 경우, 첫 번째 속성은 점 근처에 있는 분석적 다양성의 비어 있지 않은 세균이 해당 점을 포함한다는 것을 의미한다.

그 평가는 선도계약기간의 순서로 해석할 수 있다.^[b] 세 번째 속성은 두 용어의 순서가 동일하지 않는 한,^[c] 총액의 순서가 큰 용어의 순서에 해당하며, 이 경우 취소될 수 있으며, 이 경우 합계가 더 큰 순서가 될 수 있다.

많은 응용 프로그램의 경우, 실제 숫자의 b에서 Γ은 덧대는 서브 그룹 R{\displaystyle \mathbb{R}}에 ∞ 그 확장된 진짜 숫자에 +∞로 해석될 수 있[d];어떤 실수에 대한은분(는,+∞))분(+∞,)){\displaystyle \min(a,+\infty)=\min(,a+\infty)=a}, 따라서 일침 +∞는 단위ina최소 운용 최소 및 추가의 연산을 갖는 실제 수치(+연장)는 최소 열대 세미닝이라고 불리는 반사를 형성하며,^[e] 평가 v는 거의 K에서 열대 세미닝으로 이어지는 반동형이다. 단, 동일한 평가를 가진 두 요소가 함께 추가될 때 동형성 속성이 실패할 수 있다.

승법 표기법 및 절대값

이 개념은 에밀 아르틴이 그의 저서 기하학적 대수에서 그룹을 승법적 표기법 ( (, ·· ≥)^[1]으로 표기하여 다음과 같이 개발하였다.

∞ 대신 o에서 γ까지 정식 기호 o을 붙이며, 규칙으로 명령과 단체법을 연장한다.

• O α α 모든 α α에 대하여,
• O · α = α · O = 모든 α α ∈에 대한 O.

그렇다면 K의 평가는 어느 지도다.

⋅ _v: K → γ ∪ {O}

모든 a, b ∈ K에 대해 다음 특성을 만족한다.

• a = O인 경우 및 a = 0인 경우에만,
• ab = a · b ,
• a+b ≤ max(a, b )는 ≠ b일 경우 동등하다.

(부등식의 방향은 부가 표기법에서 방향과 반대로 되어 있다는 점에 유의한다.)

만약 γ이 곱셈에서 양의 실수의 부분군이라면, 마지막 조건은 초계량 불평등이며, 삼각 불평등 a+b a a + b , 그리고 ⋅의 더 강한 형태는_v 절대값이다. 이 경우 v₊(a) = -log a를 취함으로써$$ 값 그룹 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (R\mathbb{}}$,${\displaystyle }$+${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Gamma _{+}\subset(\mathb {R} ,+)$이 있는 가법 표기법으로 전달할 수 있다.

K에 대한 각 평가는 해당하는 선형 사전 순서를 정의한다: : b ≤ b. 반대로, 요구되는 특성을 만족하는 """를 주어진다면, K와 ≼에 근거한 곱셈과 순서를 가진 평가 a = {b:b }, a b b}을 정의할 수 있다.

용어.

이 글에서는 위에서 정의한 용어를 첨가 표기법으로 사용한다. 그러나 일부 저자는 다음과 같은 대체 용어를 사용한다.

• 우리의 "평가" (초경량 불평등 충족)는 "우수 가치 평가" 또는 "비-아카이브 절대 가치" 또는 "초경량 절대 가치"라고 불린다.
• 우리의 "절대 가치"(삼각형 불평등을 만족시키는 것)는 "평가" 또는 "아카이브 절대 가치"라고 불린다.

연관 객체

주어진 평가 v에서 정의된 몇 가지 개체가 있다: K → γ ∪ {∞};

• 가치집단 또는 가치평가집단 γ_v = v(K^×), γ의 하위집단(일반적으로 v는 γ_v = γ)이 되도록 굴절적이다.
• 평가 링 R은_v v(a) ≥ 0인 ∈ K의 집합이다.
• prime 이상 m은_v v(a) > 0을 가진 ∈ K의 집합이다(사실상 R의_v 최대 이상이다).
• 잔류장_v k = R_v/m_v,
• v와 연관된 K의 위치, 아래에 정의한 동등성 이하 v의 등급

기본 속성

가치평가의 균등성

평가그룹 Ⅱ와₁ Ⅱ와₂ Ⅱ와 함께 각각 K의 두 가지₁ 평가₂ v와 v는 a의^× 모든 a에 대해₂ v(a) = v(v₁)(a)가 될 정도로 주문보존집단 이형주의가 있다면 Ⅱ₁ → Ⅱ와₂ 동등하다고 한다. 이것은 동등성 관계다.

