레카만 수열

수학과 컴퓨터 과학에서 레카만(Recaman)의^[1]^[2] 수열(또는 레카만(Recaman)의 수열)은 재발관계로 정의되는 잘 알려진 수열로, 그 원소들이 이전의 원소들과 직접 관련되기 때문에 재귀로 정의되는 경우가 많다.

번호판 영상에 나타난^[4] 시각화 방법에 ^[3]따라 레카만 수열의 처음 75개 항을 그린 그림.

그것은 콜롬비아의 수학자 베르나르도 레카만 산토스[es] (Bogota, 1954년 8월 5일 ~ )의 이름을 따왔다.

정의

Recaman의 시퀀스 a $a_{0},a_{1},a_{2}\dots$ $a_{0},a_{1},a_{2}\dots$ 1, $a_{0},a_{1},a_{2}\dots$ 2 $a_{0},a_{1},a_{2}\dots$ … ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\$ dots $}$ 은(는) 다음과 같이 정의된다 $a_{0},a_{1},a_{2}\dots$ .

a_{n}={\case}0&{\text}{{n=0\\a_{n-1}-n&{n-n}{{n-n}}{\text}}}}}}}}이(가) 이미 시퀀스}\\a_{n-1}+n&}{text{case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

이 시퀀스의 첫 번째 용어는 다음과 같다.

0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42, 63, 41, 18, 42, 17, 43, 16, 44, 15, 45, 14, 46, 79, 113, 78, 114, 77, 39, 78, 38, 79, 37, 80, 36, 81, 35, 82, 34, 83, 33, 84, 32, 85, 31, 86, 30, 87, 29, 88, 28, 89, 27, 90, 26, 91, 157, 224, 156, 225, 155, ...

정수 시퀀스 온라인 백과사전(OEIS)

레카만의 순서는 콜롬비아의 수학자 베르나르도 레카만 산토스의 이름을 따온 것으로, 온라인 정수 백과사전(OEIS)의 제작자인 닐 슬로운의 작품이다.이 시퀀스의 OEIS 항목은 A005132이다.

심지어 닐 슬로운이 1964년부터 32만 5천개 이상의 시퀀스를 수집했을 때에도 레카만의 시퀀스는 그의 논문 '내가 가장 좋아하는 정수 시퀀스'에서 인용되었다.^[5]그는 또한 OEIS의 모든 시퀀스 중에서 이 시퀀스는 그가 가장 듣기^[1] 좋아하는 것이라고 말했다(아래에서 들을 수 있다).

시각적 표현

레카만 수열의 처음 100개 항에 대한 줄거리.^[3]

레카만 수열의 가장 일반적인 시각화는 오른쪽의 수치와 같이 단순히 그 값을 플로팅하는 것이다.

2018년 1월 14일, Numberphile YouTube 채널은 이 페이지 상단에 있는 그림에서 보여지듯이, 반원 교대로 시각화를 보여주는 "^[4]조금씩 스푸키 레카만 시퀀스"라는 제목의 영상을 게재했다.

소리 표현

"레카만의 수열" (10:13)

"레카만 시퀀스를 틀어봐."

시퀀스의 값은 음악 노트와 연관될 수 있으며, 그러한 경우 시퀀스의 실행은 음악적 곡조의 실행과 연관될 수 있다.^[6]

특성.

이 시퀀스는 다음을 충족한다.^[1]

a_{n}\geq 0

a_{n}-a_{n-1} =n

이것은 정수의 순열이 아니다: 첫 번째 반복 용어는 $42=a_{24}=a_{20}$ = $42=a_{24}=a_{20}$ $42=a_{24}=a_{20}$ = $42=a_{24}=a_{20}$ a $42=a_{24}=a_{20}$ ${\$ ^[7] 또 다른 반복 용어는 $43=a_{18}=a_{26}$ = a $43=a_{18}=a_{26}$ = $43=a_{18}=a_{26}$ $43=a_{18}=a_{26}$ ${\$

추측

Neil Sloane은 모든 숫자가 결국 나타난다고 추측했지만,^[8]^[9]^[10] 그것은 증명되지 않았다.10개²³⁰ 용어(2018년)를 계산했는데도 85만2,655개 수는 명단에 나오지 않았다.^[1]

사용하다

수학적, 미학적 특성 외에도 스테가노그래피에 의한 2D 영상 확보에 레카만 시퀀스를 활용할 수 있다.^[11]

프로그래밍

시퀀스 용어의 계산은 프로그래밍할 수 있다.

위키 기반의 프로그래밍 체스토마시 웹사이트 Rosetta Code는 페이지 Recaman's sequence에서 일련의 프로그램을 30개 이상의 다른 프로그래밍 언어로 수집하여 시퀀스 용어를 계산한다.^[12]

대체순서

이 수열은 레카만(Recaman)이 발명한 가장 유명한 수열이다.다음과 같이 정의되는, 덜 알려진 또 다른 순서가 있다.

a_{1}=1

{\displaystyle a_{n+1}={\preases}a_{n}/n&{\text{{n}}{na}\na}&{na}&{na}&{na}&{naint}}}\text{case}}}}}}}}}}}}을(으)로 나누십시오.

이 OEIS 항목은 A008336이다.

참조

^ ^a ^b ^c ^d "A005132 - Oeis".
^ "Recamán's Sequence".
^ ^a ^b R.Ugalde, Laurence. "Recamán sequence in Fōrmulæ programming language". Fōrmulæ. Retrieved July 26, 2021.
^ ^a ^b 약간 으스스한 레카만 시퀀스, 넘버필레 비디오.
^ N. J. A. Sloane, Sequence and the Applications (SETA '98년 진행, C. Ding, T. Heleseth 및 H. Nederreiter(편집자), Springer-Verlag, 1999년, 페이지 103–130.
^ "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)".
^ 수학은 덜 수학한다.
^ "A057167 - Oeis".
^ "A064227 - Oeis".
^ "A064228 - Oeis".
^ S. 패라그와 W.알렉산, "Recaman's Sequence를 이용한 2D 이미지 스테가노그래피 보안", 2019년 CommNet(CommNet), Rabat, 2019년 모로코, 1-6페이지.도이: 10.1109/COMMNET.2019.8742368
^ http://rosettacode.org/wiki/Recaman%27s_sequence

외부 링크

[oeis-1] "A005132 - Oeis".

[2] "Recamán's Sequence".

[formulae-3] R.Ugalde, Laurence. "Recamán sequence in Fōrmulæ programming language". Fōrmulæ. Retrieved July 26, 2021.

[numberphile-4] 약간 으스스한 레카만 시퀀스, 넘버필레 비디오.

[5] N. J. A. Sloane, Sequence and the Applications (SETA '98년 진행, C. Ding, T. Heleseth 및 H. Nederreiter(편집자), Springer-Verlag, 1999년, 페이지 103–130.

[6] "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)".

[7] 수학은 덜 수학한다.

[8] "A057167 - Oeis".

[9] "A064227 - Oeis".

[10] "A064228 - Oeis".

[11] S. 패라그와 W.알렉산, "Recaman's Sequence를 이용한 2D 이미지 스테가노그래피 보안", 2019년 CommNet(CommNet), Rabat, 2019년 모로코, 1-6페이지.도이: 10.1109/COMMNET.2019.8742368

[12] ttp://rosettacode.org/wiki/Recaman%27s_sequence

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