상호 감마함수

수학에서 상호 감마함수는 함수다.

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma(z)}},}$

여기서 γ(z)는 감마 함수를 나타낸다.감마 함수는 용형이며 복잡한 평면의 모든 곳에서 0이 아니기 때문에, 그것의 역수는 전체 함수다.전체 함수로서는 순서 1(로그 로그 1/TW(z)가 로그 z보다 빠르게 성장하지 않는다는 의미)이 아니라 무한형(로그 1/TW(z)의 성장이 왼쪽 면의 z 로그 z에 근사적으로 비례하기 때문에 z의 어떤 배수보다 빠르게 성장한다는 의미)이다.

역수는 감마함수의 수치 계산을 위한 출발점으로 사용되기도 하며, 소수의 소프트웨어 라이브러리는 이를 일반 감마함수와 별도로 제공한다.

칼 위어스트라스는 상호 감마함수를 "factorielle"이라고 불렀고, 웨이어스트라스 인자화 정리 개발에 그것을 사용하였다.

무한 확장 제품

감마 함수에 대한 무한 제품 정의에서 오일러와 위어스트라스 각각으로 인해 상호 감마 함수에 대한 다음과 같은 무한 제품 확장을 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}$

여기서 γ 0.577216...오일러-마스케로니 상수.이러한 확장은 모든 복잡한 숫자 z에 유효하다.

테일러 시리즈

Taylor 시리즈 확장은 0 주위에 다음을 제공한다.^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\right)z^{4}+\cdots }$

여기서 γ은 오일러-마스케로니 상수다.n > 2의 경우 z 용어에ⁿ 대한 계수 a는_n 다음과 같이^[2][3] 재귀적으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{2}a_{n-1}-\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{n-j}}{n-1}}={\frac {\gamma a_{n-1}-\zeta (2)a_{n-2}+\zeta (3)a_{n-3}-\cdots }{n-1}}}$

여기서 ζ은 리만 제타 함수다.Fekih-Ahmed(2014)에 의해 이러한 계수에 대한 통합적 표현이 최근에 발견되었다.^[3]

${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}{n}{\pi n!}}}\int _{0}^{\inful }e^{-t}\Im [(\log(t)-i\pi )^{n}]\,dt\,.}$

작은 값의 경우 다음과 같은 값을 제공한다.

n	an
1	+1.0000000000000000000000000000000000000000
2	+0.5772156649015328606065120900824024310422
3	−0.6558780715202538810770195151453904812798
4	−0.0420026350340952355290039348754298187114
5	+0.1665386113822914895017007951021052357178
6	−0.0421977345555443367482083012891873913017
7	−0.0096219715278769735621149216723481989754
8	+0.0072189432466630995423950103404465727099
9	−0.0011651675918590651121139710840183886668
10	−0.0002152416741149509728157299630536478065
11	+0.0001280502823881161861531986263281643234
12	−0.0000201348547807882386556893914210218184
13	−0.0000012504934821426706573453594738330922
14	+0.0000011330272319816958823741296203307449
15	−0.0000002056338416977607103450154130020573
16	+0.0000000061160951044814158178624986828553
17	+0.0000000050020076444692229300556650480600
18	−0.0000000011812745704870201445881265654365
19	+0.0000000001043426711691100510491540332312
20	+0.0000000000077822634399050712540499373114
21	−0.0000000000036968056186422057081878158781
22	+0.0000000000005100370287454475979015481323
23	−0.0000000000000205832605356650678322242954
24	−0.0000000000000053481225394230179823700173
25	+0.0000000000000012267786282382607901588938
26	−0.0000000000000001181259301697458769513765
27	+0.0000000000000000011866922547516003325798
28	+0.0000000000000000014123806553180317815558
29	−0.0000000000000000002298745684435370206592
30	+0.0000000000000000000171440632192733743338

Fekih-Ahmed(2014)^[3]도 ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 근사치를 제공한다$.$

${\displaystyle a_{n}\약간 {\frac {(-1)^{n}{n1}!}}\,{\sqrt {{\frac {2}{\,\pi n\,}}\,}}\Im \!\left\frac {\,z_{0}^{\\\\\\\\\,e^{nz_{0}\,}{\sqrt{1+z_{0}\,}\}\}}}$

여기서 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {\mathrm{1n}}_{}}$ ${\displaystyle \exp (W{}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle z_{0}=-{\frac {1}{n}}\exp \!{\\\$$Bigl (}W_{-1}(-n){\Bigr )}\}$과($와{\displaystyle {}_{)}}$ W - ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$은 램버트 W 기능의 마이너스 첫 번째 지점이다$$.

1 주위에 테일러 팽창은 계수(단, 이동)가 같다. 즉,

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma (1+z)}}={\frac {1}{z\gamma (z)}}=1+\gamma z+\왼쪽({\fracma ^{2}}-{\pi ^{1}{12}}}z^{2}+\cdots}}}}}}}}$

(가우스의 pi-function의 역수).

점근팽창

z가 일정한 arg(z)에서 무한대로 이동함에 따라 다음이 있다.

${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad {\text{for}}~\left \arg(z)\right <\pi }$

등고선 적분 표현

헤르만 행클 때문에 필수적인 표현은

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}={\frac {i}{2\pi }}\}\{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$

여기서 H는 행클 등고선, 즉 양방향으로 0을 둘러싸는 경로로, 양실축을 따라 절단된 가지를 기준으로 양 무한대로 시작하고 복귀한다.Schmelzer & Trefethen에 따르면,^[4] Hankel의 적분에 대한 수치평가는 감마함수를 계산하는 가장 좋은 방법의 기초가 된다.

양의 정수에서의 적분 표현

양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$의 경우$,$ 다음과^[5] 같이 주어진 역수 요인 함수에 대한 적분이 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}={\frac{1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\e^{e^{e^}\dt.}$

마찬가지로, c> 0 ${\displaystyle c>0}$ 및 $z{\displaystyle }$z ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ {$C}$에 대해 다음과$$ 같은 형태로 실제 축을 따라 역수 감마함수에 대한 다음 적분을 가진다.

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}={\frac {1}{2\pi }\int_{-\infit }^{-\inflit }^{-z}e^{c+it}dt,},}$

$여기$서 z${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle z=n+1/2$}이$($가) 역수 이중 요인 함수에 해당하는 관계인$$ $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{2}{}}$ n${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1)!}{}}$= ${\displaystyle \pi \frac{\sqrt{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}\mathrm{\gamma }}{}}$ (${\displaystyle \frac{n}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\frac{1}{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$. ${\displaystyle {\frac {1}{n-1)!!$$}}}={\frac{\sqrt{\pi}{2^{n}\cdot \감마 \왼쪽(n+{\frac{1}{2}}\오른쪽)}}}}.$$}$

실제 축을 따라 일체형

양의 실제 축을 따라 상호 감마 함수의 통합으로 값이 제공됨

${\displaystyle \int _{0}^{\nflac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\ 약 2.80777024,}$

프란젠-로빈슨 상수로 알려져 있다.

참고 항목

• 베셀-클리퍼드 함수
• 역감마 분포

참조

• 메트 룬드(Mette Lund), 역수 감마 함수의 정수
• 밀턴 아브라모위츠 & 아이린 A.Stegun, 공식, 그래프 및 수학적 표를 포함한 수학적 함수 핸드북
• 에릭 W. 와이스슈타인, 감마 함수, 수학월드