K의 두 가지 평가는 동일한 가치평가 링을 가진 경우에만 동일하다.

한 분야의 가치평가에 대한 동등성 등급을 장소라고 한다. 오스트로우스키의 정리는 $합리적$인 숫자 Q${\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathb {Q} :}$의 p-adic 보완에 대한 평가의 동등성 등급인 Q${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathb {Q}}$을(를) 완전히 분류한다.

밸류에이션 연장

v를 K의 평가로 하고 L을 K의 현장 확장으로 한다. v (L에 대한)의 확장은 w의 K에 대한 제한이 v가 되도록 L의 평가 w이다. 그러한 모든 연장의 집합은 가치평가의 래미화 이론에서 연구된다.

L/K를 유한한 확장이 되게 하고, v-L의 확장이 되게 한다. γ에서_w γ의 γ_v 지수, e(w/v) = [γ_w : γ_v]를 w over v의 감소된 rammation 지수라고 한다. e(w/v) ≤ [L : K] (연장 L/K의 정도)를 만족한다. v를 통한 w의 상대적 정도는 f(w/v) = [R_w/m_w : R_v/m_v](잔류장 확장 정도)로 정의된다. 또한 L/K의 정도보다 작거나 같다. L/K가 분리 가능한 경우, v를 통한 w의 래미화 지수는 e(w/v)p로ⁱ 정의되며, 여기서 p는ⁱ R_v/m을_v 통한 연장 R_w/m의_w 불가분의 수준이다.

전체 값 필드

순서 아벨 그룹 γ이 정수의 첨가 그룹인 경우, 관련 평가값은 절대값과 같으므로 K 필드의 측정기준을 유도한다. K가 이 메트릭에 대해 완전하다면 완전 값진 필드라고 한다. K가 완전하지 않으면 아래 예와 같이 평가를 사용하여 완성을 구성할 수 있으며, 다른 평가에서는 서로 다른 완성 분야를 정의할 수 있다.

일반적으로 가치평가는 K에 획일적인 구조를 유도하며, K는 획일적인 공간으로 완성되면 완전한 가치 있는 분야라고 불린다. 구면 완전성이라고 알려진 관련 속성이 있다: ${\displaystyle \gamma \mathbb{}}$= Z${\displaystyle }$, ${\displaystyle \Gamma =\mathb {Z},}$이면 완전성과 동등하지만$$ 일반적으로 더 강하다.

예

p-adic 평가

평가 반지 R)Z(p)과 합리적인 숫자 K)Q,{\displaystyle K=\mathbb{Q},}에 가장 기본적인 예는p-adic 평가 vp 주요 정수 p, 관련된 Z{\displays의 Z(p){\displaystyle \mathbb{Z}_{(p)}}은 현지화(_{(p)},}.t$yle \mathb {Z}을($를) 프라임 이상$({\displaystyle p}$) ${\displaystyle(p$에서 . 평가 그룹은 $가법{\displaystyle \mathrm{}}$ 정수 ${\displaystyle =}$ =${\displaystyle Z\mathbb{}}$ . ${\displaystyle \Gamma =\mathb {Z}.}$ $정수$의 경우$$${\displaystyle z\mathbb{}R}$ ${\displaystyle =}$ Z$$, {\$displaystyle a\in$R=\$mathb${Z$}$,},} 평가_p v(a)는 p:

${\displaystyle v_{p}=\max\{e\in \mathb {Z} \mid p^{e}{\text{}는 }a\};}을(를) 나눈다.$

그리고 분수에 대해 v_p(a/b) = v_p(a) - v_p(b)

$이$ 곱을 쓰면 p-adic 절대값이 산출되는데, 이는 관례적으로 ${\displaystyle base}$ 1 /${\displaystyle }p{\displaystyle \mathrm{}}$= p${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$1/p$=p^{$p^{-1$\},$ $따라서$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {v_{}}^{}}$($){$

v와_p 관련하여$$ $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 완료는 p-adic 번호의 필드 $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이다.

소멸순서

부착선 X = F¹(x)에 대한 합리적인 함수인 K = F(x)를 설정하고 point X를 한 점 취한다. For a polynomial ${\displaystyle f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}}$ with ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$, define v_a(f) = k, the order of vanishing at x = a; and v_a(f /g) = v_a(f) − v_a(g). 그 다음 평가 링 R은 x = a에서 폴이 없는 합리적인 함수로 구성되며, 완성도는 정식 Laurent 시리즈 링 F(x-a)이다. 이는 푸이섹스 시리즈 K{{{{t}}(추상력), 레비시비타 분야(이들의 코우치 완성도), 한 시리즈 분야로 일반화될 수 있으며, 모든 경우에 평가는 시리즈에 등장하는 t의 최소 지수를 반환한다.

π-adic 평가

앞의 예를 일반화하면, R을 주요 이상 영역으로 하고, K를 분수의 영역으로 하고, π은 R의 불가해한 요소가 되도록 한다. 모든 주요 이상 도메인은 고유한 요인화 도메인이기 때문에, R의 모든 0이 아닌 요소는 (본질적으로) 고유하게 작성될 수 있다.

${\displaystyle a=\pi ^{e_{a}p_{1}^{1}e_{1}{1}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}}}}}}}}}$

여기서 e는 음이 아닌 정수이고 p는_i π의 연관성이 없는 R의 불가해한 요소들이다. 특히 정수 e는_a a에 의해 고유하게 결정된다.

그 다음 K의 ad-adic 평가는 다음과 같다.

• ${\displaystyle v_{\pi }(0)=\infully }$
• ${\displaystyle v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{{}{}a,b\in R,a,b\neq 0.}$

만약 'π'이 (π)' = (π) (즉, R에서 동일한 이상을 창출하는) R의 또 다른 불가해한 요소라면, π-adic 평가와 π-adic 평가가 동일하다. 따라서 π-adic 평가는 P-adic 평가라고 할 수 있는데 여기서 P = ( =)이다.

디데킨드 도메인에 대한 P-adic 평가

앞의 예는 디데킨드 도메인으로 일반화할 수 있다. R을 데데킨드 도메인으로, K를 분수 영역으로 하고, P를 R의 0이 아닌 프라임 이상으로 한다. 그 후, R로_P 표시된 P에서의 R의 국산화(localization)는, 분수의 분야가 K인 주요 이상영역이다. R의_P 가장 이상적인 PR에_P 적용된 이전 부분의 건설은 K의 P-adic 평가를 산출한다.

평가 필드 위의 벡터 공간

γ {0}이(가) 곱하기 아래의 음수가 아닌 실수 집합이라고 가정합시다. 그 다음 우리는 가치평가가 그 범위(평가집단)가 무한하다면(따라서 누적점이 0인 경우) 비구체적이라고 말한다.

X가 K 위의 벡터 공간이고 A와 B가 X의 하위 집합이라고 가정하자. 그 다음에 우리는 A가 만약 α α K가 존재한다면 B를 흡수한다고 말하는데, 그 α는 B α and K와 α α implies implies A를 암시한다. A는 X의 모든 유한 부분 집합을 흡수하는 경우 방사형 또는 흡수형이라고 불린다. X의 방사형 부분 집합은 유한 교차점에서 불변형이다. 또한 K에서 λ과 λ α가 λ A를 함축하면 A를 동그라미라고 한다. L의 원형 서브셋 세트는 임의 교차점에서는 불변한다. A의 동그라미를 친 선체는 A를 포함한 X의 모든 동그라미를 친 부분들의 교차점이다.

X와 Y가 비구체 평가 필드 K 위의 벡터 공간이라고 가정하고, A ⊆ X, B ⊆ Y를, f : X → Y를 선형 지도로 한다. B가 동그라미 또는 반지름인 경우 ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$1 ${\displaystyle f^{-1}(B)}$도 마찬가지. A가 동그라미라면 f(A)도 그렇지만 A가 방사형인 경우에는 f(A)가 굴절적이라는 추가 조건 하에서 방사형으로 된다$.$

참고 항목

• 이산평가
• 유클리드 평가
• 필드 노멀

메모들

참조

외부 링크

• Danilov, V.I. (2001) [1994], "Valuation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• PlanetMath에서 이산 평가.
• PlanetMath에서 평가.
• Weisstein, Eric W. "Valuation". MathWorld.